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1、第六章 理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动,1 流体微团运动法分析 2 速度环量和漩涡强度 3 速度势和流函数 5 基本的平面势流 6 有势流动叠加 7 理想流体的漩涡运动,理想流体的流动分,有旋运动 无旋运动,位势流动：,无旋运动由于存在速度势和流函数，故又称位势流。,61 流体微团运动分析,流体微团的运动：平移 转动 变形,转动,平移,变形,一.平移,如图：在流场中取一四边形流体a、b、c、d ，经过dt时间后该四边形移到 a、b、c d，形状、大小没有变化，仅是平移了一段距离。各点的速度大小和方向没有变化，即没有变形和转动。,x,二.线变形,在t时刻a、b、c、d各点的速度如图，由于各
2、点的速度不同，经过t时刻后由b点的 和d点 的作用下，会产生线变形。,定义：单位长度、单位时间内线变形称为线变形率，用 表示。,由定义有：,三个方向的线变形,讨论b点的 和d点的 作用 ，经时间dt后，由于这两个速度增量，使原图形发生角变形。,三.角变形,定义：单位时间内ab、cd转过的平均角度称角变形速度，用 表示。,由定义有：,为三个平面内的角变形,四.转动：,假设d点和c点的速度增量在x方向是负的，则经过dt时间后，a、b、c、d绕a点转过一个角度,d,b,a,c,a,b,c,d,u,v,图中,定义：单位时间内转过的平均角度为旋转角速度，以表示。,代入,和,有,或,当 称无旋流或势流。,
3、称有旋流或涡流。,流体运动是否有旋不能只看其运动轨迹，而要看它是否绕自身轴转动。,例：,流动是否存在？是否有旋？,例：,流动是否存在？是否有旋？,例：如图所示，流体各个微团以速度,解：,平行于x轴作直线,流动，试确定流动是否有旋。,有旋运动。,2 速度环量和旋涡强度,一.涡线、涡管,1.涡线：与流线概念相似，涡线也是一条曲线，在给定瞬时 t，这条曲线每一点的切线与该点流体微团的角速度 的方向重合。,由涡线定义得涡线方程：,2.涡管,在给定瞬时，在涡量场中取一不是涡线得封闭曲线，通过曲线上每点做涡线，这些涡线形成一个管状表面，称为涡管，涡管中充满着做旋转运动的流体。沿涡管长度方向旋转角速度 是变
4、化的。,二.漩涡强度：,在涡量场中任取一微元面积 ， 上流体质点的旋转角速度向量为 ， 为 的法线方向，微元面积上的漩涡强度用 表示,定义：,对整个表面积A积分,总的漩涡强度为：,当 在A上均布,则有：,称为涡通量,漩涡强度 等于2倍的涡通量。,三、速度环量,定义：假定某一瞬时，流场中每一点的速度是已知的，AB曲线上任一点的速度为 ，在该曲线上取一微元段,为沿微元线段 上的环量。,与 之间的夹角为，则称,曲线AB上的环量为：,若曲线AB是封闭曲线，则环量为：,将矢量 、 分别 表示：,故对封闭周线 L的环量为：,环量是一个标量，它的正负取决于速度方与线积分的方向。,当速度方向与线积分方向同向时
5、取正，反向时取负。若是封闭周线，逆时针为正，顺时针为负。,例：不可压缩流体平面流动的速度分布为 ，求绕圆 的速度环量。,解：,积分路径在圆上，有,四、斯托克斯定理,斯托克斯定理：任意面积A上的旋涡强度 ，等于该面积的边界L上的速度环量。,Stokes law 将对涡量的研究转化为对速度环量的研究。因为线积分比面积分要简单，且速度场比涡量场容易测得。,1.微元面积的 stokes law 证明：,取一微元矩形的封闭周线，各点速度大小如图：,沿A、B、C、D的速度环量为,由于各点速度不等，取各边始端点的速度的平均值计算环量：,将各点速度代入整理，有：, stokes 定理得证。,（水平面）,2.有
6、限单连域的 stokes law:,将微元面积的结果推广到有限大面积中。把有限大面积划分成无数个微元面积，,求出每条边 ，然后再求和，内周线上的环量相互抵消，只剩下沿外周界线 L的环量。,L,此式即为有限大单连域 stokes 定理。,即：,此定理也可用于复连域：,L1,L2,A,Stokes law 说明，速度环量不仅可以决定漩涡的存在，还可衡量封闭周线所围区域中全部漩涡的总涡强。环量为零，即总涡强为零；环量不为零必然存在漩涡。反之，无旋，环量为零。,问题：沿封闭周线L的环量为零，是否在所围面积内流体各处都处于无旋状态？ 答：否 只有在区域内任一条封闭曲线上的速度环量皆为零，则区域内的旋涡强
7、度必为零，流动为无旋运动。,例1：证明平行流的环量为零。,流体以定常速度 水平运动，在流场中任取一封闭周线1234，求,若封闭周线取为圆？,1,2,3,4,例2：求有间断面的平行流的速度环量？,例3：龙卷风的速度分布为,试根据 stokes law 来判断是否为有旋流动。,时,时,如图，当 ，流体以象刚体一样转动，称风眼或强迫涡（涡核）。,在 区域，流体绕涡核转动，流体质点的运动轨迹是圆但本身并没有旋转称之为自由涡或势涡。,自由涡,分别讨论自由涡和强制涡。,在 区域内任取一点p，过p点做任一封闭曲线ABCD，沿ABCD做环量:,A,B,C,D,r1,r2,r0,p,强制涡：,式中 为扇形ABC
