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1、第2章 流体静力学,研究对象 静止流体的力学规律； 这些规律在工程中的应用。 流体“静止”的两种情况 流体相对于地球无运动，称为绝对静止； 流体虽然对地球有运动，但对盛装它的容器无相对运动，如容器作匀加速直线运动或等加速回转运动，流体质点间没有相对运动，这种情况称为相对静止。 静止流体的流体质点间没有相对运动，因而流体的粘性无从显示，可以看作理想流体。 流体静力学是工程流体力学中独立完整且严密符合实际的内容，其理论无需实验修正。,2.1 静止流体上的作用力 2.2 流体的平衡微分方程及其积分 2.3 流体静力学基本方程 2.4 流体静压强的测量 2.5 静止流体对平面壁的作用力 2.6 静止流
2、体对曲面壁的作用力,第2章 流体静力学,2.1 静力流体上的作用力,如图2.1所示，在静止流体中取体积为的流体微团，其表面积为。作用在流体微团上的力可以分为两种：,1、质量力2、表面力,图2.1 静止流体上的作用力,2.1.1 质量力,定义：与流体微团质量大小有关并且集中作用在微团质量中心上的力称为质量力。 分类 ：考虑到相对静止的各种实际情况， 质量力可分为：1）重力 W=mg2）直线运动惯性力F1=ma3）离心惯性力FR=mr2 这些力的矢量和用Fm表示，则：,如果微团极限缩为一点，即V0，则,式中： dFm为作用在流体质点上的质量力； am为质量力加速度，等于单位质量力，即单位质量的质量
3、力； X、Y、ZZ为单位质量力在x、y、z轴上的投影，或简称为单位质量分力。,（2.1）,2.1.1 质量力,2.1.2 表面力,定义：大小与流体表面积有关且分布作用在流体表面上的力称为表面力，它是相邻流体或固体作用于流体表面上的力。 分类 ：按作用方向，1）沿表面内法线方向的压力；2）沿表面切向的摩擦力。 流体静压力：作用在静止流体上的表面力只有沿受压表面内法线方向的压力，称为流体静压力。,解释1）因为流体不能抵抗拉力，所以除液体自由表面处的微弱表面张力外，在流体内部是不存在拉力或张力的。2）由于流体不表现出粘性，在静止流体内部也就不存在切向摩擦力。 流体静压力是一个有大小、方向、合力作用点
4、的矢量，它的大小和方向都与受压面密切相关。,2.1.2 表面力,如图2.1，设作用于流体微团上的总压力为P，即流体静压力为P ，则A面积上的平均应力为P /A ，称为受压面上的平均流体静压强。当A0时，流体微团成为一个流体质点，则平均流体静压强的极限：,（2.2）,称为流体某一点的流体静压强，其单位为牛/米2（N/m2），简称为帕(Pa)。,2.1.2 表面力,流体静压强的特征流体静压强没有方向性，是一个标量。静止流体中任意点的静压强值仅由该点的坐标位置决定，而与该点静压力的作用方向无关。,证明如图2.2所示，在静止流体中的点M(x,y,z)处取一微元四面体，其边长分别为dx、dy、dz，斜面
5、的的外法线方向的,图2.2 静止流体中的微元四面体,2.1.2 表面力,2.1.2 表面力,单位矢量为n，各个面的面积分别为dAx、dAy、dAz、dAn (符号的下标表示该面的法线方向)，微元四面体斜面dAn的法线与x、y、z轴的方向余弦分别为cos(n，x)、cos(n，y)、cos(n，z)。 作用在为微元四面体上的力有：1）表面力。假设微元四面体各面上的压强均匀分布，任一点的压强分别用Px、Py、Pz、Pn表示，则各个面上的表面力为：,Pn在x、y、z轴方向的投影分别为Pncos(n，x)、Pncos(n，y)、Pncos(n，z)。,2.1.2 表面力,2）质量力 作用在微元四面体上
