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1、数学归纳法,问题：数列,中，,求,解：,. . . . . .,?,数学归纳法,一种证明和正整数有关的命题的方法,(I) 证明当n取第一个值时命题成立,(II) 假设当n=k时,命题成立,命题也成立,综合(I)(II)，该命题对于所有的n的取值都成立.,试证当n=k+1时,用数学归纳法证明的基本步骤：,问题：数列,中，,证明：,证：,时，,命题成立.,假设当,时，,命题成立，,即,当,时，,命题也成立.,所以，对于,都成立,证毕,（I）,（II）,归纳基础,归纳假设,归纳证明,数学家的故事：,费马(Fermat)是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的 发明者之一，是对微积分的创立贡献最多的
2、人之一，是概率论的 创始者之一，他对数论也有许多的贡献.曾经费马认为，当 时， 一定都是质数，这是他 对 作了验证后得到的推测.18世纪伟大的瑞士科学家欧拉(Euler)却证明了：从而否定了费马的推测,由不完全归纳法得到的结论不一定正确,归纳法：由特殊到一般的推理方法叫做归纳法.,不完全归纳法：根据事物的部分 (而不是全部)特例得出一般 结论的推理方法叫做不完全归纳法.,完全归纳法：把研究对象一一考查后而推出结论的归纳法叫 做完全归纳法.,有一袋球共十二个，球的颜色可能是白色或黑色，如何判断？,数学归纳法,一种证明和正整数有关的命题的方法,(I) 证明当n取第一个值时命题成立,(II) 假设当
3、n=k时,命题成立,命题也成立,综合(I)(II)该命题对于所有的n的取值都成立.,试证当n=k+1时,数学归纳法提供了一种正确的递推方法,数学归纳法,(I) 证明当n取第一个值时命题成立,(II) 假设当n=k时,命题成立,命题也成立,综合(I) (II)，该命题对于所有的n的取值都成立.,试证当n=k+1时,例1. 证明：,数学归纳法,(I) 证明当n取第一个值时命题成立,(II) 假设当n=k时,命题成立,命题也成立,综合(I) (II)，该命题对于所有的n的取值都成立.,试证当n=k+1时,例2. 求证,问题：下面使用数学归纳法证明有无错误？,证：,时，,等式成立.,假设当,时，,等式
4、成立，,即,当,时，,等式也成立，,所以，等式对于一切正整数都成立,（I）,（II）,证毕,问题：下面使用数学归纳法证明有无错误？,时，,等式成立.,假设当,时，,等式成立，,即,当,时，,等式也成立，,所以，等式对于一切正整数都成立,（I）,证毕,（II）,证：,数学归纳法的应用,数学归纳法,(I) 证明当n取第一个值时命题成立,(II) 假设当n=k时,命题成立,命题也成立,综合(I) (II)，该命题对于所有的n的取值都成立.,试证当n=k+1时,例1.利用数学归纳法证明：,数学归纳法,(I) 证明当n取第一个值时命题成立,(II) 假设当n=k时,命题成立,命题也成立,综合(I) (I
5、I)，该命题对于所有的n的取值都成立.,试证当n=k+1时,数学归纳法,(I) 证明当n取第一个值时命题成立,(II) 假设当n=k时,命题成立,命题也成立,综合(I) (II)，该命题对于所有的n的取值都成立.,试证当n=k+1时,归纳猜测论证,回顾等差数列通项公式的获得方法：,证：,时，,成立,假设,时，,当,时，,所以,证毕,（I）,（II）,也成立,都成立,例1.,数列,中，,分别计算,猜测数列通项公式并证明,例3.是否存在常数a,b,c使,对一切,成立.,解：,分别带入,解得：,用数学归纳法证明,归纳公理是由皮亚诺提出的关于正整数的 五条公理中的第五公理：,设S是正整数集的一个子集，且,（1）1属于S,（2）如果n属于S，那么n+1也属于S,那么，S就是正整数集。,作为归纳公理的直接推论， 数学归纳法的应用十分广泛。,数学归纳法阅读材料,
