数形结合思想教学案例_五年级数学_数学_小学教育_教育专区

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1、1一、数形结合思想方法简述数形结合是小学数学中常用的、重要的一种数学思想方法。数形结合思想的实质即通 过数形之间的相互转化，把抽象的数量关系，通过形象化的方法，转化为适当的图形，从 图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题，这是数形结 合思想在小学数学中最主要的呈现方式。另外，数形结合思想在关于几何图形的问题中， 用数量或方程等表示，从它们的结构研究几何图形的性质与特征，这是另一种呈现方式。在小学数学中，运用数形结合的思想，充分利用“形”把题中的数量关系形象、直观的 表示出来，如通过作线段图、树形图、长方形面积图、集合图、数轴等，帮助学生理解抽 象的数量关系、数学概念

2、，使问题简明直观，甚至使一些较难的问题迎刃而解。应用数形结合解题，从抽象到直观，再由直观到抽象，既能培养学生的形象思维能力， 又促进逻辑思维能力的发展。对大脑的科研成果表明，人的大脑两个半球具有不同的功能， 左半脑功能偏重于抽象的逻辑思维，讲究规范严谨、稳定封闭，如数的运算、逻辑推理、 归纳演绎等；右半脑功能侧偏重于形象思维，讲究直觉想象、自由发散，如猜想、假设、 构思开拓、奇异创造等。左、右半脑的功能各有特征，如果互相补充就会使大脑功能更加 健全和发达。 “数形结合”就同时运用了左、右半脑的功能，既培养学生的形象思维能力， 又促进逻辑思维能力的发展。通过数形结合，有助于学生对数学知识的记忆。

3、数学是十分抽象的概念、公式、定理、 规律等，数形结合使抽象的数学尽可能形象化，对学生输入的数学信息的映象就更加深刻， 在学生的脑海中形成数学的模型，可以形象地帮助学生理解和记忆。如新课标人教版三年 级上册比较分子相同分母不同的分数大小时，通过十分直观的图形，帮助学生理解记忆， 掌握“平均分的份数越多，每一份越少”这一很抽象的数学逻辑，使学生印象深刻。应用数形结合，还可以训练学生数学直觉思维能力。在数学里，存在着大量的概念、 定理、公式、以及典型题例等。当学生解答问题时，通过仔细阅读条件与问题，往往通过 第一直觉进行判断，这是一个什么方面的问题，需要用什么知识点进行解答，这就是所谓 的直觉思维。

4、在数学教学中，教师通过数形结合训练学生的直觉思维，让学生养成整体观 察，从整体上对数学对象（条件、问题）及其结构（数量关系）迅速识别、判断，进而作 出大胆的猜想、合理的假设，并作出试探性的结论。如教学行程问题中的相遇与追及问题 时，教学中通过画线段图，帮助学生理解、掌握相遇问题与追及问题的数量关系，联系与 区别，从而使学生在解决这类问题时，即使不再画图，也能做到直观地判断出解决的问题 是相遇问题，还是追及问题，正确的应用相应的数量关系进行解答。应用数形结合的思想，培养学生的发散思维能力。发散思维是从同一来源的材料或同 一个问题，探求不同思路和方法的思维过程，其思维方向是从不同角度、不同方面看待

5、同 一个问题。在数学教学中，常常借助“一题多解”或“一题多变”的形式，突出已知条件 与问题之间的矛盾联系，来激发学生提出新的思想、新的方法、新的问题，达到知识融会 贯通，发展思维的广阔性和灵活性，激励学生的好奇心和求知欲，提高解决问题的应变能 力。如教学相遇问题时，运用线段图的不同呈现方式，使学生理解两种解法。应用数形结合思想，还有可有效地培养学生的创造性思维能力。创造性思维能力是思 维的最高境界。当前，对学生进行综合素质和能力的培养，是培养创造性人才的需要。只 有具有创造性思维能力的人，才能在各自的领域中有所创造发明，才能推动科学技术、人 类社会的不断发展。在数学教学中，教师可通过编选一些探

6、索性的题目，运用数形结合的 思想，引导学生去研、去探讨、去发现，让他们不是从头脑中已有的思维形式和思维方法 中去找答案，而是从问题的本身进行具体的分析研究，进行一系列探索性思维活动，将已 有的思维方式大跨度地迁移，从可供选择的途径中筛选中解决问题的方法。如学习了重叠 问题后，学生对两两重叠较易理解掌握，能正确解题，但三三重叠学生理解起来就很困难：2两两重叠部分要减去，为什么三三重叠部分要加上呢？在这里，教师用单纯的语言文字是 不能说清楚的，只有通过让学生画图，理解三三重叠部分在前面的加减中一次也没有计算， 还需要加上去。 二、数形结合思想方法在教材中的渗透1、数形结合帮助学生建立起数学基本概念