8、D的面积,即 有旋,由于p是任取的，故这一结果可推广到强制涡中任一点，由此可见，强制涡是有旋流。,讨论自由涡：,在 区域内任取一点p，过p点做任一封闭曲线ABCD，沿ABCD做环量,A,B,C,D,r1,r2,r0,p,由于ABCD是任取的，故此结论可推广到自由涡中任一区域。,结论：龙卷风的风眼是有旋的，风眼外是无旋的。,例：设二元流的速度为：,问：1）流动是否存在？2）流动是否有旋？3）求沿 的和该周线所围面积内的漩涡强度 。,例：已知速度场 求以,所围正方形的。,例：设在（1，0）点置有0的涡，在（1，0）点置有0的旋涡，求沿下例路线的。,1）,2）,3）,4）,3 速度势和流函数,一、平
9、面流动,二、速度势函数,1.势函数存在的条件：,垂直与z轴的每个平面流动都相同，称平面流动。,对无旋流,此条件可写成：,此条件称柯西黎曼条件,由高数知识可知，柯西黎曼条件是使,成为某一个函数,全微分的充要条件，即,而当 t 为参变量，,的全微分为,比较两式有：,柱坐标,无论流体是否可压缩，是否定常流只要满足无旋条件 ，总有势函数存在。故理想流体无旋流也称势流。,把 称为速度势函数简称势函数,用势函数表示速度矢量：,2、势函数的性质,1）流线与等势面垂直,证：令 为等势面，在其上任取一微元线段 ， 上的速度为 ,求两者点积,在等势面上， 故 即 速度与等势面垂直，由于速度矢量与流线相切，故流线与
10、等势面垂直。,2）势函数对任意方向L的偏导数，等于速度矢量在该方向的的分量。,3）与之间的关系,由此可知：在势流中，沿任意曲线AB的环量等于曲线两端点势函数的差，与曲线的形状无关。,若函数是单值的，则沿任一封闭周线 k 的速度环量等于零。,4）在不可压流体中，势函数是调和函数,由连续性方程：,有：,满足拉普拉斯方程的函数是调和函数。,三、流函数,1、流函数的定义：,在不可压流体的平面流中，应满足,即,由高数知识可知，此式是使 成为某一个函数 全微分的充要条件，即,而 的全微分又可表示为：,比较两式有,极坐标,称为流函数。只要流动存在，无论,而,是否有旋，是否为理想流体，都必定存在流函数。,2、
11、流函数的特性：,1）流函数 与流线的关系：,的等值线是平面上一条流线。,证明：由流线方程：,而,即,故 时 c 是流线方程的解,它是平面上一条流线。注意：有流动就有流线存在，而流函数仅存在于平面流动中。,2）流函数 与流量Q的关系：,流过任意曲线的流量等于曲线两端点流函数的函数值之差。,由此结果可知：,两流线之间流量保持不变，与曲线AB的起始点无关，若AB本身就是一条流线，则通过AB的流量为零。若AB是一条封闭周线，通过AB的流量也为零。,3）流函数与势函数的关系：,对不可压平面势流，流函数和势函数同时存在，它们之间关系是,a:,b: 等线与等线垂直,前已证明，流线与等势面垂直，而 的线是流线
12、故等线与等线垂直。,代入,4）在不可压平面无旋流中，流函数也是调和函数。,对平面无旋流,将,有：,满足拉普拉斯方程，故 是调和函数。,例1： 不可压缩平面流动的速度势为 ，求在点（2，1.5）处速度的大小。,解 由速度势的定义求出,例2：设二元流动的速度场为,求 1)流动是否存在？是否有旋？2）？3）？,4）求沿 的和该周线所围面积内的漩涡强度 。,例3：已知流场的流函数,试问 1) 是否存在 ？2）求出通过 A(2,3)和 B(4,7)任意曲线的流量和沿曲线的环量。,例4：已知,试问 1)流动是否存在？2）流动是否有势？3）？ ？4）求沿 的及通过此曲线的流量Q。,6-4 不可压缩流体平面无
13、旋流动的复变函数表示,一、复位势与流函数、势函数间的对应关系,流函数与势函数的关系,这正是柯西-黎曼条件。复变函数的理论， 和 可以组成以复变量 为自变量的一个复变函数。,它的导数为,被称为流动的复位势，实部为势函数，虚部为流函数。被称为复速度，实部为速度在x方向的分量，虚部为速度在y方向的分量的相反数。,二、复位势的性质,1. 两点的复位势之差是复势，其实部是两点连线上的速度环量，虚部是通过两点连线的流量。,2. 复位势允许加任一复常数而不改变所代表的流动。 3. 两个不可压缩流体的平面无旋流动的叠加，仍然为平面无旋流，其复势为原两个复势之和。,三、势流叠加原理,势函数,速度,5 基本的平面
14、有势流动,势流叠加原理:,由于函数和函数都是调和函数，由调和函数的性质可知，调和函数的线性组合仍是调和函数，故可用,来描述一个新的有势流动,即函数和函数可叠加，叠加后仍是无旋流。,一、均匀直线流动,平行流有几种情况：如图,x,x,讨论一般情况：,1、速度场,可分解成,2、与,由,积分有:,3、求流线,同理:,令 有,解得:,流线是斜线,斜率是,点z相同，有 即全流场压力为常数,如0，流线平行与x轴,如90流线平行与y轴，,4、压力分布,平行流中各点速度相等，任取两点写伯努利方程，都有,在水平面上，各,二、平面点源和点汇,点源：单位时间内通过一半径为 的圆周流出流量 当 时保持Q不变，则这种流动称为点源流（若流入，称点汇），Q称为点源（汇）强度。,
