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1、数学建模讲座,获奖选手心得摘录,谈到赛后的感受时，郭涛说，知道比赛的结果后，喜出望外之余，又陷入了思考之中，也因此有了一些心得：在没有尝试之前，不要说目标太遥远，更不要说自己不行，只要敢于去尝试并坚持，奇迹随时都可能出现。在很多时候每个人的起点都是相同的，就看你能不能比别人多走一步，也许就是那一小步就可以到达成功。不能等别人都去尝试过了你才下手，这样的生活叫消极，永远只能跟在他人后面，不能拥有一片自己的天空。,心得：让青春燃烧出最灿烂的火焰,青春不是年华，而是心境；青春不是桃面、丹唇、柔膝，而是深沉的意志、恢宏的想象、灼热的感情；青春是生命的深泉在涌流。我追求这样一种青春：他用汗水和泪水铸造，
2、在拼搏与奋斗中灿烂的盛开。 飞跃从纸上谈兵到实战演练我们已读了十几年书，都是纸上谈兵，只会做题、考试，而数学竞赛是我们第一次去解决实际问题。从书中到书外，从理论到实践，这是一次质的飞跃，对我而言也是一次转折。是数模竞赛让我真实地体会到：我所学习的知识是有用的，可以解决实际问题；我将来能用双手去创造世界，我有存在的价值！以前，这些是别人告诉我的，而这一次，我在竞赛过程中有了切身的体会，这是一种完全不同的感受。,竞赛获奖证书 大学里或者社会上的各种竞赛，获奖证书也非常受青睐。 一名同学大学里多次参加辩论赛获奖，被一家企业老总直接聘为总裁助理； 西安交大一名同学，挑战杯获奖，直接获得了麻省理工（MI
3、T）的全奖； 上海交大两名参加ACM竞赛获奖的同学，李开复直接打来电话抢先挖去； 浙大一名同学大学四年不断参加各类编程比赛，累计赢得奖金20万美元，近日被topcoder聘为中国技术副总裁； 等等，通过参加竞赛锻炼能力，获得证书，找到工作的例子遍地都是。,数学建模概述,模型：飞机模型，水电站模型，楼盘模型等是实物模型，是所研究的客观事物有关属性的模拟，它应当具有事物中我们关心和需要的重要特征。 数学模型：是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的，作出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。,数学建模的一般步骤 模型准备了解问题的实际背景，明确建立模型的目的，掌握对象的
4、各种信息，如统计数据等。一般要大量查阅资料请教专家。 模型假设关键一步，要善于辨别问题的主要和次要方面，抓住主要因素，抛弃次要因素，尽量使问题均匀化线性化。,建立模型在建立模型之前，首先要明确建模的目的，因为对于同一个实际问题，出于不同的目的所建立的数学模型会有所不同。根据所给的条件和数据，建立起问题中相关变量或因素之间的数学规律,可以是数学表达式、图形和表格，或者是一个算法等。 模型求解不同的数学模型的求解方法一般不同，除了熟练掌握一些数学知识和方法之外，还应具备在必要时针对实际问题学习新知识的能力，同时，应具备计算机操作能力，掌握一门编程语言和一两个数学工具软件包的使用。（Matlab.L
5、ingo）,解的分析与检验对所求出的解，必须要对解的实际意义进行分析，即模型的解在实际中说明了什么，效果怎样，模型的适用范围如何等等。同时，还要进行必要的误差分析和灵敏度分析等。 论文写作论文要力图通俗易懂，能让人明白你用什么方法解决了什么问题，结果如何，有什么特点。 应用实际数学模型的求解结果只有在实际中检验是合理的，才能被证明是正确的，否则，要修正模型，直到通过实际检验。,人口增长模型,人口增长是当今世界上引起普遍关注的问题,我们经常看到或听到有关预报人口增长的信息,但是对同一时间人口的预报在数据上可能有较大的不同,这显然是采用了不同的预报模型计算的结果。本节我们给出两个简单的模型。,本模
