期权定价理论

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1、期权定价理论,第六章 期权定价理论,第一节 BSM期权定价模型的思路,第二节 股票与证券价格的变化,第三节 BSM期权定价公式的推导,第四节 BSM模型的评价与应用,1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black(费雪.布莱 克)和 Myron Scholes(梅隆.舒尔斯)发表了期权与公司负债 定价疑问，提出了著名的B-S定价模型，用于确定欧式股 票期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响；同年， Robert C. Merton(罗伯特.莫顿)独立地提出了一个更为一般 化的模型。舒尔斯和默顿由此获得了1997年的诺贝尔经济 学奖。本章将循序渐进，尽量深入浅出地介绍布莱克-舒尔斯

2、-默 顿期权定价模型（下文简称B-S-M模型），并由此导出衍生 证券定价的一般方法。,引言,为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势。因为股票期权是其标的资产（即股票）的衍生工具，在 已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的 情况下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股 票价格是影响期权价格的最根本因素。因此，要研究期权的价格，首先必须研究股票价格的变 化规律。在了解了股票价格的规律后，我们试图通过股票来 复制期权，并以此为依据给期权定价。在下面几节中我们会用数学的语言来描述这种定价的思 想。,BSM模型的基本思路,公式等式第二项dz完全捕捉了影响股票价格变化的随 机因

3、素。,股票价格服从的随机过程,BSM模型的基本思路,根据数学家伊藤(K.Ito)提出的伊藤引理(It 引理),人们推 出，当股票价格服从上述随机过程时可得期权价格相应服从 的随机过程，作为股票衍生产品的期权价格f 将服从观察得到，影响期权价格的随机因素也完全体现在等式 右边的第二项中的dz上，即股票价格及其衍生产品期权 价格都只受到一种不确定性的影响，其区别只是在于随机因 素dz前面的系数不同，即对随机因素变化的反应程度不同。,BSM模型的基本思路,BSM 期权定价公式：,BSM 微分方程,BSM模型的基本思路,基础知识 随机过程如果某变量的价值以某种不确定的方式随 时间变化，则称该变量遵循某

4、种随机过程。 分为离散时间和连续时间随机过程； 连续变量和离散变量随机过程。 Markov Process-特殊类型的随机过程只有变量的当前值与未来的预测有关，变量过去的历 史和变量从过去到现在的演变方式则与未来的预测不相关.,股票与证券价格的变化,人们通常假设股票价格遵循马尔科夫过程。 例如：股票现价为100，如果其遵循马尔科夫过程，则一个 星期之前、一个月之前的股价不影响对将来的预测。惟一 相关的就是股票的现价100. 弱式效率市场假说与马尔可夫过程 1965年，法玛（Fama）提出了著名的效率市场假说。该 假说认为，投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报 酬。,股票与证券价格的变化,证

5、券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券 价格能完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡 水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是 相互独立的。 效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式； 弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程（Markov Stochastic Process）来表述。,股票与证券价格的变化,人们通常用形如公式的几何布朗运动来描绘股票价格的随机变化过程； 这是期权定价模型的基础性假设。也好似金融中最主要的假设； 最重要的是dz项，它代表影响股票价格变化的随机因素。 通常被成为标准布朗运动(Standard Brownian Motion)或维 纳过程

6、（Wiener Process)。,股票与证券价格的变化,股价行为模型通常用著名的维纳(Wiener Processes)过 程； 维纳过程是马尔科夫随机过程的一种特殊形式； 物理学中用于观察某个粒子受到大量小分子碰撞的运 动，有时称为布朗运动(Brownian Motion)； 布朗运动（Brownian Motion）起源 于英国植物学 家布朗对水杯中的花粉粒子的运动轨迹的描述。,股票与证券价格的变化,布朗运动 标准布朗运动 设 代表一个小的时间间隔长度， 代表变量z在时间 内的变化，遵循标准布朗运动的 具有两种特征： 特征1： 和 的关系满足（6.1）： 其中， 代表从标准正态分布（即均

7、值为0、标准差为1.0的正 态分布）中取的一个随机值。,股票与证券价格的变化,特征2：对于任何两个不同时间间隔， 和 的值相互 独立。 考察变量z在一段较长时间T中的变化情形，我们可得： 其中满足均值为0，方差为 （ 是相互独立的 ） 当 时，我们就可以得到极限的标准布朗运动：,股票与证券价格的变化,由特征1知道， 本身也具有正态分布。均值为零， 标准差为 ，方差为 ； 由特征2知道，遵循标准布朗运动的变量具有独立增 量的性质； 普通布朗运动 我们先引入两个概念：漂移率和方差率； 标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0.,股票与证券价格的变化,我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为b2，

8、就可得 到变量x 的普通布朗运动： 其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。 标准布朗运动是普通布朗运动的一个特例，即漂移率为0, 方差为1的普通布朗运动； 漂移率单位时间内变量z均值的变化值； 显然，遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过程;adt 为确定项，漂移率a 意味着每单位时间内x 漂移a,股票与证券价格的变化,伊藤过程 普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的 漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们可以普通的 布朗运动方程得到伊藤过程(Ito Process)： 其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变 量x的漂移率为a，方差率为b2

