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1、工程流体力学,主讲: 冯 进长江大学机械工程学院,7 量纲分析和相似原理,对于复杂的实际工程问题，目前求解流体运动的基本方程在数学上存在困难。因此，在求解流体力学问题时，经常借助量纲分析和相似原理来建立实际工程问题有关的各物理量之间的关系，并通过实验方法进行研究，获得一定范围内符合实际的经验公式。所以，量纲分析和相似原理是发展流体力学理论，解决实际工程问题的有力工具。,7.1 量纲和谐原理,一、量纲和单位 1.量纲在流体力学中，通常用长度、时间、质量、密度、速度、加速度和力等各种物理量来表述运动现象及其运动规律。这些物理量按其性质不同可分为各种类别，量纲是各种类别物理量的标志（几何学量纲、运动
2、学量纲、动力学量纲等），量纲又称为因次。,2.量纲分类量纲可分为基本量纲和诱导量纲，基本量纲不能从其它基本量纲中推导出来，而诱导量纲由基本量纲推导出来。例如基本量纲为长度L、时间T和质量M，那么物理量x的量纲可表示为由基本量纲的指数乘积形式， 。,3单位单位是度量各种物理量数值大小的标准，同一物理量因单位的不同，其数值大小也不同。例如长度为1m，也可表示为100cm或1000mm等不同的单位，但量纲一样，都是长度量纲L。单位和量纲都关于量度的概念，单位决定量度的数量，而量则纲表示量度的性质。,当物理量x的量纲 时，有 式中=0，物理量x称为无量纲量或无因次量。无量纲量有两个特点：（1）无量纲量
3、的数值大小与采用的单位制无关；（2）无量纲量可进行超越函数（对数、指数、三角函数等）运算。,二、无量纲量,三、量纲和谐原理,凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须相同，这就是量纲和谐原理。只有两个同类型的物理量才能相加减，否则是没有意义的。例如,在量纲和谐的方程式中，一般来讲系数和常数应该是无量纲量。经验公式在没有理论分析的情况下，根据部分实验数据回归出来的公式，常含带量纲的的系数，这类经验公式的量纲是不和谐的，在使用这些公式时必须用规定的单位。,7.2 量纲分析法,一、瑞利法 瑞利法的基本原理是某物理过程与n个物理量有关，即其中某个物理量xi可表示为其它物理量的指数乘积形式，即,
4、用量纲形式为： 根据量纲和谐原理，确定待定指数a、b、c、m，可求得该物理过程的方程式，式中的待定系数k必须通过实验和分析加以确定。,例1：已知作用在作圆周运动物体上的离心力F与物体的质量m、速度和圆周半径r有关，试用瑞利法给出离心力的表达式。解：（1）根据已知条件，建立函数关系（2）将物理量m 、 、 r和写成指数乘积形式,（3）选择基本量纲L、T和M，表示各物理量的量纲（4）由量纲和谐原理，求各指数L：b+c=1 T：-b=-2 M：a=1解得a=1 ， b=2 ， c=-1,（5）代入指数乘积形式，得,例2：由实验可知流体在圆管作层流运动时，通过的流量Q与流体的动力粘度、管道半径R、管道
5、长度l和管段两端的压差p有关。试用瑞利法给出流量的表达式。解：（1）根据已知条件，建立函数关系,（2）将物理量、p/l和R写成指数乘积形 （3）选择基本量纲L、T和M，表示各物理量的量纲,（4）由量纲和谐原理，求各指数L：-a+b-2c=3 T：-a-2c=-1 M：a+c=1解得a=-1 ， b=4 ， c=1 （5）代入指数乘积形式，得,二、定理,1.基本物理量的判断方法若x1、x2和x3是基本物理量，它们的量纲为：,若x1、x2和x3可以组成一个无量纲的量，则,若k1、k2、k3不全为零，系数行列的值必为零，即,说明任意一个物理量可以用另外两个物理量导出，这与假设相矛盾。因此，x1、x2
