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1、功利理论的基本概念,孙少伟,功利理论的提出,一个方案是否可取，这取决于某些属性，如经济价值、时间的因素、声誉、社会接受力、趣味性等。 对于某些特性，例如经济价值，就有一种良好的测量尺度；可是，对大多数因素而言，则缺乏明显的方法去衡量它的价值。 为建立一项统一的尺度来衡量一个方案的总价值，可以引用“功利”的概念。功利功业所带来的利益（百度百科）。对于决策者来说，其含义是价值的真实量度。功利理论提供了一种体系，决策者可以用它对价值进行统一的测定，组合和对比。,某种材料设备采购方案对比如上，我们可以轻松地对比价格属性，但是其他方面的属性没有明确的度量尺度，因此我们引入了功利理论概念。,1、功利理论的
2、原理,引入以下的符号来规定两个事件之间的优选程度即：AB 表示A较B为好；AB表示AB之间无差别；AB表示A至少和B一样可取。（符号见书P72） 功利理论的重要法则： 次序可排性AB之间的优先程度可按照向B逐渐增长的优选度的次序进行排列： AB AB AB AB AB,可递换性如果AB及BC,则AC。 连续性如果ABC，应有一个值(在0与1之间）存在，使得某人在(a)肯定得到B及(b)分别以概率和(1一)得到A或者C这两个事件之间无所偏向。这个无偏向性可以用以下“抽彩”法表示出：,(a),(b),显然从上述“抽彩”中可看出，如果为0，肯定得到C，因此B被选用。而如果1，肯定得到A，则B不被选用
3、。因此，介于p介于0 1的某个值，(a)与(b)之间无差别的情况将发生。 替换性一个“抽彩”和它的必然等价可以互换而不影响它的优选性，从(3)显然可以看出两者（事件a和事件b）具有同等的优选性。 单调性如果AB,且 ，于是（证明过程）,单调性证明：当AB时，我们有u(A)u(B)，因此u(A)-u(B)为一正值。此外，如p ,于是,在不等式两边均加上u(B),则有,单调性得以证明。,可分解性一组分支可以用单个的分支代替,2、功利函数,个人的优选特点如符合功利法则,则可将他的优选特点编入功利函数中。功利函数可将优选性的次序定量。从数学上而言,这个函数代表一个可选程度绘成实线的 图形,因此允许用数
4、字来表示可选性。 令符号 u() 表示一个事件的功利函数。功利函数的特征要求：如AB ，则u(A)u(B)；如AB ，则u(A)= u(B)；如AB ，则u(A)u(B)： 功利函数的一个重要特征是一张彩票的功利等于它得奖的期望功利。,这说明功利函数与功利理论原则上是一致的,左边抽彩功利为 右边抽彩功利为 因为抽彩 及 均为无差别，因此 或 。对于给定A和C，首先建立上式确定一个合适的p值。,功利函数的线性转换功利函数经过线性转换后其相对功利值将保持不变。换言之，如果一个一致的功利值集u经过下式转换到 式中a-常数；b-正常数 则新的功利值集 将仍保持决策者原先的优选性。这说明功利值并不是唯一
5、的,绝对功利值并不必要,能够表达优选性的相对功利值就能满足需要了。 （P76例2-29）,3、确定功利值,假设三个事件,E1，E2，E3，需要规定它们的功利值。首先按优选度次序排列,如E1E2E3。通常对最优选事件指定其功利值为1，最不优选事件指定为0，即u（E1）=1，u（E3）=0。相对E1及E3的功利，要求E2的功利，抉择者可以在如下的抽彩方式中作出选择:,可以调整p值，直到L1，L2 两种抽彩方式无差别为止。这里使用概率轮转的方式间接得到p值。 在复杂的决策树中，许多事件将需要制定功利值。可用以下的步骤系统地确定几个事件的相对功利值，即E1至En：1)按优选次序排列Ei，即E1E2En