6、型关于人口增长率是常数的假设与实际不符。产生上述现象的主要原因是,随着人口的增加,自然资源、环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越明显。当人口较少时,因为环境等因素对人口增长影响较小,因此我们可以近似认为人口增长率是常数,这正是为什么该模型一开始能很好地预测美国人口总数的原因,但是到了19世纪末期,美国的人口总数已经较大,环境压力越来越大,造成人口增长率逐渐减小。因此我们有必要在模型中考虑环境压力因素对人口增长的影响。,2007A题：中国人口增长预测,中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。
7、近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的国家人口发展战略研究报告(附录1) 还做出了进一步的分析。,关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从中国人口统计年鉴上收集到的部分数据。 试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。,附录1 国家人口发展战略研究报告 附录2 人口数据（中国
8、人口统计年鉴中的部分数据）及其说明,2建立模型 (1) 基本假设：从中国人口增长的特点出发，可以提出如下假设作为建立模型的依据：老龄化进程加速；农村育龄妇女的生育率明显高于城镇；出生人口的男女性别比持续升高；农村人口不断城镇化。根据这些假设，区分模型中的状态变量和参数。 (2) 状态变量的设置：根据上述假设和数据分析，可以把城镇人口与农村人口，及男女性别区分开来。另一方面，注意到育龄妇女的生育率是决定人口增长的主要因素，可以对人口的年龄分布按不同年龄段进行简化，以减少状态变量。,(3) 老龄化的影响：数据分析表明，在每一类人(比如城镇妇女)中，老年人口在该类总人口中的比例逐年上升，而青壮年和幼
9、年人口比例逐年下降。可以通过对人口矩阵的迭代，或用其他模型方法，找出他们上升或下降的一般规律。 (4) 农村人口以一定规律转化为城镇人口。,(5) 人口增长有迟滞效应。在附录1中提到“由于20世纪80年代至90年代第三次出生人口高峰的影响”，导致在2005-2020年出生人口数量会“出现一个小高峰”，这就是迟滞效应。如果在模型中适当引进迟滞项，就可预测到这种“小高峰”现象。当然，此时的初值应当是一个近几十年来的人口变化函数。这个函数可以从网上搜索到，也可以用1(4)提示的方法找出。当然，这可能有一定难度，不一定作为必须要考虑的要求。如果有同学考虑到这种迟滞效应，应该说是有创意的。,(6) 由上
10、述 (1) 至 (4)，即可建立起关于中国人口增长的数学模型。它可以是微分方程组或差分方程组的初值问题。如果还考虑到（5），则会是迟滞微分方程组。方程组中出现的各个参数和用到的初值可以通过附录2中给出的数据，并参考上面1（6）的说明，来确定。,3模型的求解和预测 用适当的数值方法求解所得的数学模型，即可得到今后几十年的预测结果。可以把这些结果与附录1 (国家人口发展战略研究报告) 或其他文献中的结果进行对照分析。如出现较大差异，则应找出原因，予以改进，或提出自己的看法。,4关于文献与模型的“自我评价” (1) 本问题提供的文献(附录1)是要求重点阅读的。此外，还应列出自己查阅过并引用的比较可靠
11、和权威的文献，包括论文、著作和数据，都要注明出处。如果是网上的，则应列出网址。 (2) 在评阅学生对自己模型的优点与不足的评价时，一定要注意是否实事求是。,分别为幼年、育龄和老年女城镇人口比例函数， 为非负参数。,常微分模型,差分方程模型,将人口视作一个系统，把人口发展过程分为年龄、生育和迁移过程，来推导离散人口发展模型。 按区域划分为城、镇、乡 性别划分男、女 年龄0，1，2，。m,随着生产、经济、技术的发展，管理人才在实际工作中常常会面临这样的一类问题：在工程设计中，怎样选取参数使得设计既满足要求又能降低成本；在资源分配中，怎样的分配方案既能满足各方面的基本要求，又能获得较好的经济效益；在
