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1、2018年9月21日星期五,1,雄关漫道真如铁,而今迈步从头越,2018年9月21日星期五,2,当代著名数学家，柯朗曾指出：“微积分，或者数学分析，是人类思维的伟大成就之一。它处于自然科学与人文科学之间的 地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具。遗憾的是，微积分的教学方法有时流于机械，不能体现出这门学科乃是一种撼人心灵的智力奋斗的结晶。”,2018年9月21日星期五,3,学习重在“习”，知识重在“识”，文化重在“化”,教育重在“育”。,2018年9月21日星期五,4,第二部分,极限续论,关于实数的基本定理 及闭区间上连续函数性质证明,第三章,1.关于实数完备性的基本定理2.闭区间上连续函数
2、性质的证明,2018年9月21日星期五,5,二.上确界和下确界,一.子 列,三. 几个实数基本定理,2018年9月21日星期五,6,一.子 列,可见一个数列可以有无穷多个子列. 为了方便,用另一种下标来表示它.,2018年9月21日星期五,7,在选出的子列中,2018年9月21日星期五,8,对于给定的一个收敛数列 ,它的任何子列是否也收敛呢?,又子列的极限与原数列的极限有什么关系呢?,下面的定理回答了这个问题.,问题：,2018年9月21日星期五,9,定理1:,证毕,此定理用来判别数列 不收敛很方便.若在数列 中有一个子列不收敛,或有两个子列不收敛于同一极限,就可以判断 不收敛.,证明:,如：
3、数列0,1,0,1一定发散,因为它有两个子列分别收敛于0和1.故数列不收敛.,2018年9月21日星期五,10,例1:,第一个子列收敛于0,第二个子列收敛于1,2018年9月21日星期五,11,在第二章曾经讨论了函数极限和数列极限的关系(海涅定理):,现在进一步有以下推论:,推论:,证明:,只要证明对任何满足上述条件的数列 都收敛于同一个极限即可.(反证法),2018年9月21日星期五,12,假设存在两个数列:,这与已知条件矛盾.这就证明 .即推论得证.,2018年9月21日星期五,13,二.上确界和下确界,第二章对于极限的概念、性质及其运算的讨论，仍然不能满足今后继续深入研究讨论的需要.这里
4、将要介绍关于实数的几个基本定理,这几个基本定理是进一步深入研究函数的严格的理论基础,为此需要引进两个新概念:上确界和下确界.,我们以应用比较广泛的数集为背景,给出上确界和下确界的一般性定义.,2018年9月21日星期五,14,数集分为有限数集和无限数集.通常也说数列是一个数集.,任何有限数集都有一个最大和最小数, 但对于无限数集来说就未必了.,例如：,2018年9月21日星期五,15,因而,若它有最大数,则这个最大数是它的一个 上界,并且所有比这个最大数小的任何数都不是它的上界,对于有界数列来说,它有无穷多个上界和无穷 多个下界.,此时这个最大数自然就是它最小的上界;,同样,若它有最小数,则这
5、个最小数是它的一个 下界,且比这个最小数大的任何数都不是它的下界.,2018年9月21日星期五,16,关于他们的存在性暂且不论,我们先对一般数集确切定义它的最小的上界和最大的下界. 即上(下)确界的概念.,但从上例可见,对于一般无限数集不一定有 最大数或最小数.,然而对于某些无限数集来说,最小的上界和 最大的下界确实存在.,2018年9月21日星期五,17,定义:,设给定一数集E, 若 一个数 ,适合以下条件:,即 就是E的最小的上界.,(2).,(1).,条件(1)说明 是E的上界之一,条件(2)说明凡是小于 的任何数都不是E的上界.,2018年9月21日星期五,18,定义:,设给定一数集E
6、,若 一个数 ,适合以下条件:,即 就是E的最大的下界.,由以上定义可得上(下)确界的唯一性定理.,条件(1)说明 是E的下界之一,条件(2)说明凡是大于 的任何数都不是E的下界.,2018年9月21日星期五,19,定理2:,设数集有上(下)确界,则上(下)确界是唯一的.,说明:,1. 并不是任何数集都有上(下)确界.对任何有限数集来说它们一定存在.而且由定义知:最大数就是它的上确界,最小数就是它的下确界.,对任何无限数集来说它们就不一定存在了.,2018年9月21日星期五,20,2.一个无限数集E即使它有上确界 (或下确界 ) ,这个 (或 )可属于 E也可以不属于 E.,3.,上例中,下确
7、界0不达到而上确界1可达到.,上确界或下确界可达到时,它必是E的最大数或最小数.,2018年9月21日星期五,21,对下确界可达到必是数集E的最小数的情况也可同样说明.,例2:,2018年9月21日星期五,22,数集E的上(下)确界还有一个重要性质:,如何求数集E的上(下)确界,有下面的定理.,定理3:,有下界的非空数集必有下确界.,(确界定理),有上界的非空数集必有上确界,(直观上容易理解,不加证明予以承认),2018年9月21日星期五,23,定理4:,单调有界数列必有极限.,证明:,(就单调增加的有界数列予以证明),由上确界定义有:,(证毕),2018年9月21日星期五,24,这里不仅证明
