概率与统计课件之卢第05讲

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1、随机变量 离散型随机变量 连续型随机变量 概率分布函数 随机变量函数的分布,第二章 随机变量及其分布,1,1.1 随机变量,一随机变量的概念,为了更深入地研究随机现象, 就要建立数学模型，随机变量是随机现象的最基本的数学模型. 引入了随机变量，我们就可以用随机变量的值表示随机试验的结果,2,在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此引入了随机变量的概念,1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）,例如 掷一颗骰子，观察出现的点数；观察某天从北京下火车的人数；观察昆虫的产卵数,3,2、此外，还有些试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各 种结果. 也就是说，可以将

2、试验结果数值化,正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫运动员的号码一样，二者之间建立了一种对应关系. 这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数,4,例1 掷一颗骰子, 样本空间是,用X 表示掷出的点数, 称X 是随机变量,表示掷出的点数不超过3,是事件,并且,再看两个例子,5,将X 视为 上的函数,则,是事件,例1（续）,6,例2 在一副扑克的52 张中任取一张样本空间的每个样本点表示一张扑克,用X 表示所取扑克的大小 称X 是随机变量,表示所取到的扑克是3,7,=草花3, 黑桃3, 红桃3, 方块3,是事件,将X 视为样本空间上的函数,则,例2（续）,8,可以看出，上述随机试验的每一个

3、结果都对应着变量X 的一个确定的取值，因此变量X 是样本空间 上的实值函数:,并且定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件,9,由此看到，随机试验的结果可以用数量来表示，因此引入随机变量的概念,定义1.1,通常将随机变量 简记为X,一般用X，Y，Z， 等表示随机变量,10,1、 随机变量X 随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值,2、 由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率,说 明,11,说 明,3、我们用 表示事件,即,即,12,4、 在许多实际问题中, 一个随机变

4、量X 的含义是十分清楚的, 所以一般不再关心随机变量X 在样本空间上是如何定义的. 可以认为X的所有取值就是我们的样本空间. 只是在必要的时候才将自变元 写出来,说 明,13,引入了随机变量, 随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来,可见，随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内. 也可以说，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点. 就象数学分析中常量与变量的区别那样,二随机变量的意义,14,随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律

5、的研究,15,例3 一批产品有50 件，其中有8件次品，42 件正品，现从中取出 6 件X 表示取出6 件产品中的次品数则X 就是一个随机变量它的取值为 0，1，2，6,表示取出的产品全是正品这一随机事件,表示取出的产品至少有一件是次品这一 随机事件,16,例4 上午 8:009:00 在某路口观察Y 表示该时间间隔内通过的汽车数则Y 就是一个随机变量它的取值为 0，1，,表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件,注意 Y 的取值是可列无穷个！,表示通过的汽车数大于50 辆但不超过100辆 这一随机事件,17,例5 观察某生物的寿命（单位：小时）Z 表示该生物的寿命则Z 就是一个随机变量它的取

6、值为所有非负实数,表示该生物的寿命大于 3000小时这一随机事件,表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事件,注意 Z 的取值是不可列无穷个,18,例6 掷一枚硬币，令,则X 是一个随机变量,注意,在同一个样本空间上可以定义 不同的随机变量,19,例7 掷一枚骰子，在例1中，我们定义了随机变量 X 表示出现的点数.我们还可以定义其它的随机变量，例如我们可以定义,等等,20,一. 离散型随机变量的概念与性质,2.2 离散型随机变量,有些随机变量只能取有限个或可列个值，比如，被访问者的性别、年龄、职业; 一批产品中次品个数; 一个医学试样中白细胞个数; 掷两个骰子第一次得到12点的次数;等等,

7、21,定义 2.1,如果随机变量 X 只取有限个值,或可列个值,则称 X 是离散型随机变量,简称为离散随机变量,离散型随机变量的定义,22,设X 是离散型随机变量，称,离散型随机变量的概率分布,定义 2.2,为X 的概率分布; 称 是概率分布列, 简称为分布列,23,离散型随机变量的概率分布也常常用 如下方式表达,24,说 明,离散型随机变量可完全由其分布列来刻划. 即离散型随机变量可完全由其可能取值以及取这些值的概率唯一确定,分布列具有如下性质,用这两条性质判断 一个函数是否是 概率分布,25,例1 从110这10个数字中随机取出5个数字， X 表示取出的5个数字中的最大值. 试求X 的 分

8、布列,即 X 的分布列为,解: X 的取值为5，6，7，8，9，10. 并且,26,例2 将 1枚硬币掷 3次，X 表示出现的正面 次数与反面次数之差. 试求X 的分布列,解: X 的取值为-3，-1，1，3,则 X 的分布列为,27,例3 设离散型随机变量 X 的分布列为,则,28,例3（续）,29,例4 设随机变量 X 的分布列为,解: 由分布列的性质，得,该级数为等比级数，故有,所以,试求常数c,30,例5 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以 1/2 的概率允许或禁止汽车通过. 以X 表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求 X 的分布列. (信号灯的工作是

