理论力学5分析力学

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1、第五章 分析力学5.1约束与广义坐标5.1.1约束的概念和分类 在一个力学体系中常存在着一些限制各质点自由运动的条件，我们把这些条件叫做约束。 约束对各质点位置限制的条件通常可以表示为力学体系中质点的坐标速度和时间的方程。,按约束方程的特性可将约束分为以下几种： （1）稳定约束与不稳定约束 如果限制系统位置的约束不是时间t的函数，则约束方程中不显含时间t，这种约束叫做稳定约束。反之，如果约束是时间t的函数，那么这种约束就称为不稳定约束。,（2）可解约束与不可解约束 质点始终不能脱离的那种约束叫不可解约束。 或 如果质点虽然被约束在某一曲面上，但在某一方向可以脱离，那种约束就叫可解约束。,（3）

2、几何约束与运动约束 只限制质点在空间的位置，因而表现为质点坐标的函数的约束被称作几何约束，又叫完整约束。除了限制质点的坐标外，还要限制质点的速度的投影，这种约束叫做运动约束，又叫微分约束。,微分约束经过积分后可变为几何约束，如果它不能积分时，就被称为不完整约束。不能用等式表示的可解约束，是另外一种不完整约束。除了这两种外，其他约束都是完整约束。,稳定约束,不稳定约束,运动约束 （微分约束）,5.1.2广义坐标 对于n个质点所形成的力学体系，如果有k个几何约束那么独立坐标就减小为 个，把3n个不独立的坐标用s个独立参数 及t表示这s个独立参量叫做拉格朗日广义坐标。在几何约束情况下，广义坐标的数目

3、和自由度的数目相等。,5.2虚功原理 5.2.1实位移与虚位移 质点由于运动实际上发生的位移叫做实位移。以 表示。 在给定瞬时，质系中各质点所作的为约束所允许的、可能发生的无限小位移，称为虚位移，用 表示。 虚位移只满足给定瞬时的约束条件，而真实位移除满足约束条件外，还取决于所受的主动力及运动的初始条件。虚位移反映了在约束条件下，质系可能的运动趋势。,对于稳定约束,虚位移有无穷多个。 对于稳定约束，实位移是众多虚位移中的一个。,对于非稳定约束,虚位移应满足给定瞬时的约束条件。 虚位移位于给定瞬时约束曲面的切面上。 非稳定约束情况下，实位移不是虚位移中的一种。,5.2.2理想约束 作用在质点上的

4、力在任意虚位移中所作的功，叫做虚功。如果作用在一力学体系上诸约束反力在任意虚位移中所作的虚功之和为零，即：那么这种约束叫做理想约束。,光滑面、光滑曲线、光滑铰链、刚性杆、不可伸长的绳等都是理想约束。,5.2.3虚功原理 在不可解约束的情况下，设受有k个几何约束的某力学体系处于平衡状态。取体系中任一质点Pi，并设作用在此质点上主动力的合力为 ，约束反力的合力为 ，则因在此体系中每一质点都必须处于平衡状态中，故此必有现在让每一质点自它的平衡位置发生一虚位移 ，则由上式得：将n个质点的表达式相加得：,理想约束条件下， ，因此，如果力学体系处于平衡状态，则其平衡条件是或由上式可知，受有理想约束的力学体

5、系平衡的充要条件是此力学体系的诸主动力在任意虚位移中所作的元功之和等于零。这个关系叫做虚功原理，也叫虚位移原理。,5.2.4广义力 由前面讨论我们知的 虚位移为所以，虚功原理在广义坐标下的表达式为式中称之为广义力。,虚功原理的应用,例题1 如图所示, 匀质杆OA, 质量为m1, 长为l1, 能在竖直平面内绕固定的光滑铰链 O转动, 此杆的 A端用光滑铰链与另一根质量为m2,长为l2的匀质杆 AB相连. 在 B端有一水平作用力 .求处于静平衡时, 两杆与铅垂线的夹角1和 2.,1、判断约束类型,是否理想约束?,2、判断自由度,3、分析受力(主动力),4、建立坐标系 (必须是静止坐标系？),P36

