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1、从理解到行动： 数学“四基”教学的若干思考,江苏省中小学教学研究室 董林伟,一 “双基”教学 中国数学教育的传统,“双基”的提出,“双基”从1953年提出，到1956年写出之后，一直成为中国中小学数学教育的核心。1963年教育部颁布的中学数学教学大纲首次明确提出“双基”教学的要求“数学教学应当加强基本知识和基本技能的教学”。“双基”的一般理解：概念记忆与命题理解、证明技能与运算技能。,外国人眼中看,Fundamentally，they are getting the basics right，particularly in math and sciences. We need to do sa
2、me. Their kids are often aheag of ours. Bill Powell.Five Things the U.S.Can Learn from China J.Time,World,2009,20:50-57 从根本上看，中国的中小学教育做的是稳扎稳打的基础性工作，特别是数学和科学。这方面，中国的孩子已经走到了美国的前头，我们也应该这么做。美国前驻中国公使威廉.麦克希尔语。总统奥巴马访华前时代周刊2009年11月23日建议向中国学习5件事：充满活力、重视教育、赡养老人、多多储蓄、放眼未来,国外华人认为,做数学，要做得很熟练，要多做，要反复地做，要做很长时间，你就明
3、白其中的奥妙，你就可以创新了。灵感完全是苦功的结果，要不灵感不会来前美国数学研究所所长、著名数学家陈省身,国内专家认为,华东师大张奠宙先生对数学 “双基”教学的目标的概括:快速、准确地进行数的四则运算，并掌握算法； 快速、准确地进行式的运算，并掌握规则； 准确记忆必要的数学定义和公式，并用来解决基本问题； 逻辑地、形式地表述数学概念，并能注意到分类、数学命题的逻辑准确性； 解题过程要求符合严格的逻辑推理规则，并能够清晰、形式化地表达； 熟悉结题的套路，记住一些最基本的结题方法，并能够模仿迁移。（范良火等华人如何学习数学 江苏教育出版社2005年）,中国“双基” 教学的特点,1、明晰“双基”要求
4、，落实教学目标,大纲明确了颇具可操作性的“了解、理解、掌握、灵活运用”四个层级目标；使用带有各种具体特征的行为动词对目标的具体含义做了详细的诠释，从而使各层级的目标要求的实现切实可行。 如“了解”层级描述的具体的行为动词有叙述、复述、默写、记住、知道、识别、解释、改写等。具体来说，如复述有关数学知识的定义、定义、定理、法则、性质、公式；指出、认识具体数学符号，图形的直接意义；正确默写有关数学公式、法则；记住重要的常用数学符号；等等。,义务教育数学课程标准（2011年版）的完善,用了两类行为动词表述教学目标：一类是描述结果目标的行为动词，包括“了解、理解、掌握、运用”等术语， 另一类是描述过程目
5、标的行为动词，包括“经历、体验、探索”等术语。在标准中，还使用了一些词，表述与上述术语同等水平的要求程度。这些词与上述术语之间的关系。如： 了解 知道，初步认识； 理解认识，会； 掌握能； 运用证明；经历感受，尝试； 体验体会,行为动词的基本含义,了解从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象。 理解描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。 掌握在理解的基础上，把对象用于新的情境。 运用综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决问题。经历在特定的数学活动中，获得一些感性认识。体验：参与特定的数学活动，主动认识或验证对象的特
6、征，获得一些经验。 探索独立或与他人合作参与特定的数学活动，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系，获得一定的理性认识。,例如：关于“有理数”教学目标部分的叙述,（1）理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。 （2）借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道a的含义（这里a表示有理数）。 （3）理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）。 （4）理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算。 （5）能运用有理数的运算解决简单的问题。,2、崇尚启发式教学，重视新知引入
7、,不愤不启，不悱不发，举一隅而不以三隅反，则不复也。 (不到他努力想弄明白却弄不明白的程度不要开导他，不到他心里明白却说不出来的程度不要启发他。如果他不能举一反三，就不要再反复给他讲例子了。) 中国古代教育思想家孔子启发式教学是中国数学课堂教学典型的方法。启发式教学作为中国传统教学思想的瑰宝，有着悠久的历史渊源。 学记中的“道而弗牵，牵而弗达，达而弗抑”。精辟地概括了这一教学思想的本质，可以说，启发式教学是教师在讲解时永远应该弘扬的。 (要引导学生而不要牵着学生走，要鼓励学生而不要压抑他们，要指导学生学习门径，而不是代替学生作出结论。) （张奠宙“双基”教学论纲，数学教学2004（2）,启发式
8、教学的理解,启发式教学是指教师从学生已有的数学知识、经验、思维水平出发，力求创设“愤悱”的数学教学情境，以形成认知和情感的不平衡态势，从而启迪学生主动、积极思维，引导学生学会思考，时学生的数学思维得以发展，数学知识、经验和能力得以生长，并从中领悟数学本质，达到生成教学目标。 （韩龙淑等数学启发式教学的基本特征，数学教育学报2009，18（6）启发式教学符合人的认知规律，与现代认知心理学、建构主义学习理论基本一致。,体现之一：旧知引入新知,古人云：温故而知新。 引入新课是数学教师实施启发式教学中最为精心设计的部分。 注重由旧知引入新知，使学生由旧之中产生困惑或新情境，形成河激发认识新知、发现新知