8、了单调有界数列的极限存在,而且也证明了如果它是单增的,则极限就是它的上确界.,同样可证单减有界数列的极限存在,并且极限就是它的下确界.,推论:,这是因为单增无界数列必定不以有限数为它的上界,故可以认为它的上确界为 ;同样,对单减无界数列可以认为它的下确界为 .,作业：p114 3、4、5,2018年9月21日星期五,25,定义:,三. 区间套定理,具有如下性质,若无穷闭区间列,为闭区间套 ,称区间集合,简称区间套.,(1),(2),则,数列 收敛于同一极限 ,且 是所有区间的唯一公共点.,定理5:,后 在 前 内,几何意义,2018年9月21日星期五,26,证明:,由区间套定义知,为递增有上界
9、数列,依单调有界定理,有极限,( 是所有区间的公共点),2018年9月21日星期五,27,证毕.,推论:,说明:,区间套中要求各个区间都是闭区间,才能保证定理结论的成立.,2018年9月21日星期五,28,定义表明构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个,说明:,即闭区间的端点满足不等式:,如果区间列中任何两个区间不完全重合，,即区间的端点满足不等式:,区间套定理一般将不成立。,2018年9月21日星期五,29,四. 致密性(聚点定理的特殊情形)定理 :,聚点概念和下面两个定义等价:,对于点集 , 若点 的任何 邻域都含有 中异于 的点,即 ,则称 为 的聚点.,若存在各项互异的收敛数 列 ,
10、则其极限 称为 的聚点. (定理证明用到),说明:,定义,若数列仅仅是有界的,则它不一定收敛. 那么有界的发散数列是否有收敛的子列呢?,致密性(聚点)定理对这个问题给出肯定的回答.,2018年9月21日星期五,30,外尔斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass，1815-1897）德国数学家。被誉为“现代分析之父”，主要贡献在函数论和分析方面.发现函数项级数一致收敛性,第一个给出行列式的严格定义.大器晚成对整个数学界带来巨大影响的伟大数学家。,2018年9月21日星期五,31,定理6(Weierstrass) :,(实轴上任一有界无限点集 至少有一个聚点.),
11、证明:,任一有界数列必有收敛的子列.,则得到一个区间列 并适合下列条件:,(1).,(2),2018年9月21日星期五,32,证毕.,其中:,(两面夹),2018年9月21日星期五,33,当数列无界时,虽然不能应用致密性定理,但也有一个类似的性质,它刻画了无界数列的特性.,性质:,证明:,2018年9月21日星期五,34,五.Cauchy收敛原理,(单调有界数列必有极限),2018年9月21日星期五,35,柯西（Augusitn Louis Cauchy，1789-1857）法国数学家。对数学最大贡献在微积分中引进清晰严格的表述和证明方法，形成微积分现代体系。第一个使用极限符号,定义上下极限和
12、证明重要极限.许多见解被普遍接受并沿用到今.多产的数学家一生发表论文800余篇.著书7本共27卷.数学分析的奠基人.,2018年9月21日星期五,36,定理7:,证明:,(Cauchy收敛原理),(这里用k是为区别于表述中的m和n),首先,证明满足条件的任何数列 一定有界.,2018年9月21日星期五,37,其次,证明数列 收敛.,由 的有界性和定理6,必存在收敛子列,根据子列收敛定义,对任意给定的,所以,2018年9月21日星期五,38,这个定理的充要条件表明,在收敛数列 中必有这样一项 ,在这项以后任意两项之差的绝对值为任意小.,由于定理给出的是充要条件,所以也可以用来判定某些数列不收敛.
13、,例3:,证明:,于是若取,则不会有正整数N,使得当 时,有,(缩小),2018年9月21日星期五,39,六. 有限覆盖定理,定理8 (Heine-Borele 有限覆盖定理),定义:,如:,(有限覆盖),2018年9月21日星期五,40,证明:,(反证法),2018年9月21日星期五,41,(假设),(证毕),2018年9月21日星期五,42,定理条件中,若E不是开区间集或 为非闭区间,则从E中就不一定能选出有限个区间来覆盖.,(E为非开区间集),( i=(0,1)为非闭区间),如下面两例虽然能覆盖但不能有限覆盖。,2018年9月21日星期五,43,说明: 1.六个实数基本定理是相互等价的.
14、即可以以其中任意一个为公理,推出其他所有定理.(推证能构成一个闭合的循环).2.各种教材有不同的理论体系和不同的表述方式,本教材是以确界定理(定理3)为公理,有的以单调有界数列存在极限定理(定理4)为公理,还有的以 区间套定理 (定理5)为公理,来论证其他定理.3.更基本的原理的讨论,涉及更深入的实数理论,超出数学分析研究的范围.,2018年9月21日星期五,44,四 小结,区间套的概念;,定理5(区间套定理);,聚点的概念;,定理6( Weierstrass)(致密性定理);定理7(Cauchy收敛原理),覆盖的概念;,定理8 (Borel)有限覆盖定理;,作业:,P114: 6. 7. 8,子列概念,上(下)确界概念,定理2,定理3 (确界定理),定理1.定理4(极限存在定理),