6、3 5.3,5、转化成广义坐标,6、由虚功原理,代入得,可求出系统处于静平衡时1，2所满足的方程:,所以,虚功原理主要用于求解： (1)系统的静平衡位置； (2)维持系统平衡时作用于系统上的主动力之间的关系.,应用虚功原理解题的主要步骤是：,(1)明确系统的约束类型, 看是否满足虚功原理所要求的条件；,(2)正确判断系统的自由度, 选择合适的广义坐标；,(3)分析并图示系统受到的主动力；,(4)选取广义坐标并将各质点坐标 表示成广义坐标的函数 ；,(5)求主动力的虚功并令其为零，由此求出平衡条件。,例二：p363-5.1 试用虚功原理解3.1题。 半径为 的光滑半球形碗，固定在水平面上。一均质

7、棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端在碗外，在碗内的长度为 ，试证棒的全长为,例三：p363-5.2 试用虚功原理解3.4题。 同的两个均质光滑球悬在结于定点 的两根绳上，此两球同时又支持一个等重的均质球，求 角、 角之间的关系。,5.2.5 拉格朗日未定乘数与约束力,设有一由n个质点组成的力学体系，此力学体系有k个完整约束,根据虚功原理，力学体系的平衡条件是:,力学体系各点坐标的虚位移，应满足下列关系：,把(2)中各等式分别乘以，然后和(1)相加，选择使k个不独立虚位移前的乘数等于0，则余下的3n-k个独立虚位移前的乘数也等于0，于是,(1),(2),：拉格朗日未定乘数,如果一个质点约束在一曲面f

8、(x,y,z)=0上，则,如果一个质点约束在一曲线f1(x,y,z)=0及fz(x,y,z)=0上，则,例1: p280 例2,5.3拉格朗日方程 5.3.1达朗伯拉格朗日原理 由n个质点所形成的力学体系，根据牛顿运动定律的表达式可写为 或 通过数学上的移项，将主动力和约束反力引起质点的加速度当作惯性力引入，这样就把动力学问题化为静力学问题来处理。这种平衡关系，通常叫做达朗伯原理。,用虚位移标乘上式，在理想约束下（ ），可得：这个方程是达朗伯原理和虚功原理的结合，被称为达朗伯拉格朗日方程。,5.3.2拉格朗日关系式 考察由n个质点组成的理想约束系统，受有k个完整约束，其广义坐标数s=3n-k。

9、第I个质点的位矢 将上式对时间求导数式中广义坐标对时间的变化率 称为广义速度。 将上式对广义速度 求偏导数。因 和 仅是广义坐标和时间的函数，与 无关，故得第一个拉格朗日关系式,再将式 对任一广义坐标 求偏导数，得： 另一方面，将位矢 直接对 求偏导数后，再对时间求导数，得：比较、式，可得第二个拉格朗日关系式,5.3.3基本形式的拉格朗日方程 将达朗伯拉格朗日方程 作广义坐标变换，得：交换上式的求和顺序，有上式方括号中的第一项 即为对应于广义坐标的广义力。 第二项 称之为广义惯性力。,考虑第一、第二拉格朗日关系式，可得：,引入动能函数上式可写成所以，广义坐标形式的达朗伯-拉格朗日原理表达式为：

10、由于 的独立性，可得：这就是拉格朗日方程的基本形式。,5.3.4保守力系的拉格朗日方程若作用在系统上的主动力为有势力，则广义力可写为,其中 V 为系统的势能。 代入基本形式的拉格朗日方程，可得：（1）由于势能 不是广义速度的函数，即,所以，（1）式可以写成引入拉格朗日函数可得保守力系下的拉格朗日方程为：,5.3.5循环积分 拉格朗日方程在某些特殊情况下，部分第一积分甚易获得。如果拉格朗日函数中不显含某一坐标 ，则该坐标就叫循环坐标。此时 ，保守力系下拉格朗日方程变为：即 常数 （1） 对应于该循环坐标的积分叫做循环积分。,以质点在有心力场的运动为例：质点的动能为：平方反比引力的势能故拉格朗日函

