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1、第3章 水文统计基本原理与方法,3.1 概率统计理论基础 3.2 随机变量的概率分布 3.3 水文经验频率曲线 3.4 水文理论频率曲线线型与参数估计 3.5 抽样误差与相关分析 3.6 水文频率计算适线法,3.1 概率统计理论基础,3.1.1 随机事件与随机变量,水文现象都属于随机事件。,事件分类,1.必然事件,2.不可能事件,3.随机事件,事件：在一定条件下发生的事情。,随机变量：表示随机事件各次试验结果的实数值变量。,随机变量分类,1.连续型随机变量,2.离散型随机变量,随机变量系列（系列）：随机变量可以取的一系列数值。,大多数水文现象,3.1 概率统计理论基础,3.1.2 总体和样本,
2、2.样本：从总体中随机抽取的一部分试验结果值，称为随机变量的样本。,总体分类,1.有限总体,2.无限总体,1.总体：随机变量所有可取试验结果的全体。,样本容量：样本的数目。,抽样：从总体中抽取样本。,大多数水文现象的总体,3.1 概率统计理论基础,3.1.3 概率与频率,式中：m随机事件A出现的总次数。n试验结果的总数。,简单随机事件：若试验的可能结果是有限的，而且所有事件出现的可能性都相等。,1.概率（机率、几率）：随机变量X取值的可能性。,2.频率：在n次重复的随机试验中，事件A实际出现的次数f与试验总次数n的比值，称为事件A的频率。,简单随机事件的概率：,3.1 概率统计理论基础,3.1
3、.3 概率probability与频率frequency,用实测样本的频率特性来分析推论事件总体的概率特性，是数理统计方法的基本原理。,3.1 概率统计理论基础,3.1.4 累积频率与重现期,1.累积频率：在n次重复随机试验中，大于等于某量值累计出现的次数与总次数的比值。,破坏率：建筑物每年遭到洪水破坏的可能性。P安全率：建筑物每年正常运行的可能性。1P 保证率：在n年内保持正常运行的可能性。(1-P)n风险率：在n年内遭到破坏的可能性。1(1-P)n,3.1.4 累积频率与重现期,2.重现期：水文破坏事件在长时期观测中可能再现的平均时间间隔，单位为年。,当确定设计洪峰流量或水位xi时，破坏率
4、：破坏事件(Xxi)的重现期：,3.1.4 累积频率与重现期,当确定设计枯水位或年最小流量xi时，安全率：破坏率：破坏事件(X100，可由设计频率（横坐标）查得设计值（纵坐标）,例：,3.3 水文经验频率曲线,3.3.2 水文经验累积频率曲线的绘制与局限性,2.水文经验累积频率曲线的外延设计洪水流量都是小频率的特大洪水流量。一般情况下，实测洪水资料的年份有限，为了求设计洪水流量，必须将经验频率曲线外延。经验频率曲线呈S形，两端陡中间平缓。求很小频率的设计流量需向左端上方外延，这样可能产生很大的误差。,3.3 水文经验频率曲线,3.3.2 水文经验累积频率曲线的绘制与局限性,2.水文经验累积频率
5、曲线的外延海森(A.Hazen,1913)频率格纸主要特点：使正态分布的分布曲线（频率曲线）在坐标纸上呈一条直线。频率为横坐标，以P50为中心对称分格，中间格密而两边渐疏；随机变量（流量、降雨量、潮水位等）为纵坐标，均匀分格或对数分格。,利用实测流量资料推求桥涵的设计流量时，往往需要将频率曲线的头部外延很远，采用海森机率格纸，仍有较大的任意性，同样会产生很大的误差。 显然，仍不能满足水文计算的要求，必须进一步寻求绘制和外延频率曲线的方法。,3.3 水文经验频率曲线,例：某水文站有22年不连续的年最大流量资料，列于表25第3栏，试绘制该站的经验频率曲线，并目估延长，推求洪水频率为2、1和0.33