6、。2)指定u(E1)1及u(En) 0。3)利用对前述三个事件所建议的方法，确定u(E2) ，使得在下述抽彩事件之间无差别。这里把两个极端事件 1 和 作为抽彩的参考点。,概率轮转是一个有两个扇形的部分的盘子，一个为蓝色而另一个为红色，盘子中心又以固定指针。盘子可以转动，停止时，指针或指在蓝色部分或指在红色部分。通过改变红蓝两部分的相对大小进行简单的调整，当转盘停转时，也就改变了指针落在任一部分的概率。之后调整至L1与L2之间无差别为止。,此时的p值即为E2的功利值u（E2）。此时的p值和表示功利值u（E2），与决策树中的概率无关。,图片仅供参考,4）对步骤(3)重复(n一3)次，每次分别E3
7、 En-1 代替E2；当然，每次得到的p值很可能是有差别的。 5）此时，已经确定了一组功利值u( 1 ),u( 2 )u( )。下面对这些值做交叉检验，需将u( 1 )及u( 1 )作为一组新的参考点，重复步骤（3），确定新的 2 的功利值u( 2 ),使之达到无差别。 6)对步骤(5)重复(n一4)次，每次分别用E3 En-1代替E2。P79例2-30,4、经济价值的功利函数,常常用经济术语表达事物的后果。可是，经济价值并非总是功利的一个一致性的量度，优选次序将随经济价值的数量而有变化。此外，还取决于实际涉及到的金钱的数量。 要求决策者从以下抽彩中对方案和方案作出选择：如果各个事件的经济价值
8、为d(E1)=10美分，d(E2)=0美分以及d(E3）=5美分，对决策者来说，方案和都无关紧要。可是，如果d(E1)=1000美元， d(E2)=0，而d(E3）=500美元，由于方案肯定获利500美元，因而可能被优选。此外优选次序还取决于决策者本身的财政状况（百万富翁）。 按决策者的条件建立经济价值的功利函数。,5、其他变量的功利函数,利用相似的方法，在一项决策分析中，我们能将其中的其他变量值（如时间，沉陷量或污染程度等）转换到一种功利的尺度上来。 作为说明，考虑墨西哥城的机场设施发展的决策分析。其有效性的一种量度为飞机进出该机场的平均时间，其范围值为12分钟到90分钟。且其完善程度随通行
9、时间的减少而增加。现对这两个极端时间规定其功利值如下：u(12)=1及u(90)=0建立几对无差别抽彩，绘出平均通行时间的功利函数,如果通行时间是有效性的唯一度量，这个功利函数本身足以确定最佳方案。可是还有其他有效性的度量，诸如费用、容量、噪音污染、社会干扰、事故率等等。后面我们将会学到将几种功利函数结合成决策分析所要一个单一的总的功利函数的方法。,6、最大期望功利,使期望功利达到最大值，就可得到就可得到最大期望功利价值准则。最优方案的期望价值功利准则为,以前曾指出经济价值并非总是可以代表一个真实的功利尺度，按此最大EMV准则也并非总是选择能反映决策者真实意愿的方案的适当准则，所以引入最大期望
10、功利准则。 方案i期望功利,7、功利函数的常用型式,通常用来模拟风险排斥特性的功利函数的数学型式包括如下几种类型： 1）指数功利函数式中参数-风险排斥程度的量度a和b-标准化常数经标准化并使得u(0)=0 u(1)=1,标准化指数功利函数为,当增加，功利函数更凸形，表明有更高程度的风险排斥,2）对数型式中为一参数，通常取决于决策者所有的资金储备额度；亦即，当增加，决策者将有较多的多余功利，并表现为较小的风险排斥。标准化的对数函数如下：。3）二项式类型式中为与风险排斥程度有关的参数。标准化二项式功利函数可表达为,决策者的风险排斥性程度可用如下的“风险排斥系数”来度量。这项系数用于度量功利函数的负
11、曲率对应于在给定x值处的功利函数的斜率。可以看出，指数功利函数的风险排斥性系数并不随其属性而有所变化；而对数功利函数的风险排斥系数则随着x而减小，而当为二项式功利函数时，则随着x而增加。,8、期望功利对功利函数型式的敏感性,如果期望功利值对函数的型式并不敏感的话，那么正确选择功利函数是否很重要？ 已经证明（期望功利E = () 用二阶近似法分别给出三种函数类型的期望功利函数表达式，详见93），得出在一给定的风险排斥水平上，期望功利对功利函数的型式较不敏感，并且在风险排斥系数的一个宽广的范围内，期望功利也没有显著的变化。简言之，在统计决策分析中，确定一个精确的功利函数的问题并不是关键性的。,谢谢观赏,