7、，形成整个数学知识体系。数学是思维的阶 梯。纵观整个小学数学教材，从一年级到六年级，无不充分体现数与形的有机结合，帮助 学生从直观到抽象，逐步建立起整个数学知识体系，培养学生的思维能力。在一年级上册中，学生刚学习数学知识时，教材首先就是通过数与物（形）的对应关系， 初步建立起数的基本概念，认识数，学习数的加减法；通过具体的物（形）帮助学生建立 起初步的比较长短、多少、高矮等较为抽象的数学概念；通过图形的认识与组拼，在培养 学生初步的空间观念的同时，也初步培养学生的数形结合的思想，帮助学生把数与形联系 起来，数形有机结合。在以后年级的学习中，随着学生年龄的增长，思维能力的不断提高， 数与形的结合

8、就更加广泛与深入。在二年级上册学习乘法与除法的意义时，通过数与物（形的）对应结合，帮助学生理解 掌握乘法与除法的意义，并抽象地运用于整个数学学习中。在三年级上册分数的初步认识 中，通过具体的形的操作与实践，让学生充分理解“平均分” ，几分之一，几分之几等数学 概念，掌握运用分数大小的比较，分数的意义，分数的加减等，使数形紧密地结合在一起， 把抽象的数学概念直观地呈现在学生面前，帮助学生理解掌握分数的知识。在四年级下册 小数的意义的学习中，小数是一个十分抽象的概念，它与分数相比更加抽象。我们同样是 通过数与形的结合，帮助学生理解掌握小数的意义、小数的大小、小数的性质。通过 1 米 =10 分米，

9、让学生理解 1 分米=0.1 米，并类推出 1 厘米=0.01 米，1 毫米=0.001 米；通过数 与形完美的结合数轴，让学生理解小数的组成、小数大小的比较、小数与整数的关系 等。总之，一句话，数形结合贯穿着整个数学领域，在帮助学生建立初步的数学概念，培 养学生基本数学思维能力中起着十分重要，而且不可替代的作用。2、数形结合贯穿着整个数学知识的应用（解决问题）的教学。在一年级下册刚接触比多比少应用题教学时，通过数与物（形）的对应关系，帮助学习 建立起同样多、多的部分、少的部分、大的数、小的数等较抽象的数学概念，从而理解掌 握比多比少用大的数减去小的数，求大的数用小的数加上多的部分（或少的部分

10、） ，求小的 数用大的数减去少的部分（或多的部分） 。有的学生在刚学习比多比少应用题时，未能很好 的建立起数与形的有机结合，未充分理解掌握比多比少的基本数量关系，而是机械地记忆 “多”字用加法， “少”字用减法。这样的学生我们在教学中发现的还不在少数。在二年级上册进行倍数应用题的学习时，教材首先是通过数与物（形）的结合，帮助学 习初步建立起倍数的意义，即求一个数的几倍，就是求几个这样的数是多少。在学生初步 建立起倍数的概念（意义）的基础上，逐步过渡到数与形结合，即画线段图，帮助学习理 解掌握倍数的意义。在这里，教材从最初的最直观的数物（形）结合，逐步过渡到由图形 代替物体数形结合，初步建立起数

11、学语言数与形，使学生逐步从最直接的感知发 展到较为抽象的数学知识，初步建立起今后数学学习的基本途径与方法，与数学思想 数形结合。在相遇问题、追及问题、和差问题、和倍问题、工程问题、分数应用题、比例应用题、 列方程解应用题等许多解决问题的教学中，无不充分地运用数形结合，把抽象的数量关系， 通过画线段图、集合图、长方形面积图、列表格等方式，数形结合，呈现为较为具体直观 的数学符号，使较复杂的数量关系简单明了，有利于分析题中数量之间的关系，丰富学生 表象，引发联想，启发思维，拓宽思路，化繁为简，化难为易，迅速找出解决问题 的方法， 提高学生分析问题和解决问题的能力。3在解决鸡兔同笼问题，即采用假设法