6、和x3 量纲独立的条件是：或,2. 定理若某一物理过程与n个物理量有关，可表示为如下函数其中有m个基本物理量（一般m3），其余（n-m）个物理量可表达为（n-m）个无量纲量：,描述该物理过程的（n-m）个无量纲量组合量所表达的关系为：,例3：已知绕球体的流阻力D与流体的物理性质（密度和动力黏度）、球体直径d和流动速度有关，试用建立D的表达式。解：（1）根据已知条件，建立函数关系,（2）在流体物性、几何特性和运动特性三方面选择基本物理量，即、d和作为基本物理量,（3）n-3=5-3=2，列出2无量纲量,（4）根据量纲和谐原理，有L：-3a1+b1+c1=3 T：-c1=-2 M：a1=1解得a1
7、=1 ， b1=2 ， c1=2,L：-3a2+b2+c2=3 T：c2=1 M：a2=1解得a2=1 ， b2=1 ， c2=1,（5）写出无量纲方程,例4：已知输送液体的压力管路的压降p与流体的物理性质（密度和动力黏度）、几何特性（管长l、管径d、粗糙度k）和运动特征（流动速度）有关，试用建立的表达式。解：（1）根据已知条件，建立函数关系,（2）在流体物性、几何特性和运动特性三方面选择基本物理量，即、d和作为基本物理量（3）n-3=7-3=4，列出4无量纲量,（4）根据量纲和谐原理，有解得a1=1 ， b1=0 ， c1=2,解得a2=1 ， b2=1 ， c2=1解得a3=0 ， b3=
8、1 ， c3=0,解得a4=0 ， b4=1 ， c4=0 （5）写出无量纲方程,7.3 相似原理,目前对实际流体运动的研究，多数是靠实验研究来解决。流体力学实验方法之一就是进行模型实验。流体力学实验的手段主要是通过室内的风洞、船池、水工模型等设备模拟自然界的流体运动。通常做一个较实物小多少倍的几何相似模型，然后在模型上做实验并得到所需的实验数据，并将实验数据转换到原实际问题。,这样自然产生了模拟的运动和被模拟的运动之间的相似问题，分析模型与实物（原型）间的相似关系的基本理论。相似理论：若两个流动之间相互对应的流动参量（与流动相关的物理量，如密度，速度，压力，粘度）间的比值保持一定的比例关系，
9、并按照同样的规律运动，则称这两个流动为相似的流动。相似条件：几何相似，运动相似，动力相似。,一、力学相似,1几何相似几何相似要求模型流动与实物流动有相似的边界形状，一切对应的线性尺寸对应成比例且为一定常数，实物夹角与模型夹角对应相等。设原型边界上任一线段长度为Ln ，模型边界对应线段长度为Lm，则：,方向： 线段比： 面积比： 体积比：,2运动相似在满足原型与模型几何相似条件下，如果对应空间点上流动速度方向分别相同且大小都成一定比例关系，而且通过相应线段的时间成比例，则这两个流动称为运动相似流动。设原型流在某点的速度为n和相应位移线段的时间为tn ，模型对点的速度为m 和通过相应位移线段的时间
10、为tm ， 则：,方向： 时间比例尺： 速度比例尺： 加速度比例尺：,3动力相似流体运动和它所受到的力有着密切的关系，为了保证流动的力学相似，除了几何相似和运动相似之外，还应该有动力相似。所谓动力相似是指原型流动与模型流动对应受到的同种外力作用，而且对应点上作用力成一定比例且方向相同。设原型流在某点受到的作用力为Fn，模型对点受到的作用力为Fm ， 则：,方向： 密度比例尺： 质量比例尺： 力的比例尺：,4初始条件和边界条件相似 初始条件和边界条件相似是保证两流动相似的充分条件，正如初始条件和边界条件是微分方程的定解条件一样。对非恒定流动，初始条件是必须的。对恒定流动，初始条件失去实际意义。边