6、的质量力只有重力，它在各坐标轴方向的分量为Fx、Fy、Fz。设流体的密度为，则：,2.1.2 表面力,由于流体处于平衡状态，则F=0，在x轴方向F x =0 ，有,同理，由 y 和 z 轴方向的平衡方程可得，,当微元四面体的边长趋于零时，Px、Py、Pz、Pn就是作用在 M 点各个方向的压强。因此，上式表明流体中某一点任意方向的静压强是相等的，是位置坐标的连续函数，即P = P(x,y,z)。,Py=Pn、 Pz=Pn,故 Px=Py=Pz=Pn,2.1.2 表面力,上式中的第三项与前两项相比为高阶无穷小量，可以忽略不计，而dAncos(n，x)=dAx所以 Px= Py,2.2 流体的平衡微
7、分方程及其积分,2.2.1 欧拉平衡微分方程,如图2.3所示，在平衡流体中任取一个微元六面体abdccdba，其边长分别为dx、dy、dz，形心点为M(x,y,z)，该点压强为p(x,y,z)，,图2.3 微元六面体,2.2.1 欧拉平衡微分方程,作用在微元六面体上的力：1）表面力。由于流体压强是位置坐标的连续函数，因此沿x方向作用在面ad和面ad的压强可用泰勒级数展开并略去二阶以上无穷小量，可得,x方向作用在ad和ad 面的压强分别为,y方向作用在ac 和bd 面的压强分别为,z方向作用在ab和cd面的压强分别为,2）质量力质量力在坐标轴方向的投影分别为Fx、Fy、Fz，有 Fx=dxdyd
8、zX Fy=dxdydzY Fz=dxdydzZ,2.2.1 欧拉平衡微分方程,根据平衡条件，所有作用在该六面体上的表面力和质量力的合力为零，故沿x轴有 Px+Fx=0,即,化简得,2.2.1 欧拉平衡微分方程,同理,（2.4）,式（2.4）是欧拉(瑞士)在1755年首先导出的流体的平衡微分方程，通常称为欧拉平衡微分方程。 方程说明：平衡流体所受的质量力分量等于表面力分量。 欧拉平衡微分方程是平衡流体中普遍适用的一个基本公式，无论流体受的质量力有哪些种类，流体是否可压缩，流体有无粘性，欧拉平衡方程式都是普遍适用的。,2.2.1 欧拉平衡微分方程,2.2.2 平衡微分方程的积分,将式（2.4）中
9、各式分别乘以dx、dy、dz，然后相加，经变化可得,因为 p=p(x,y,z),故,有 dp=(Xdx+Ydy+Zdz) (2.5),此式称为欧拉平衡微分方程的综合形式，也叫压强微分公式。,压强微分公式的左端是压强的全微分，积分后得到某一点的静压强，因此式（2.5）的右端括号内的三项必须也是一个坐标函数W=F（x，y，z）的全微分，这样才能保证积分结果的唯一性。,即有,由此得,（2.6）,式（2.5）变为,（2.7）,满足式（2.6）的函数称为势函数，当质量力可以用这样的函数表示时，则称为有势的质量力。重力、惯性力都是有势的质量力。,2.2.2 平衡微分方程的积分,式（2.7）称为静止流体中压
10、强P的全微分方程，它表明：只有在有势质量力的作用下，流体才能保持平衡状态。,将式（2.7）积分，可得,式中，c为积分常数。假定平衡液体自由面上某点(x0 ，y0 ，z0)处的压强 p0 及势函数W0 已知，则 c=p0W0因此，欧拉平衡微分方程的积分为,由式可知，如果知道表示质量力的势函数W，则可求出平衡流体中任意一点的压强 P。因此，式（2.8）表述了平衡流体中的压强分布规律，是流体力学中的重要方程。,2.2.2 平衡微分方程的积分,2.2.3 等压面,定义：流体中压强相等各点所组成的平面或曲面。 等压面上 P=C ， dp=0将其代入式（2.5）可得Xdx+Ydy+Zdz=0 （2.9）