9、相互独立的),PX=3=(1-p)3p,可爱的家园,31,解: 以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则 X 的分布列为,或写成 PX= k = (1- p)k p， k = 0,1,2,3PX= 4 = (1-p)4,例5 (续),32,以 p = 1/2 代入，得,例5 (续),33,二. 几种常用的离散型随机变量,如果X 只取 0或 1，概率分布是,或,则称随机变量 X 服从参数为 p的两点分布,1.两点分布 (Bernoulli分布),记作,34,两点分布的概率背景,X 表示在一次试验中事件A 发生的次数 令,记,则,任何一次试验，当只考虑两个互逆的结果A与 时，或者形象地把两个互

10、逆结果叫做“成功”和“失败”.就可以用两点分布来描述,35,例6 15件产品中有4件次品，11件正品，从中 任取1件.X 表示取出的一件产品中的次品数. 则X 的取值为 0 或者 1，并且,36,如果随机变量 X 有如下的概率分布,2.二项分布 (Binomial分布),则称X 服从参数为 n和 p的二项分布,记作,37,二项分布的概率分布示意图,38,说 明,1.显然，当 n = 1 时,此时，X 服从两点分布,这说明，两点分布是二项分布的一个特例,第k+1项,2.称为二项分布的原因是 为二项展开式,39,二项分布的概率背景,进行n重贝努里试验，设在每次试验中,X 表示在 n 重贝努里试验中

11、事件 A 发生 的次数,则,40,一般地，设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果 A或 ，或者形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”,再设我们重复地进行 n 次独立试验 ( “重复” 是指这个试验中各次试验条件相同 ),每次试验成功的概率都是 p，失败的概率 都是 q = 1- p,这样的n次独立重复试验称作 n 重贝努里试验，简称贝努里试验或贝努里概型,n重贝努里试验,41,对同一目标进行 n 次射击，若每次射击只关心“击中目标”与“未击中目标” 两种情况,n重贝努里试验的例子,掷 n 次硬币，只关心“出现正面”与 “出现反面”这两种情况;,掷 n 颗骰子，如果我们对每颗骰子只关心 “出

12、现六点”与“不出现六点”这两种情况;,42,注: 贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求,（1）每次试验条件相同；,二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数 X 的概率分布,（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 ，,且 P (A) = p ，,（3）各次试验相互独立.,43,设在n重贝努里试验中,每一个样本点可记作,现考虑事件,分析,44,在 n 次试验中，指定 k 次出现 A(成功)，其余 n k 次出现 (失败)，这种指定的方法有 种,而对于每一种指定好的方法，有,45,因此,46,用X 表示 n重贝努里试验中事件 A （成功）出现的次数，则,称X 服从参数为 n和

13、p的二项分布，记作,X B ( n , p ),47,二项分布的图形,二项分布随机数演示,48,例7 一张考卷上有5 道选择题，每道题列出4 个可能答案，其中只有一个答案是正确的.某 学生靠猜测至少能答对4 道题的概率是多少？,则答 5 道题相当于做 5 重贝努里试验,解: 每答一道题相当于做一次试验,则,令 X 表示该学生靠猜测能答对的题数,49,例7（续）,所以,P 至少能答对4 道题,50,2.泊松分布(Poisson 分布),如果随机变量 X 有如下的概率分布,记作,其中 是常数.,则称X 服从参数是 的Poisson分布,51,泊松分布的图形,泊松分布随机数演示,52,Poisson

14、分布的应用,电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数; 放射物在某一时间间隔内发射的粒子数; 容器在某一时间间隔内产生的细菌数,等等. 在一定条件下，都是服从Poisson分布的,Poisson分布是概率论中重要的分布之一 自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布，例如,53,例8 1910年, 著名科学家Rutherford(罗瑟福) 和 Geiger (盖克) 观察了放射性物质钋放射 粒子的情况,他们进行了N=2608次观测, 每次观测7.5秒,一共观测到10094个 粒子放出,下面的表是观测记录,54,55,用Y 表示这块放射性钋在7.5秒内放射出的,粒子数,在 N = 2

15、608 次重复观测中发生的频率 和 基本相同. 见书p42图,表的最后两列表明,事件,其中的Y 是服从 分布的随机变量，,是7.5秒中放射出 粒子的平均数,56,Poisson定理,设在n重贝努里试验中，以 代表事件 A 在一次试验中发生的概率 ,它与试验总数n 有关. 若,则,57,Poisson定理的证明(续),对于固定的 k，有,得,由,58,Poisson定理的证明(续),所以,59,Poisson定理的应用 二项分布与泊松分布关系,由 Poisson 定理，可知,有,令,则当 n比较大，p 比较小时,60,上面我们提到,单击图形播放/暂停 ESC键退出,61,例9 为了保证设备正常工

16、作，需配备适量的维修工人，现有同类型设备 300台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是 0.01. 在通常情况下，一台设备的故障可有一人来处理. 问至少需配备多少工人，才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01 ？,解: 设需配备 N 人，记同一时刻发生故障的设备台数为X， 则 X B ( 300，0.01）欲确定最小的 N 的取值，使得,62,查表可知，满足上式的最小的 N是 8, 因此至少需配备 8 个工人,例9 (续),63,例10 设有 80 台同类型的设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是 0.01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法: 其一，由 4人维护，每人负责 20 台 其二，由 3 人，共同维护 80 台 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小,