9、。,股票与证券价格的变化,证券价格的变化过程 证券（股票）价格的变化过程可以用漂移率为S、方差 率为 的伊藤过程来表示：两边同除以S得：,股票与证券价格的变化,从上式可知，在短时间后，证券价格比率的变化值为：可见， 也具有正态分布特征,股票与证券价格的变化,例：设一种不付红利股票遵循几何布朗运动，其波动率为每 年18%，预期收益率以连续复利计为每年20%，其目前的市 价为100元，求一周(0.0192年)后该股票价格变化值的概率分 布。,S服从均值为0.384元，标准差为2.49元的正态分布的随机抽样。,股票与证券价格的变化,伊藤引理若变量S遵循伊藤过程，则变量s和t 的函数 f 将遵循如下

10、过程：根据伊藤引理，衍生证券的价格 f 应遵循如下过程：,由于,股票与证券价格的变化,证券价格自然对数变化过程,令 ，由于 代入衍生证券的价格方程:证券价格对数G遵循普通布朗运动,且：,股票与证券价格的变化,例 设A股票价格的当前值为50元,预期收益率为每年18%, 波动率为每年20%,该股票价格遵循几何布朗运动,且该股票 在6个月内不付红利，请问该股票6个月后的价格ST的概率 分布。 例 请问在上例中，A股票在6个月后股票价格的期望值和 标准差等多少？,股票与证券价格的变化,假设： 证券价格遵循几何布朗运动，即 和 为常数； 允许卖空标的证券； 没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的；

11、衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付； 存在无风险套利机会； 证券交易是连续的，价格变动也是连续的； 衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。,BSM期权定价模型,由于证券价格S遵循几何布朗运动，因此有：,其在一个小的时间间隔 中，S的变化值 为：,在一个小的时间间隔中，f 的变化值 为：,设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的函数，根据伊藤引理可得：,BSM期权定价模型,为了消除风险源 ，可以构建一个包括一单位衍生证券空头和 单位标的证券多头的组合。 令 代表该投资组合的价值，则：,在 时间后，该投资组合的价值变化 为：,代入 和 可得：,BSM期权定价模型,BSM期权定价模型

12、,观察布莱克舒尔斯微分方程，我们可以发现，受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。这意味着，无论风险收益偏好状态如何，都不会对f的值产生影响。 假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。 尽管这只是一个人为的假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。在风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。,BSM期权定价模型,假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知 道在3个月后，该股票价格要么是11元

13、，要么是9元。现 在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧 式看涨期权的价值。由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后 股票的市价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权 价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权 价值为0。,案例 风险中性定价原理的应用,BSM期权定价模型,为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看 涨期权空头和 单位的标的股票多头组成的组合。若3个月后该股票价格等于11元时，该组合价值等于(11 0.5) 元；若3个月后该股票价格等于9元时，该组合价值等于9 元。为了使该组合价值处于无风险状态，我们应选择适当 的 值，使3个月后该组合

14、的价值不变，这意味着：,11 0.5=9=0.25,因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0.25股标的股票。无论3个月后股票价格等于11元还是9元，该组合价值都将等于2.25元。,30,BSM期权定价模型,假设现在的无风险年利率等于10%，则该组合的现值应为：由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场为10元，因此： 这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就会存在无风险套利机会。,31,BSM期权定价模型,从该例子可以看出，在确定期权价值时，我们并不 需要知道股票价格上涨到11元的概率和下降到9元的概 率。但这并不意味着概率可以随心所欲地给定。事实上

15、，只要股票的预期收益率给定，股票上升和 下降的概率也就确定了。例如，在风险中性世界中，无风险利率为10%，则 股票上升的概率P可以通过下式来求：,P=62.66%.,32,BSM期权定价模型,又如，如果在现实世界中股票的预期收益率为15%，则股票的上升概率可以通过下式来求：,P=69.11%.,可见，投资者厌恶风险程度决定了股票的预期收益率，而股票的预期收益率决定了股票升跌的概率。然而，无论投资者厌恶风险程度如何，从而无论该股票上升或下降的概率如何，该期权的价值都等于0.31元。,33,BSM期权定价模型,在风险中性的条件下，无收益资产欧式看涨期权到期时（T 时刻）的期望值为：,其中， 表示风

16、险中性条件下的期望值。根据风险中性定价原理，欧式看涨期权的价格c等于将此期望值按无风险利率进行贴现后的现值，即：,34,BSM期权定价模型,BSM期权定价模型,对于布莱克舒尔斯期权定价公式的理解：,在B-S公式中，N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的概 率，或者说是欧式看涨期权被执行的概率，e-r(T-t)XN(d2) 是X的风险中性期望值的现值;e-r(T-t)SN(d1)= E(ST)N(d1)是 ST的风险中性期望值的现值 。,因此，这个公式就是未来收益期望值的贴现。,36,BSM期权定价模型,无收益资产的欧式看跌期权的定价公式,根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式：,