第二章 最小二乘法和线性回归

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1、1,第二章 最小二乘法（OLS） 和线性回归模型,2,本章要点,最小二乘法的基本原理和计算方法 经典线性回归模型的基本假定 BLUE统计量的性质 t检验和置信区间检验的原理及步骤 多变量模型的回归系数的F检验 预测的类型及评判预测的标准 好模型具有的特征,3,第一节 最小二乘法的基本属性,一、有关回归的基本介绍金融、经济变量之间的关系，大体上可以分为两种：（1）函数关系：Y=f(X1,X2,.,XP)，其中Y的值是由Xi（i=1,2.p）所唯一确定的。（2）相关关系: Y=f(X1,X2,.,XP) ，这里Y的值不能由Xi（i=1,2.p）精确的唯一确定。,4,图2-1 货币供应量和GDP散点

2、图,5,图2-1表示的是我国货币供应量M2（y）与经过季节调整的GDP（x）之间的关系（数据为1995年第一季度到2004年第二季度的季度数据）。,6,但有时候我们想知道当x变化一单位时，y平均变化多少，可以看到，由于图中所有的点都相对的集中在图中直线周围，因此我们可以以这条直线大致代表x与y之间的关系。如果我们能够确定这条直线，我们就可以用直线的斜率来表示当x变化一单位时y的变化程度，由图中的点确定线的过程就是回归。,7,对于变量间的相关关系，我们可以根据大量的统计资料，找出它们在数量变化方面的规律（即“平均”的规律），这种统计规律所揭示的关系就是回归关系（regressive relati

3、onship）,所表示的数学方程就是回归方程（regression equation）或回归模型（regression model）。,8,图2-1中的直线可表示为 （2.1）,根据上式，在确定、的情况下，给定一个x值，我们就能够得到一个确定的y值，然而根据式（2.1）得到的y值与实际的y值存在一个误差（即图2-1中点到直线的距离）。,9,如果我们以表示误差，则方程（2.1）变为：,即：,其中t（=1,2,3,T）表示观测数。,（2.2）,（2.3）,式（2.3）即为一个简单的双变量回归模型（因其仅具有两个变量x, y）的基本形式。,10,其中yt被称作因变量 （dependent varia

4、ble）、被解释变量 （explained variable）、结果变量 （effect variable）；,xt被称作自变量 （independent variable）、解释变量 （explanatory variable）、原因变量 （causal variable）,11,、为参数（parameters）,或称回归系数（regression coefficients）； t通常被称为随机误差项（stochastic error term）,或随机扰动项（random disturbance term）,简称误差项， 在回归模型中它是不确定的，服从随机分布（相应的，yt也是不确定的，服

5、从随机分布）。,12,为什么将t 包含在模型中？ （1）有些变量是观测不到的或者是无法度量的，又或者影响因变量yt的因素太多； （2）在yt的度量过程中会发生偏误，这些偏误在模型中是表示不出来的； （3）外界随机因素对yt的影响也很难模型化，比如：恐怖事件、自然灾害、设备故障等。,13,二、参数的最小二乘估计 (一) 方法介绍 本章所介绍的是普通最小二乘法（ordinary least squares,简记OLS）; 最小二乘法的基本原则是：最优拟合直线应该使各点到直线的距离的和最小，也可表述为距离的平方和最小。 假定根据这一原理得到的、估计值为 、 ，则直线可表示为 。,14,直线上的yt值

6、，记为 ，称为拟合值（fitted value）,实际值与拟合值的差，记为 ，称为残差（residual） ，可以看作是随机误差项 的估计值。 根据OLS的基本原则，使直线与各散点的距离的平方和最小，实际上是使残差平方和（residual sum of squares, 简记RSS） 最小，即最小化：,RSS= = （2.4）,15,根据最小化的一阶条件，将式2.4分别对、求偏导，并令其为零，即可求得结果如下 :,（2.5）,（2.6）,16,（二）一些基本概念 1.总体（the population）和样本（the sample） 总体是指待研究变量的所有数据集合，可以是有限的，也可以是无限

7、的；而样本是总体的一个子集。2、总体回归方程（the population regression function，简记PRF），样本回归方程（the sample regression function，简记SRF）。,17,总体回归方程（PRF）表示变量之间的真实关系，有时也被称为数据生成过程（DGP），PRF中的、值是真实值，方程为：,+,（2. 7）,样本回归方程（SRF）是根据所选样本估算的变量之间的关系函数，方程为：,注意：SRF中没有误差项，根据这一方程得到的是总体因变量的期望值,（2.8）,18,于是方程（2.7）可以写为： （2.9） 总体y值被分解为两部分：模型拟合值（ ）

8、和残差项（ ）。,19,3.线性关系 对线性的第一种解释是指：y是x的线性函数，比如，y= 。 对线性的第二种解释是指：y是参数的一个线性函数，它可以不是变量x的线性函数。 比如，y= 就是一个线性回归模型， 但 则不是。 在本课程中，线性回归一词总是对指参数为线性的一种回归（即参数只以一次方出现），对解释变量x则可以是或不是线性的。,20,有些模型看起来不是线性回归，但经过一些基本代数变换可以转换成线性回归模型。例如，,（2.10）,可以进行如下变换：,（2.11）,令 、 、 ，则方程 （2. 11）变为：,（2.12）,可以看到，模型2.12即为一线性模型。,21,4.估计量（estim

