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1、,高中数学第二册(上),6.3 不等式的证明(2)综合法,1作差比较法证不等式的步骤：,作差变形判断差与0的大小结论,复习,变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等,作商变形判断商与1的大小 结论,注意：作商比较法一般用于两边式子同号的不等式的证明,2作商比较法证不等式的步骤：,复习,新课,1综合法：,利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法,2综合法的思维特点是：,由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法,新课,3用综合法证明不等式的逻辑关系：,A B1 B2
2、 Bn B (已知)(前一不等式成立的必要条件)(结论),例1 已知a，b，c是不全相等的正数，求证： a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc(教材P14例5),练习：教材P14练习第1、2题即： 1 已知，求证： 2已知a b 0，0 c (a b + c)2,说明：此题在证明过程中运用了比较法、基本不等式、等比中项性质，体现了综合法证明不等式的特点,例3 对于任意实数a、b，求证：(当且仅当a = b时取“=”号),分析：本题若使用比较法来证明，将会很麻烦因为所要证明的不等式右边展开后很复杂若使用综合法，从重要不等式：a2 + b2 2ab出发，
3、再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明,例3 对于任意实数a、b，求证：(当且仅当a = b时取“=”号),说明：此题考查用综合法证明不等式综合法证明不等式主要是应用均值不等式证明，要注意均值不等式的变形使用，一般在式子中出现平方和乘积形式后可以考虑用综合法来证明,例4 已知a、b、c R+，a + b + c = 1，求证：,分析：显然这个题用比较法不易证明若把左边通分，则会把不等式变得较复杂而不易得到证明由于右边是一个常数，故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式，比如 ，再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径，这也常称为“凑倒数”的技巧,例4 已知a、b、c
4、R+，a + b + c = 1，求证：,说明：此题考查了变形用综合法证明不等式题目中用到了“凑倒数”，这种技巧在很多不等式证明中都可应用，但有时要首先对代数式进行适当变形，以期达到可以“凑倒数”的目的(本题也可用三元均值不等式很快证得),由例4得：已知a、b、c R+，则,变题：已知a、b、c R+，求证：,分析：注意到上述不等式当 = = 时取等号，故可由均值不等式证得,1. 若a，b，c R+，求证：,课堂练习,2. 设、均为锐角，求证：,变题：若a，b，c R+，求证：,用综合法证明不等式的依据是：1已知条件和不等式性质；2基本不等式,小结,说明：能用综合法证明的不等式一般可用比较法证明，用综合法证明不等式的依据是基本不等式时，要注意定理的使用条件和定理中“=”号成立的条件,1.数学之友T6.72. 思考题：某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v千米/小时的速度直达灾区已知某市到灾区的公路线长400千米，为安全需要，两汽车间距不得小于( )2千米那么，这批物资全部到达灾区的最短时间是多少？,作业,