11、界条件相似是指两个流动相应边界性质相同，如固体边界上的法线流速都为零，自由界面上的压强均为大气压，对模型和原型都是一样的。,二、相似指标,对粘性不可压缩流体的稳定等温流动。质量守恒方程：运动方程：,若原型与模型在对点上流动相似，相似常数有：,进行相似变换，对原型，连续性方程和X方向运动方程可写成：,对模型，连续性方程和X方向运动方程可写成：,由相似常数将模型进行变换，得：,将上式中X方向运动方程进行整理，得：,上式表明，原型与模型流动相似，其相似指标等于1。,称为相似指标，相似指标是由相似常数所组成的数群。要保持原型流动微分方程式不变，各相似指标必有：,三、相似准则,两流动要实现动力相似，作用
12、在相应质点上的各种作用力的比例尺要满足一定的约束关系，我们把这种关系称为相似准则。 1雷诺准则 若两流动相似，雷诺数相等，这就是雷诺相似准则。当作用的粘性力为主时，用雷诺准则进行相似判断。,2弗劳德准则Fr称为弗劳德数，表示惯性力与重力的比。若两流动相似，弗劳德数相等，这就是弗劳德相似准则。,3欧拉准则Eu称为欧拉数，表示压力与惯性力的比。若两流动相似，欧拉数相等，这就是欧拉相似准则。,7.4 模型试验,一、模型律的选择对于不可压缩流体，若两个流动相似，要求雷诺数、弗劳德数和欧拉数分别相等。但由于欧拉准则是导出准则，欧拉数是被决定的相似准数，因此，只要两个流动的雷诺数和弗劳德数分别相等，就可以
13、做到动力相似。实际上，要使雷诺准则和弗劳德准则同时满足也是困难的，也就是说模型和原型两个流动很难做到完全相似。,模型试验一般只能做到近似相似，也就是只能保证对流动起主要作用的力相似。对于管道流动，一般分两种情况进行研究：1）雷诺数较小时（在层流区、临界过渡区、紊流光滑区和紊流过渡区），影响速度和流动阻力的主要因素是粘性力，采用雷诺准则进行模型设计；2）雷诺数较大时（流动进入紊流粗糙区），流动阻力与雷诺数无关，只与粗糙度有关，即流动进入自模区。这是，只要保证流动几何相似，流动就达到动力相似。,二、模型设计,在模型设计中，一般先根据原型要求的试验范围、现有试验场地的大小、模型制作和测量条件，选择长
14、度比例尺。然后根据对流动受力情况的分析，满足对流动起主要作用的力相似，选定模型律。按所选用的相似准则，根据原型的最大流量，计算模型所要求的流量，检查实验室是否满足模型试验的流量要求；如不满足，需调整长度比例尺或加大实验室的供水能力。,1按雷诺准则确定比例尺在确定L、和比例尺后，其它比例尺的确定方法如下：,2按弗劳德准则确定比例尺 一般重力加速度相同。在确定L和比例尺后，其它比例尺的确定方法如下：,例4： 储水池放水模型实验，已知模型长度比尺为225，开闸后10min水全部放空，试求放空储水池所需的时间。解：本题属重力相似，取相似准则为Fr相等，即,例5：一油池通过直径为0.25m的圆管输送原油
15、，流量为140L/s，运动粘度为0.7510-4m2/s。在1：5模型中作试验，通过选择试验流体的运动粘度，实现模型和原型的Fr数和Re数分别相等。试求（1）m和Qm；（2）若hm=0.6m，原型中h应为多大？解：根据已知条件，得:,按Fr相等，即,按Re相等，即,例6：有一直径为150mm的输油管，管长5m，管中要通过的流量0.01m3/s，油的运动粘度0.13cm2/s。现用水作为模型试验，当模型管径和原型一样，水温为100C时水的运动粘度0.131cm2/s ，问模型试验中水的流量应为多少时才能达到相似。若5m长的输水管两端的压差为3m，试求100m长的输油管两端的压强差为多少（用油柱高表示）,解：（1）确定模型律,原型流动在紊流光滑区，主要受粘性力作用。选择雷诺准则,（2）计算模型流量 根据已知条件，在确定L=1,则,（3）计算原型压差 根据欧拉准则 , 则,（油柱）,（油柱）,150m长输油管两端压差:,由于重力加速度相同，因此,
