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1、1,第九章 梁的应力,钢筋混凝土梁拉裂破坏,1、弯曲构件横截面上的应力,木梁剪切破坏,概 述,3, V剪力，切于横截面的内力合力, M 弯矩，垂直于横截面的内力系的合力偶矩,弯曲内力:,纯弯曲和横力弯曲,横截面上只有s 而无t横截面上只有M而无V,纯弯曲：,横力弯曲：,横截面上既有又有 横截面上既有V又有M,5,横线仍是直线，只是发生相对转动，但仍与纵线正交。,纵线弯曲成曲线，且梁的一侧伸长，另一侧缩短。,横截面高度不变,上部变宽了,下部变窄。,1 梁横截面上的正应力,一、 纯弯曲,1.梁表面变形特征,6,2.基本概念,中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力作用，此层
2、纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。,中 性 轴,(2) 横截面上只有正应力。,3.假设和推论,(1)平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动.,(2)假设纵向纤维之间无挤压，各条纤维仅发生简单的拉伸或压缩。材料服从虎克定律=E。,推论：,(1）距中性轴等高处，变形相等。,8,4、梁的正应力公式推导,9,MZ：横截面上的弯矩,y: 到中性轴的距离,IZ：截面对中性轴的惯性矩,WZ ：称为抗弯截面系数,10,1、横力弯曲各截面上任一点的正应力,二、横力弯曲时梁横截面上的正应力,弹性力学精确分析表明，当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h 5 （细长梁）时，纯弯曲正应
3、力公式对于横力弯曲近似成立。,横力弯曲时，各截面的弯矩随截面位置X发生变化，对任一截面上任一点的正应力可按下式计算：,11,二、横力弯曲时梁横截面上的正应力,或：,横力弯曲全梁的最大正应力：,12,长为L的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b120mm，h180mm、L2m，F1.6kN，试求B截面上a、b、c各点的正应力。,（压）,13,试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大正应力，并加以比较。,竖放,横放,14,三、弯曲正应力强度条件,（1）由同种材料制成且拉、压强度相同的等直梁： 危险截面：弯矩最大的截面 危险点：危险截面上离中性轴最远的点,（3）脆性材料抗拉和抗压性能不
4、同，二方面都要考虑,（2）变截面梁要综合考虑M与IZ,对梁强度的计算主要是限制弯矩引起的最大正应力不得超过许用数值。,、校核强度：,校核强度：,设计截面尺寸,设计许可载荷：,四、强度条件应用,16,图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力 =160MPa，校核该梁的强度。,解：由弯矩图可见,该梁满足强度条件，安全,17,图示结构承受均布载荷，AC为10号工字钢梁，B处用直径d=20mm的钢杆BD悬吊，梁和杆的许用应力 160MPa 。不考虑切应力，试计算结构的许可载荷q。,FA,FB,梁的强度,杆的强度,18,铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F20kN。梁的截面为T字形，形心坐标yc
5、=96.4mm。已知材料的拉伸许用应力和压缩许用应力分别为+40MPa， 100MPa。试校核梁的强度是否安全。,19,假设：,横截面上的方向与V平行,沿截面宽度是均匀分布的,V,1 几种常见截面梁的剪应力计算公式 (1)矩形截面梁的剪应力,2 梁内的切应力 切应力强度条件,20,式中： V 所求横截面上的剪力； Iz 横截面对中性轴的惯性矩；,SZ宽度线一侧的面积对中性轴的静矩,b、h横截面的宽度和高度。,t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h为抛物线分布，在中性轴上最大。最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。在横截面上下边缘t=0。,矩形截面梁 横截面上剪应力的分布规律：,y=0（中性轴上）时：
6、,22,(2)工字形截面梁横截面上的剪应力,其中：V截面剪力；Sz *y点以下的面积对中性轴之静矩；Iz整个截面对z轴之惯性矩；b1 腹板宽度。,翼缘,腹板,翼缘,横截面上的切应力95由腹板承担,而翼缘仅承担了5, 为了满足实际工程中计算和设计的需要仅分析腹板上的切应力。,Af 腹板的面积,中性轴上剪应力最大,翼缘,腹板,翼缘,24,z,y,d,D,d,(3)圆形和圆环形截面梁的最大剪应力,25,弯曲正应力与弯曲切应力比较,当 l h 时，smax tmax,2、梁的剪应力强度条件,式中：为材料的许用剪应力,根据强度准则可解决三种强度问题：,27,叠加在一起承受荷载如图示,若材料许用应力为=1
7、60MPa, 材料许用切应力为=80MPa,其许可荷载F为多少?,梁中性轴上切应力,梁截面边缘处正应力,28,1、经济合理的截面形状：在面积A一定的情况下，取得最大抗弯截面模量的截面，即使 WZ/A 的比值尽可能大的截面。,4 提高梁强度的主要措施,一、选择合理的截面形状,例如：高度为h，宽度为b的矩形截面，其抗弯截面模量为：,可见：两个面积相等的矩形截面，高度h愈大则抗弯截面模量Wz愈大。,29,矩形截面梁的合理放置,30,常见截面的 WZ/A 的比值如下：,在A相同时，环形比圆形截面合理；工字形比矩形截面合理。,31,2、使材料远离中性轴，提高材料利用率,由于正应力沿截面高度线性分布，在中
