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1、反射光线的方向取决于入射点和该点处 的切线.,从椭圆的一个焦点 发出的光线经椭圆反射 后必经过另一个焦点.,1 导数,1. 切线问题,第二章 一元函数微分学,零. 引例,因而切线MT的斜率为,取割线MN,当xx0时,割线MN切线MT,即,其斜率为,平面曲线C在其上点M的切线的斜率:,即x = x x0 0时,2.速度问题,公路(包括高速公路)上为了保证行车安全,交通管理部门在许多路段规定行车速度.利用测控技术,交通警察实时监测各通行车辆的行车速度.物理原理是什么?如何计算?设质点作直线运动,其所走路程s与时间t的函数关系为s=f(t),求质点运动的速度(的大小)v=v(t).,如果质点作匀速直
2、线运动,则问题简单v=v(t)=s(t)/t.,对于一般的直线运动,质点在时刻t0到t0+t这段时间所走路程为s=f(t0+t)-f(t0),于是,质点在时刻t0附近的平均速度为,由极限的思想,质点在时刻t0的(瞬时)速度为,从而质点在时刻t的(瞬时)速度为,在自然科学、工程技术和社会科学中还有很多问题，如比热、密度、增长率等问题都可归结为求函数y=f(x)在点x0形如以下形式的极限问题,这是数学抽象！即不考虑问题的实际意义，只考虑数量关系！,1、定义（1） 设y = f(x)定义在(x0-r,x0+r)内.,若极限,或,即,一. 导数的概念,存在,则称函数y = f(x)在点x0处可导, 并
3、称此极限值为y = f(x)在点x0处的导数. 记为,（3） 利用单侧极限可以定义单侧导数,则称函数y = f(x)在点x0处不可导. 特别地,若极限值为, 则称函数y = f(x)在点x0处的导数为无穷大, 记为f(x)=.,与,易见函数y = f(x)在点x0可导,你能写出吗？！,为什么？,（4） 若函数y = f(x)在区间(a, b)内的每一点处都,可导, 则称函数y = f(x)在区间(a, b)内可导.,若函数y = f(x)在(a, b)内可导,且在x = a处右 可导,在x = b处左可导,则称函数y = f(x)在闭 区间a, b上可导. 其它区间？,（5） 若函数y = f
4、(x)在区间I内可导, 则xI, 有,唯一确定的f(x)与之对应, 于是得到一个 定义在I上的函数, 称之为函数y = f(x)在I上 的导函数, 简称为导数. 记为,或,2. 几何意义与物理意义,（1）几何意义若函数y = f(x)在点x0处可导, 则曲线y = f(x) 在点(x0, f(x0) 处有不垂直于x轴的切线, 且f(x0)表示该切线的斜率,于是曲线y = f(x)在该点处的切线方程为,y f(x0) = f(x0) (x x0),若f(x0)0, 则进一步可得法线方程为,若f (x0)=0, 则切线方程为y = f(x0), 法线方程为 x = x0. 如y = (x2)2+1
5、在x = 2处.,若f (x0)=, 则曲线y = f(x)在点x0处有垂直于x 轴的切线, 此时切线方程为x = x0, 法线方程为 y = f(x0). 如,在x = 1处.,（2）物理意义,设质点经过时间t的运动路程为s=f(t).函数s=f(t)在点t0的导数f(t0), 表示质点在时刻t0的(瞬时)速度。,而函数s=f(t)在点t的导数f(t), 表示质点在任意时刻t的(瞬时)速度v(t)。,对于速度函数v=v(t)在点t的导数v(t), 表示质点在任意时刻t的(瞬时) 加速度a(t)。,例题,(1) 基本初等函数的导数,(C) = 0, (x) = x 1 (R), (sinx)
6、= cosx, (cosx) = sinx, (ax) = axlna (a0, a 1), (ex) = ex.,解: x(0, +), 有,(2) 求f(x)=log a x的导数.,特别地,(3) 求分段函数,的导数.,解:,令f(x)=x+2, g(x)=x2, h(x)=x3, (x)=3x1. 则 f (x)=1, g(x)=2x, h(x)=3x2, (x)=3 (xR)., 当x(, 1)时, y = f(x), 故y= f (x)=1;,y(1)= f(1) =1;, 当x(1, 0)时, y = g(x), 故y= g(x)= 2x;, 当x(0, 1)时, y = h(x
7、), 故y= h(x)= 3x2;, 当x(1, +)时, y = (x), 故y= (x)=3.,y+(1)= g+(1) = 2;,y(0)= g(0)=0;,y+(0)= h+(0)= 0;,y(1)= +, 故y在x =1处不可导.,综上所述,注: 可见, 分段函数在 分段点处的分析性质须 慎重对待. 几种情况都可能出现.(i) 不连续;(ii) 连续但不可导; (iii) 可导.,若y = f(x)在点x0处可导, 则有,由极限的运算法则得,因此, 若y = f(x)在点x0处可导, 则y = f(x)在点 x0处连续. 反之未必.,3. 可导与连续的关系,例如: 函数,在点x =
8、0处连续但不可导.,事实上,但,不存在.,注: 存在仅在一点处可导的函数. 例如,而在x = 0处, 0 h(Dx) -h(0) (Dx)2, 从而,由夹逼原理可得,注: 存在处处连续, 但处处不可导的函数.,事实上h(x)在其它点处不连续, 当然不可导,仅在x = 0处可导.,1. 函数四则运算的求导法则,(3),特别地, cu(x)= cu(x), (其中cR为常数),二.函数的求导法则,(2) u(x)v(x)= u(x)v(x) + u(x)v(x).,(1) u(x)v(x)= u(x)v(x).,例如: 一些基本初等函数的导数公式,(tanx) = sec2x, (cotx) =