6、的流量。 把历年的年最大流量资料，按大小递减次序排列，如表25第5栏； 采用维泊尔公式计算各项流量的经验频率P，列入表25第6栏。 然后，按表中经验频率和流量数值，在海森机率格纸上绘出经验频率点，如图25中的圆点； 再依点群的趋势描绘成一条圆滑的曲线，如图中的细实线，就是该水文站的经验频率曲线； 将经验频率曲线向上延长(图25中的细虚线)，可由图中直接读出所求洪水频率的流量,3.4 统计参数,3.4 统计参数,3.4.1 均值、中值、众值,1.均值： （1）加权平均法设有一实测系列由x1,x2,xn组成，各个随机变量出现的次数分别为f1,f2, ,fn,则系列均值为: 式中N样本系列的总项数N
7、=f1+f2+fn。 （2）算术平均法若实测系列内各随机变量很少重复出现，可以不考虑出现次数的影响，用算术平均法求均值。式中 n样本系列的项数。,3.4 统计参数,3.4.1 均值、中值、众值,2.模比系数（变率）K系列中各个变量与均值的比值。而且,3.4 统计参数,3.4.1 均值、中值、众值,3. 中值（中位数）系列中的随机变量为等权时，按大小递减次序排列，位置居于正中间的那个变量。也就是几率为50的变量，恰好平分密度曲线以下的面积。,4. 众值系列中出现次数最多的那个变量。也就是系列中几率最大的变量。,3.4 统计参数,3.4.2 均方差、变差系数,1. 离均差（离差）：,2. 均方差（
8、标准差）离均差平方和的平均数的平方根。对于样本系列应采用下列修正公式,仅适用于总体,适用于样本,例：甲系列：10 50 90乙系列：49 50 51均值都为50。甲40乙1,3.4 统计参数,3.4.2 均方差、变差系数,均值相同，均方差越小，均值的代表性就越强。 均值不同，均方差就不足以说明离散程度的大小。,3.变差系数（离差系数，离势系数） 甲地区的年雨量分布，EX11200mm，标准差1360mm；乙地区的年雨量分布，EX2800mm，标准差2320mm。尽管12，但是 EX1 EX2，应从相对观点来比较这两个分布的离散程度。 采用一个无因次的数字（均方差与均值的比值）来衡量分布的相对离
9、散程度，称为变差系数,3变差系数（离差系数，离势系数） 或算得两个地区年雨量的变差系数，CV1360/1200=0.30，CV2=320/8000.40。说明甲地区的年雨量离散程度较乙地区的为小。,3.4 统计参数,3.4.3 偏差系数（偏态系数）,反映分布对均值是否对称的特征参数，记为CS如果不对称，是大于均值的数出现的多,还是小于的多 1.当密度曲线对EX对称，CS0，为正态分布；2.若不对称，当正离差（离均差）的立方占优时，CS0，称为正偏（左偏）；3.当负离差的立方占优势时，CS 0，称为负偏（右偏）。,适用于总体,适用于样本,3.5 水文理论频率曲线,1. 理论频率曲线根据自然界大量
10、实际资料的频率分布趋势，很多学者建立了一些频率曲线的线形，并选配了相应的数学函数式。这种具有一定数学函数式的频率曲线，习惯上称为理论频率曲线。,2. 皮尔逊型曲线理论频率曲线的线形很多，适合于水文现象的也不少。根据我国多年使用经验，认为皮尔逊型曲线（Pearson-)比较符合我国多数地区水文现象的实际情况。,3.5.1 水文理论频率曲线,2. 皮尔逊型曲线是类似于铃形的曲线，这种曲线有两个特点：（1）只有一个众数；（2）曲线的两端或一端以横轴为渐近线。,式中三个参数与总体 的关系,皮尔逊型频率密度曲线：,实际上,皮尔逊型频率曲线：,式中：xP频率为P的随机变量设计值；P离均系数，可查离均系数表
11、，见附录2；KP模比系数，,皮尔逊型频率曲线的方程：,皮尔逊型频率曲线的参数Cs物理条件：,a0总体最小值，xmin样本最小值,注意：当Cs2时， 皮尔逊型频率曲线 将不呈铃形而为单调 的乙字形,3.5 水文理论频率曲线,1. 矩法,3.5.2 水文理论频率曲线的参数估计,（1）样本的均值X，它与总体均值相对应，即 （2）样本标准差S 与总体标准差相对应，即 （3）样本离势系数Cv与总体离势系数相对应，即 （4）样本偏态系数CS，与总体参数偏态系数相对应，即 只要掌握了样本，借助上列公式估计出参数；就可推出概率分布曲线，这种方法叫做矩法。,原矩法公式得出的S、CV 、和CS 并不是无偏估计量，目前水文上采用的是经修正后的矩法公式:,3.5 水文理论频率曲线,