8、性轴附近各点的应力小，如果将较多的材料放在距中性轴较远的部位，必然会提高材料利用率。如将矩形改为工字形或槽形，空心板，有孔薄腹梁等。,3、根据材料特性选择截面形状,脆性材料：抗拉强度远小于抗压强度，即t c，最好使用T字形类的截面，并使拉应力（最大）发生在距中性轴较近的一缘。中性轴的位置应符合以下条件：,为了使截面上最大拉应力和最大压应力同时达到各自的许用值：塑性材料：抗拉强度与抗压强度相同，即t =c，最好使用对称于中性轴的截面。,33,合理利用材料,钢筋混凝土材料在合理使用材料方面是最优越的,34,二、采用变截面梁和等强度梁,35,36,台风战斗机,朱德的扁担,变截面梁,37,海鸥,松树,
9、变截面梁,38,变截面梁：横截面沿梁轴线变化的梁，称为变截面梁。 等强度梁：梁的各个截面的最大正应力均达到材料的许用应力的变截面梁。,39,三、改善梁的受力条件,40,合理布置梁的形式和荷载，以降低最大弯矩值,41,适当增加梁的支座,42,为什么钢筋混凝土梁在加载试验过程中,除了在跨中底部会发生竖向裂缝外,其他部位还会发生斜向裂纹?,5 梁的主应力、主应力迹线,43,单元体,1.一点应力状态的描述,44,图示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作用。从梁表面的A、B、C三点处取出的单元体上，用箭头表示出各个面上的应力。,同一面上不同点的应力各不相同，即一点的应力的概念,45,2、轴向拉压任一点的应
10、力状态,同一横截面上各点应力相等：,同一点在斜截面上时：,即使同一点在不同方位截面上，它的应力也各不相同,46,3、梁上任一点应力状态的分析,符号规定： 正应力：拉应力为正，压应力为负 切应力:使单元体顺时针方向转动为正；反之为负 自x轴开始到斜截面的外法线方向逆时针转向为正，反之为负,47,(1) 面上的应力：,48,在何处? 该处,（2）主应力及其作用平面,49,即:,面上有,主平面：单元体中只有正应力而没有剪应力的平面称为主,平面。,主应力：主平面上的正应力称为该点的主应力。,、,、,用代数值确定，排列为,50,三向（空间）应力状态,3、应力状态的分类：,51,平面（二向）应力状态,52
11、,单向应力状态,纯剪应力状态,53,= ? 在何处？,令,即:,方位:,大小:,二、梁内主应力及主应力迹线,1、梁内主应力 2、主应力迹线：主应力方向的变化图称主应力迹线。,55,例题：梁内某点应力单元体如图，已知x40Pa,x- 60Pa, 求：（1）该单元体450斜面上的应力；（2）该点的主应力大小及其方位，画主应力单元体；（3）最大剪应力数值及其方位，画最大剪应力单元体。,解：（1）450斜面上的应力,56,（2）主应力大小及其方位,57,（3）最大剪应力 及其方位,58,59,例：如图，已知 F=250kN，b1=9，h1=270，h=300，b=120，试求C截面稍左截面上a、b两点
12、的应力，并绘出应力单元体，然后求出其主应力。,解：（1）求支反力，绘V、M图,（2）绘a、b点的应力单元体,60,b1=9，h1=270，h=300，b=120，MC=80kN.m，V=200kN,（3）截面几何性质,（4）b点的应力：,61,b1=9，h1=270，h=300，b=120，MC=80kN.m，V=200kN,（5）a点的应力：,62,b1=9，h1=270，h=300，b=120，MC=80kN.m，V=200kN,（6）a点的主应力：,63,易剪断 不易剪断,就象推动某物一样：,易动 不易动,5 二向应力状态下的强度条件强度理论,64,1=2=0 1=2=3 单向压缩，极易
13、破坏 三向均有受压，极难破坏,石材,65,一、构件破坏的两种基本形式： （1）断裂破坏：包括拉断、剪断； （2）塑性流动破坏。构件发生较大的塑性变形，影响正常使用。,强度理论根据材料在不同应力状态下强度失效共同原因的假说，利用单向拉伸的实验结果，建立复杂应力状态下的强度条件，这就是强度理论。,66,1、最大拉应力理论(第一强度理论)这一理论认为，材料在复杂应力状态下引起破坏的原因是它的最大拉应力1达到该材料在简单（单向）拉伸时的最大拉应力的极限值01。 破坏条件：,二、工程中常用的几个强度理论,强度条件：,式中，简单拉伸时的许用应力 适用条件：脆性材料。如铸铁在拉伸实验和扭转试验时的破坏 。,
14、67,这一理论认为，材料在复杂应力状态下引起破坏的原因是最大拉应变1达到该材料在简单拉伸时最大拉应变的危险值01。破坏条件：,2、最大拉应变理论(第二强度理论),强度条件：,式中，简单拉伸时的许用应力 适用条件：脆性材料。例如混凝土的压缩破坏与这一理论符合。,68,这一理论认为，材料在复杂应力状态下引起破坏的原因是它的最大剪应力max达到该材料在简单拉伸或压缩时的最大剪应力的危险值0。 破坏条件：,3、最大剪应力理论(第三强度理论),强度条件：,式中， 为许用剪应力。,适用条件：塑性屈服和剪断（包括脆性剪断）。一般适用于塑性材料，塑性流动是剪应力所引起的。 如低碳钢的扭转破坏。,69,破坏条件：,强度条件：,在复杂应力状态下，,强度条件改写为：,而在简单拉伸时,3、最大剪应力理论(第三强度理论),70,这一理论简称为能量理论。它认为，材料在复杂应力状态下引起单元体单位体积形状改变的能量ud，达到简单拉伸时单元体的单位体积形状改变的能量的危险值u0d，即发生破坏。破坏条件：,4、形状改变比能理论(第四强度理论),强度条件：,适用条件：塑性材料。按该理论计算的结果比按第三强度理论计算的结果经济。,