9、csc2x, (secx) = secxtanx, (cscx) = cscxcotx.,2. 反函数的求导法则,定理 设定义在区间I上的严格单调连续函数,则其反函数y = f -1(x)在对应的点x处,即,x = f( y)在点y处可导, 且f ( y) 0,可导, 且,例如:,设u =(x)在点x处可导, y = f(u)在对应的点 u=(x)处可导. 设自变量x 的增量为x时, u的增量为u, y 对应的增量为y.,其中,从而,于是,3. 复合函数y = f(x)的求导法则,定理 设函数u =(x)在点x处可导, 函数y = f(u),且,即,在对应的点u =(x)处可导, 则复合函数
10、y = f(x)在点x处可导,例如: (1),(a0, a 1),（2）y=sinlnx,求y.,（3）y=arctanex,求y.,（5）y=ax,求y.,（6）y=x,求y.,4. 基本初等函数的求导公式,三. 高阶导数 1、导数的物理意义复习与问题的提出,设质点经过时间t的运动路程为s=f(t).函数s=f(t)在点t0的导数f(t0), 表示质点在时刻t0的(瞬时)速度。,而函数s=f(t)在点t的导数f(t), 表示质点在任意时刻t的(瞬时)速度v(t)。,对于速度函数v=v(t)在点t的导数v(t), 表示质点在任意时刻t的(瞬时) 加速度a(t)。,不难看出,或,这种导数是什么?
11、这是下面要学的二阶导数.,2. 定义,(1) 设函数f(x)在区间I上可导,若导函数f (x)在点xI处可导,则称f(x)在x处二阶可导,记为f (x),或,即,并称f (x)为f(x)在x处的二阶导数,(2) 如果f (x)在区间I上处处可导, 则称f(x)在I上,二阶可导, 称f (x) (xI )为f(x)在区间I上的,二阶导函数. 简称为f(x)的二阶导数.,(3) 一般地, 若f(x)的n1阶导函数f (n1)(x)在点,xI处可导, 则称f(x)在点xI处n阶可导.,f(x)的n阶导数.,记为,或,f (n1)(x)在点xI处的导数f (n1)(x)称为,(4) 若f(x)在区间I
12、上处处n阶可导,则称f(x)在I上n阶可导,称f (n)(x) (xI)为f(x) 在I上的n阶导函数.,则称f(x)在I上无穷阶可导,若nN+,简称为f(x)的n阶导数.,(5) 若f (n)(x)在I上连续, 则称f(x)在I上n阶连续,可导, 记为,记为,3. 例子,例1 求下列初等函数的n阶导数:,(1),一般地,.,(2),;,.,(3),特别,.,(4),.,例2 求下列初等函数的高阶导数:,(1),求,;,(2),求,.,四 隐函数的导数,参数方程确定的函数的导数 1、隐函数的导数,（1）定义 若存在一个定义在某个区间上的函数,y = f(x), 使得F(x, f(x)0,则称y
13、 = f(x),为由方程F(x, y)=0所确定的隐函数.,（2）问题,由方程F(x, y)=0常常难以得到隐函数y = f(x).对函数y = f(x), 人们感兴趣的是导数f(x), 而不是函数y = f(x)的表达式。因此，通过F(x, y)=0来求得f(x)成为必然的选 择。,（3） 隐函数的求导法则,例1 exy+y2=cosx, 求y.,解: 等式两边对x求导得: exy(xy),即 exy(y+xy)+2yy = sinx,整理得 (xexy+2y)y = (yexy+sinx).,于是,+2yy,= sinx,隐函数的求导法则：在方程F(x, y)=0两边关于x 求导，使用四则
14、求导法则与复合求导法则，遇到y时先 对y求导并乘以y。,例2 y = 1+xey, 求,解: 等式两边对x求导得,整理得,再在y = ey+xey y两边对x求导得,解出y 得,将()代入上式并利用xey = y1化简得,y = ey y + ey y + xey y y+ xey y ,(),y = ey+xey y,2、对数求导法例3 求,的导数.,解:,3. 由参数方程确定的函数的求导法则,设函数y = f(x)由参数方程,确定.,x =(t)有连续的严格单调的反函数t =1(x),且 (t)0, 则y= (t)= (1(x).,故,因此y = f(x)的导函数由参数方程,确定.,x =
15、(t), y = (t) 在区间, 上可导,例4,设函数y = f(x)由,确定,解:,由隐函数求导法则得,即,求,因而,例5 求由,确定的函数的二阶导数,其中f (t)存在, 而且f (t)0.,解:,即y(x)由参数方程,确定.,于是,2 微分,一. 微分的概念,(3) 用计算器算得的近似值为: 10.004998750624609648232582877001,2. 引例的两点启示,(1) f(x)在x0处可导,存在(记为f (x0)=A),(其中(x)0(x0) ).,(2) 若f(x)在x0处可导, 则当|x|充分小时,y f (x0)x, 从而f(x0+x) f(x0)+ f (x0)x.,y = Ax+o(x).,或,3. 定义,由自变量的改变量x得到的相应的函数值,的改变量y = f(x0+x) f(x0)可以表示为,