12、生产计划安排中，选择怎样的计划方案才能提高产值和利润；在原材料配比问题中，怎样确定各种成分的比例才能提高质量、降低成本；在城建规划中，怎样安排工厂、机关、学校、商店、医院、住宅和其它但单位的合理布局，才能方便群众，有利于城市各行各业的发展。这一类问题的共同点就是选出最合理、达到事先预定的最优目标的方案，这就是最优化问题。,优化模型,工程设计中要表述一个最优化问题，应明确三个基本要素： 1）决策变量：也就是决策者所能控制的哪些变量，最优化问题的求解就是找出决策变量的最优取值。 2）约束条件：它们是决策变量在现实世界中所受到的限制。 3）目标函数：它代表决策者希望对其进行优化的那个指标，目标函数是
13、决策变量的函数。,某化工厂生产A1，A2，A3，A4四种化工 产品，每种产品生产1吨消耗的工时、能源和 获得的利润如下表：,已知该厂明年的工时限额为18480h，能耗 限额为100t标准煤，欲使该厂明年的总利润最 高，请确定各种产品的生产数量。,模型,假设：,工时限制,供煤限制,2007 B题：乘公交，看奥运,我国人民翘首企盼的第29届奥运会明年8月将在北京举行，届时有大量观众到现场观看奥运比赛，其中大部分人将会乘坐公共交通工具（简称公交，包括公汽、地铁等）出行。这些年来，城市的公交系统有了很大发展，北京市的公交线路已达800条以上，使得公众的出行更加通畅、便利，但同时也面临多条线路的选择问题
14、。针对市场需求，某公司准备研制开发一个解决公交线路选择问题的自主查询计算机系统。,为了设计这样一个系统，其核心是线路选择的模型与算法，应该从实际情况出发考虑，满足查询者的各种不同需求。请你们解决如下问题： 1、仅考虑公汽线路，给出任意两公汽站点之间线路选择问题的一般数学模型与算法。并根据附录数据，利用你们的模型与算法，求出以下6对起始站终到站之间的最佳路线（要有清晰的评价说明）。,(1)、S3359S1828 (2)、S1557S0481 (3)、S0971S0485 (4)、S0008S0073 (5)、S0148S0485 (6)、S0087S3676,2、同时考虑公汽与地铁线路，解决以上
15、问题。 3、假设又知道所有站点之间的步行时间，请你给出任意两站点之间线路选择问题的数学模型。,【附录1】基本参数设定 相邻公汽站平均行驶时间(包括停站时间)： 3分钟 相邻地铁站平均行驶时间(包括停站时间)： 2.5分钟 公汽换乘公汽平均耗时： 5分钟(其中步行时间2分钟) 地铁换乘地铁平均耗时： 4分钟(其中步行时间2分钟) 地铁换乘公汽平均耗时： 7分钟(其中步行时间4分钟) 公汽换乘地铁平均耗时： 6分钟(其中步行时间4分钟),公汽票价：分为单一票价与分段计价两种，标记于线路后；其中分段计价的票价为：020站：1元；2140站：2元；40站以上：3元 地铁票价：3元（无论地铁线路间是否换
16、乘） 注：以上参数均为简化问题而作的假设，未必与实际数据完全吻合。 【附录2】公交线路及相关信息 （见数据文件B2007data.rar）,2 问题分析,本题主要在三种不同情况下，研究任意两站点之间的线路选择问题。联系实际，公 众乘坐公交车主要考虑的因素包括转乘次数、行程时间、车站始发情况、车站的车次、负载量及乘车费用等因素。为满足一般公众的乘车需求，主要按照公众对不同乘车信息的重视程度，确定出最佳的乘车路线。,仅考虑公汽线路的情况下，首先，需要根据题目给出的公交线路信息数据，对每条线路进行抽象处理，将分上下行的线路、双向行驶的线路和环行线路抽象为两条。然后，主要考虑公众最关心的乘车因素，即转乘次数。在最少转乘次数的基础上考虑共众对其他因素的需求，按照先后顺序考虑行程时间、车站始发情况、车站的车次负载量及乘车费用，给出供公众选用的多种参考方案。并考虑以时间为主要目标的情况下，建立最优 化模型确定任意两站点行程时间最短的方案。,