9、ator）和估计值（estimate） 估计量是指计算系数的方程；而估计值是指估计出来的系数的数值。,22,三、最小二乘估计量的性质和分布 （一） 经典线性回归模型的基本假设 （1） ，即残差具有零均值； （2）var ,即残差具有常数方差，且对于所有x值是有限的； （3）cov ，即残差项之间在统计意义上是相互独立的； （4）cov ，即残差项与变量x无关； （5）tN ,即残差项服从正态分布,23,（二）最小二乘估计量的性质 如果满足假设(1)(4)，由最小二乘法得到的估计量 、 具有一些特性，它们是最优线性无偏估计量（Best Linear Unbiased Estimators，简记B

10、LUE）。,24,估计量（estimator）：意味着 、 是包含着真实、值的估计量； 线性（linear）：意味着 、 与随机变量y之间是线性函数关系； 无偏（unbiased）：意味着平均而言，实际得到的 、 值与其真实值是一致的； 最优（best）：意味着在所有线性无偏估计量里，OLS估计量 具有最小方差。,25,(三) OLS估计量的方差、标准差和其概率分布 1.OLS估计量的方差、标准差。给定假设(1)(4)，估计量的标准差计算方程如下 :,其中， 是残差的估计标准差。,（2.21）,（2.22）,26,参数估计量的标准差具有如下的性质： （1）样本容量T越大，参数估计值的标准差越小

11、； （2） 和 都取决于s2。 s2是残差的方差估计量。 s2越大，残差的分布就越分散，这样模型的不确定性也就越大。如果s2很大，这意味着估计直线不能很好地拟合散点；,27,（3）参数估计值的方差与 成反比。 其值越小，散点越集中，这样就越难准确地估计拟合直线；相反，如果 越大，散点越分散，这样就可以容易地估计出拟合直线，并且可信度也大得多。 比较图22就可以清楚地看到这点。,28,图22 直线拟合和散点集中度的关系,29,（4） 项只影响截距的标准差，不影响斜率的标准差。理由是： 衡量的是散点与y轴的距离。 越大，散点离y轴越远，就越难准确地估计出拟合直线与y轴的交点（即截距）；反之，则相反

12、。,30,2OLS估计量的概率分布 给定假设条件(5)，即 ，则 也服从正态分布 系数估计量也是服从正态分布的：,（2.30）,（2.31）,31,需要注意的是：如果残差不服从正态分布，即假设(5)不成立，但只要CLRM的其他假设条件还成立，且样本容量足够大，则通常认为系数估计量还是服从正态分布的。,其标准正态分布为：,（2.32）,（2.33）,32,但是，总体回归方程中的系数的真实标准差是得不到的，只能得到样本的系数标准差（ 、 ）。用样本的标准差去替代总体标准差会产生不确定性，并且,、 将不再服从正态分布，而服从自由度为T-2的t分布，其中T为样本容量,即：, (2.34),(2.35)

13、,33,3.正态分布和t分布的关系,图2-3 正态分布和t分布形状比较,34,从图形上来看，t分布的尾比较厚，均值处的最大值小于正态分布。随着t分布自由度的增大，其对应临界值显著减小，当自由度趋向于无穷时，t分布就服从标准正态分布了。所以正态分布可以看作是t分布的一个特例。,35,第二节 一元线性回归模型的统计检验,一、拟合优度(goodness of fit statistics)检验拟合优度可用R2 表示：模型所要解释的是y相对于其均值的波动性，即 （总平方和，the total sum of squares，简记TSS），这一平方和可以分成两部分：,36,= + （2.36）,是被模型所

14、解释的部分，称为回归平方和（the explained sum of squares，简记ESS）；是不能被模型所解释的残差平方和（RSS）,即 =,37,TSS、ESS、RSS的关系以下图来表示更加直观一些：,图24 TSS、ESS、RSS的关系,38,拟合优度 因为 TSS=ESS+RSS所以 R2 （2.39）,（2.37）,（2.38）,R2越大，说明回归线拟合程度越好；R2越小，说明回归线拟合程度越差。由上可知，通过考察R2的大小，我们就能粗略地看出回归线的优劣。,39,但是，R2作为拟合优度的一个衡量标准也存在一些问题：（1）如果模型被重新组合，被解释变量发生了变化，那么R2也将随之改变，因此具有不同被解释变量的模型之间是无法来比较R2的大小的。,40,（2）增加了一个解释变量以后， R2只会增大而不会减小，除非增加的那个解释变量之前的系数为零，但在通常情况下该系数是不为零的，因此只要增加解释变量， R2就会不断的增大，这样我们就无法判断出这些解释变量是否应该包含在模型中。（3）R2的值经常会很高，达到0.9或更高，所以我们无法判断模型之间到底孰优孰劣。,41,为了解决上面第二个问题，我们通常用调整过的R2来代替未调整过的R2 。对R2进行调整主要是考虑到在引进一个解释变量时，会失去相应的自由度。调整过的R2用 来表示，公式为： 其中T为样本容量 ，K为自变量个数,