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1、2.2 随机变量的数字特征,一、离散型随机变量的数学期望 二、连续型随机变量的数学期望 三、随机变量函数的数学期望 四、数学期望的性质 五、随机变量的方差 六、随机变量的矩与切比雪夫不等式,为什么要研究随机变量的数字特征,尽管随机变量的分布函数(概率分布、概率密度)完整地描述了随机变量的统计规律性。但是这种完整的描述并不使人感到方便，而且在一些实际问题中，也不需要去全面考察随机变量的分布，而只需知道随机变量分布的某些特征，因此并不需要求出它的分布函数(概率分布、概率密度) 。,为什么要研究随机变量的数字特征,在评定某一地区粮食产量时，在许多场合只需知道该地区的平均产量。 在研究水稻品种优劣时，
2、时常是关心稻穗的平均稻谷粒数。 在检查一批棉花的质量时，即需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度。平均长度较大、偏离程度较小，质量就较好。,为什么要研究随机变量的数字特征,与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征。这些数字特征在理论和实践上都有重要的意义。本章将介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差和矩。,现在他射击N次，其中得0分有a0次，得1分有a1次，得2分有a2次，a0 + a1 + a2 = N。他射击N次得分的总和为,例1. 一射手进行打靶练习，规定射入区域e2得2分，射入区域e1得1分，脱靶，即射入区域
3、e0得0分。射手一次射击得分数X为一个随机变量。设X的概率函数为,一、离散型随机变量的数学期望,平均一次射击的得分数为,离散型随机变量数学期望的定义,例2,例2（续）,此例说明了数学期望更完整地刻化了X的平均水平。,例 3,(3)数学期望E(X)完全由随机变量的概率分布所确定，若X服从某一分布，也称E(X)是这一分布的数学期望。,(4)数学期望刻划了概率分布的中心位置。多数情况下，在离E(X)越远的位置概率分布的就越稀疏。,说 明,二、连续型随机变量数学期望,设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，且f(x)只在a, b上不等于0。取分点,则X落在区间 xi, xi+1中的概率为,这时概率分布
4、,可视为X的离散近似，服从上述分布的离散型随机变量的数学期望为,连续型随机变量数学期望的定义,例4,例5,例6,定理 1：,设 Y=g(X), g(x) 是连续函数. (1) 若 X 的概率分布为且 绝对收敛, 则 EY=,三、随机变量函数的数学期望,例7,例8,四、数学期望的性质,例9,1、定义,显然方差是随机变量函数的数学期望。,五、随机变量的方差,(2)若X的观测值比较集中，则D(X)较小，反之，若观测值比较分散，则D(X)较大，因此，D(X)是刻画X的观测值分散程度的一个量，也是衡量X的观测值分散程度的一个尺度。,(3)方差D(X)完全由随机变量的概率分布所确定，若X服从某一分布，也称D(X)是这一分布的方差。,(4)方差刻画了概率分布的分散程度。D(X)越小，概率分布就越集中在均值附近。,(1) 方差描述了随机变量的观测值与其均值的偏离程度。,注：,方差也可由下面公式求得：,例10,例10（续）,例10（续）,2、方差的性质,例11,求 DX,例12,1、矩的定义,六、随机变量的矩与切比绍夫不等式,定理 随机变量X的t阶矩存在，则其s阶矩(0s 0,有,2. 矩不等式,