11、等压面三个性质：1）等压面也是等势面由式（2.7）可知，当dp=0时，dW=0，W=C 质量力函数等于常数的面叫作等势面，所以等压面也就是等势面。2）等压面与单位质量力垂直 由式（2.9）可知，X、Y、Z是单位质量力在各轴上的投影，dx、dy、dz是等压面上微元长度ds在各轴上的投影，,则式（2.9）表示单位质量力am在等压面内移动微元长度ds时所做的功为零，即amds=0。一般地，单位质量力am和微元位移ds均不为零，而它们的点积为零。因此，等压面与单位质量力相互垂直。3）两种不相混合液体的交界面是等压面,图2.4 两平衡液体的交界面,如图2.4，密度分别为1和2的两种不相混合的液体在容器中
12、处于平衡状态。如果两种液体的交界面a-a不是等压面，则交界面上两点A、B的压强差从两种平衡液体中可以分别得到：,2.2.3 等压面,因为12 ，这组等式在dp 0 ， dW 0的情况下是不可能同时成立的。只有dp=0，dW=0时这组等式才能同时成立，因此交界面a-a必然是等压面。,2.2.3 等压面,2. 3 流体静力学基本方程,在工程中经常遇到的是重力作用下的流体平衡问题，如果流体处于绝对静止状态，则流体所受的质量力只有重力。 本节讨论静止液体中的压强分布规律及其计算等问题。 2.3.1 静止液体中的压强分布规律,如图2.5所示的静止液体，建立坐标系如图。单位质量的质量力X=0、Y=0、Z
13、=g ，代入式（2.5）可得,2.3.1 静止液体中的压强分布规律,对于均质液体=常数，对上式积分得 p=-z+c (2.10)z+p/=常数 (2.11) 式（2.11）表示静止液体中的压强分布规律，称为流体静力学基本方程。它表明，静止液体中，各处z+p/的值均相等。例如，对图中的1、2两点，有,（2.12）,2.3.2 静止液体中的压强计算和等压面,式（2.11）中的c是由边界条件确定的积分常数。如果假定在液面上，z=0，p=p0则由式（2.11）可得 c=p0 故 p=p0-z （2.13）如果选取h的坐标方向与h轴相反，则p=p0+h （2.14） 此即静止液体中任意一点的压强计算公式
14、。该式表明：静止液体中任意一点的压强为液体表面压强与液重压强h之和。 在同一均质静止液体中，任意位置的处的压强是随其所处深度变化而增减的在液面以下的深度h愈大，则其所具有的压强p也愈大。,因为平衡流体的等压面垂直于质量力，而静止液体中的质量力只有重力，所以，静止液体中的等压面必然为水平面。 对于任意形式的连通器，在紧密连续而又属同一性质的静止的均质液体中，深度相同的点，其压强必然相等。在图2.6中，有p1=p2，p3=p4，pC=pD。而p1p3，p2 p4，因为A、B两容器中的液体既不相连，也不是同一性质的液体。例题2.1 在图2.6所示静止液体中，已知：pa= 98 kN/m2，h1=1m
15、，h2=0.2m，油的重度oil=7450N/m3，水银的重度m=133kN/m3，C点与D点同高，求C点的压强。,2.3.2 静止液体中的压强计算和等压面,解 由式（2.14）可得D点的压强为PD=Pa+oilh1+Mh=98+7.451+1330.2 =132.05 kN/m2 C点与D点同高且在同一连续液体中，因此它们的压强相等，故PC=PD=132.05 kN/m2,图2.6 连通器,2.3.2 静止液体中的压强计算和等压面,2.3.3 绝对压强、相对压强、真空度,流体压强的大小可以不同的基准面起算，常用绝对压强和相对压强表示。 以绝对真空或完全真空为基准计算的压强称为绝对压强，以大气压强为基准计算的压强称为相对压强。 在式p=p0+h中，p为绝对压强；如果液体表面与大气接触，其表面压强p0即为大气压强pa，则p-p0=h为相对压强p。 在一般工程中，大气压强处处存在并自相平衡，不显示出影响。所以绝大多数测压仪表是以当地大气压强为起点来测定压强的，即测压仪表所测出的压强是相对压强。因此相对压强又称计示压强或表压强。,