12、解题时，运用数形结合，可以使极为抽象的假设法 变得直观形象。如：有一只笼子，笼子中有鸡也有兔，鸡和兔共有 5 只，腿有 14 条。你们 知道鸡有几只，兔有几只吗？题中有两个变量：鸡和兔，鸡的只数增多，兔的只数就要减 少，反之鸡少了兔就多了，但它们的总的只数和腿的条数是不变的。教学中，让学生理解 鸡与兔是两个变量十分困难，教师单纯用语言是无法让学生很好的理解的。采用数形结合， 让学生通过想想画画再想想再画画，帮助学生理解这鸡兔这两个变量，从而 解决问题。3、数形结合帮助小学生建立起初步的几何知识体系，发展空间观念，为今后的数学学习 打下坚实的基础。在一年级下册图形的组拼中，通过数图形，如，让学生

13、不断地把玩方积 木，用多少不等或相等的积木不断堆砌不同的形状，体验数与形的结合，感知空间图形， 进而抽象出一排有几个，有几排，有几层等空间观念，为长方形的面积公式推导、长方体 的体积公式推导等奠定基础。在三年级下册长方形面积公式推导中，通过让学生用 1 平方 厘米的小正方形摆放长方形面积，摆出长有几厘米就能摆几个，宽有几厘米就能摆几排， 抽象出长方形的面积就是长与宽的乘积。在长方体体积公式推导中，也同样运用数与形的 有机结合，通过学生用 1 立方厘米的小正方体摆放长方体的体积，得出长是几厘米就是一 排摆几个，宽有几厘米就能摆几排，高有几厘米就是能摆放几层，进而逐步抽象概括出长 方体的体积=长宽

14、高。 4、数形结合帮助学生建立起初步的分类与集合的思想。在四年级下册三角形按角分类 中，运用集合图，数形结合，让学生充分理解锐角三角形、直角三角形、钝角三角形这三 类三角形之间的关系。同样，在四年级上册四边形的分类中，也是运用数形结合的集合图， 帮助学生理解各种四边形之间的联系与区别。 5、运用数形结合，帮助学生理解较抽象的数学、数量关系，培养学生逻辑思维能力。 在现行人教版课标本数学教材中，引入了大量的以前认为是奥数的，但在现实生活中却经 常应用的数学内容，如三年级下册重叠问题（P108 例 1） 、四年级上册策略问题（P112 例 1、P113 例 2、P115 例 3） 、四年级下册植树

15、问题（P117 例 1、P118 例 2） 、二年级上册 （P99 例 1）与三年级上册排列组合（P112 例 1、P113 例 2、P114 例 3） 、一年级下册、二 年级下册、五年级上下册找规律等。在教学中，如果不采用数形结合，把抽象的数学概念形象直观化，学生根本不能理解 掌握运用。如三年级下册重叠问题（P108 例 1：三（1）班参加语文、数学课外小组学生 名单。语文组：杨明、李芳、刘红、陈东、王爱华、张伟、丁旭、赵军；数学组：杨明、 李芳、刘红、王志明、于丽、周晓、陶伟、卢强、朱小东。参加课外小组的学生有多少人） ， 教学中，引导学生数出参加语文组的有 8 人，参加数学组有有 9 人

16、，但这两个小组没有 8+9=17 人，这是为什么呢？引导学生通过画出韦恩集合图，让学生充分明白：有 3 个重复 的，8+9 多计算了一次，需要减去，两个小组实际只有 8+93=14（人） 。在植树问题中 （P117 例 1：同学们在全长 100 米的小路一边植树，每隔 5 米栽一棵（两端要栽） 。一共 需要多少棵树苗？） ，只有通过画图，让学生充分理解植树棵数与间隔数的关系，才能帮助 学生理解两端要植：棵数=间隔数+1，两端不植：棵数=间隔数1，一端植：棵数=间隔数。 二年级上册（P99 例 1）与三年级上册（P112 例 1、P113 例 2、P114 例 3）排列组合中， 如果用高中数学中什么是排列、什么是组合来教学生，学生只能是“坐飞机” ，云里雾里， 不知所云，而采用数形结合连线的方法，既做到不重不漏，又不把排列组合的知识强 加给学生，还让学生运用起来得心应手。在策略问题中，运用数形结合，画图形操作，让 繁琐的语言叙述直观化，简单明了，化难为易。在找规律教学中，通过画图操作，逐步发 现规律，并运用规律解决问题。以上等等，都是通过数与形的有