11、数为 表达式中不包含，因此为循环坐标。由（1）式可直接得出循环积分,5.3.6能量积分,（1）动能的结构,即 。式中 分别是广义速度 的二次、一次和零次函数。分别代表上式中的第一项、第二项和第三项。 对于稳定力学体系， 中不含t，因而 ，上式中第二项、第三项等于零。,（2）广义能量积分,如果系统主动力皆为有势力，且拉格朗日函数不显含时间：则由于主动力为有势力：所以， 将上式移项得：,即： 广义能量积分或广义能量守恒。,欧拉齐次式定理：则拉格朗日函数可以写为：,广义能量积分变为：,可推出：对于稳定力学体系，有： ， ，故 如果主动力皆为有势力，且拉格朗日函数中不显含时间项，则可直接列出广义能量守

12、恒表达式。称之为能量积分。,例一：用拉格朗日方程求椭圆摆的运动微分方程。,例二、,如图，尖角为的劈质量为m1，一面靠在光滑墙上，另一面和质量为m2的光滑棱柱B接触。B可沿一固定水平面无摩擦地滑动。设除重力外无其它外力，求A和B的加速度。,例三、如图所示，一质量为M的匀质木板，放在二个匀质圆柱上，每个圆柱质量为m，今以一水平拉力F拉此木板，设板与圆柱，圆柱与地面间均无滑动，试用拉格朗日方程求解木板的加速度。(圆柱绕中心轴的转动惯量，其中R为圆柱半径),例四：,例五：,例六：,5.4哈密顿正则方程 5.4.1勒襄特变换,设 ，则式中我们在这里用x，y作为独立变量。如果我们把u，y当作独立变量，则x

13、，v可表示为 。 这时函数 亦可表示为 ，该函数的全微分为：其中,由上式得：式中 。 上述推导表明：如果变量由 变为 ，则用形式为 的函数才能将 用偏微商的形式表示出来，这就是勒襄特变换的基本法则。,5.4.2正则方程 拉格朗日函数是 及时间t的函数，由此得出的拉格朗日方程是二阶常微分方程组，如果把拉格朗日函数中的广义速度 换成广义动量 就可以使方程组由二阶降到一阶，从而使问题简化。,如果通过勒襄特变化，使拉格朗日函数中的一种独立变量由 变为 （ ，由拉格朗日方程可推出 ）则应引入新函数H使,对上式全微分得： 而拉格朗日函数的全微分：将上式代入函数H的全微分表达式中：,而H的全微分表达式还可写

14、为:,比较以上两式，对应项相等，得：上式中的前两式通常叫做哈密顿正则方程，简称正则方程， 而函数H 则叫哈密顿函数。,5.4.3能量积分与循环积分,（1）能量积分,哈密顿函数对时间的微分可写为：得：,如H中不显含t，则,因而 如为稳定约束，可将动能表示为广义速度的二次齐次函数，则有：如为不稳定约束，则它等于,（2）循环积分,如果哈密顿函数中不显含某项，则该项为循环坐标。该项所对应的广义动量 。,例一：p367-5.22 试写出理论力学教程3.9中拉格朗日陀螺的哈密顿函数 ，并由此求出它的三个第一积分。,解：（一）拉格朗日陀螺的自由度为选广义坐标 （二）定点转动中拉格朗日陀螺动能 而 ,将 代入式，且,联立后求得 体系动能因为动能是广义速度的二次齐次式,H 中不显含时间t,H常数,H中不显含,常数,H中不显含,常数,1. 泊松括号,设,5.6 泊松括号和泊松定理,