9、的欲望和行动，经历知识的发生、发展的过程。,案例：函数概念的引入,从学生已有的知识基础出发，先复习初中学过的函数定义： 师：我们在初中学过函数，请同学们回忆一下，我们学过哪些函数？ 生：正比例函数y=kx(k0)反比例函数y= (k0)一次函数y=kx+b(k0)二次函数y=ax2+bx+c(a0) 师：那么什么叫函数呢?(让学生回忆)初中学过的函数定义：在某变化过程中，有两个变量x，y，如果对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做值域. 师：
10、我们分析这个定义，可以看出，函数是运动变化中的两个变量之间的一种制约关系，自变量x在自己的取值范围内取定一个值，y就由这种制约关系确定出唯一一个与x对应的函数值。,体现之二注重问题与提示,问题是数学的心脏，也是展开启发式教学的内在动因，是从未知到已知，从静态到动态的转换器，规定着教学的方向和特点。问题的质量无疑也直接影响着启发的效能，决定着教学的成败。 提示与问题有着密切的联系。学生对问题的思考、探索活动免不了会遇到障碍与困惑，这就需要教师启发引导。启发引导的主要方式就是提示（语）。 提示语的使用方式和使用时机是启发式教学的关键，也是中国教师的一项教学基本功。,案例：垂线,（1）你能画出已知直
11、线的垂线吗？ 这样的垂线能画多少条？ （2）过点P，你能画出已知直线的垂线吗？ 这样的垂线能画多少条？总结垂线的画法即“一靠、二过、三画、四标”。总结得出垂线的性质，并对“有且只有”作简单解释“存在唯一”。此性质还可简单的说成：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 教师提问：图3与哪一张图是类似的？（3）如果身边没有直角三角尺，你还能利用其它工具或材料过一点画已知直线的垂线吗？,3、渗透思想方法，发展思维能力,受人以鱼，不如授之以渔。中国古训“学过的数学知识一段时间不用，很快就会忘掉，但是数学的精神、思维方法、研究方法和着眼点却随时随地地发挥作用，相伴终生。”（日本数学家米山国藏）完善的思想
12、方法犹如北极星，使人们找到正确的道路。G.波利亚2 0世纪60年代提出发展学生的逻辑推理能力、空间想象能力和运算能力等三大能力，信奉“数学是思维的体操”，强调在良好的双基基础上发展学生的思维能力。主要抓手就是在教学过程中渗透数学思想方法。,中学“数学教学目标”中的“关于数学思想和方法”的表述及发生的变化：,1952年中学数学教学大纲首次提出要求学生掌握“数学的思想”；1978年全日制十年制学校中学数学教学大纲（试行草案）中提出“把集合、对应等思想适当地渗透到教材中去。这样，有利于加深理解有关教材，同时也为进一步学习做好准备。”1986年全日制十年制学校中学数学教学大纲中改为“适当渗透集合、对应
13、等数学思想。”,中学“数学教学目标”中的“关于数学思想和方法”的表述及发生的变化：,1992年九年制义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用）“教学目的”规定“初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、定理以及油漆内容所反映出来的数学思想和方法”。第2版中有首次提出“数学的内容、思想、方法和语言已经成为现代文化的重要组成部分”。2000年全日制高级中学数学教学大纲（试行修订版）“教学目的”也规定“高中数学的基础知识主要是概念、法则、性质、公式、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法”。2001年全日制义务教育数学课程标准（实验稿）及2005年普通高中数学课程标准（实
14、验稿）也分别体现出了要求学生获得“数学思想和方法”。,教学特点,中国教师具有提炼数学思想方法的教学意识，习惯于结合数学思想方法进行概念理解、推理证明、解决问题，并善于对思想方法进行总结和反思。具体来说，思想方法的渗透的三个层次： 宏观层面上的一般性数学思想如分析综合、抽象概括、联想类比等； 中观层面上的稍显具体的数学思想如形数结合、分类讨论、特殊化与一般化、化归、函数、方程、几何变化、等价转化、逐步逼近等； 微观层面上的具体解题方法换元法、待定系数法、十字相乘法、配方法等。不难看出，无论哪个层面上的数学思想方法所涉及的数学活动都是以数学思维活动为主的。,4、突出师班互动，强化变式训练,大班课堂
15、下的师班互动班级授课制下的课堂教学是一个以人际互动为中心的社会过程。互动形式表现为师个、师组和师班等三种形式。中国当前教学班级的人数较多（少则50人，多则60-70人），为避免大班环境下的的“满堂灌”、“一言堂”等呆板、低效的教学行为，形成了“提出问题启发思考全班讨论回答问题准确表达”等师生交替互动的课堂教学模式，实现了师生之间用数学语言进行交流、和谐对接，最后达成共识的活动过程，这是一个具有中国特色的创造。 （张奠宙，关于中国数学教育的传统，人民教育2010（2）。,变式训练,中国教师信奉：趁热打铁，熟能生巧，拳不离手，曲不离口。 新知识建立后，为了深层次理解新知识的意义而进行的巩固训练是中
16、国数学双基教学最为突出的特色。概念、命题、公式、法则的理解与应用基本上是以各种层次的题目反复训练达到的。解题教学中的变式训练是中国数学教师最擅长的教学活动之一。解题的训练是从不同角度、不同侧面、不同背景出发变更数学问题的条件、结论及呈现形式，使数学问题的非本质特征发生某些变化而本质特征保持不变。这样的变式训练能够使得学生在解题时的思维过程具有合适的梯度，逐步增加创造性因素。有时还可以将一道题进行适当的引伸和变化，为学生提供尝试发展的阶梯。变式题的组合从不同的角度更换阶梯的技能和方法，有利于学生概括各种解题技能。正是在这样的教学活动中学生学会了解题，发展了自己的数学思维能力。,二 从“双基”走向“四基”的基本理解,核心：创新人才的培养,要创新人才培养模式。“要遵循教育规律和人才成长规律，深化教育教学改革，创新教育教学方法，探索多种培养方式，形成各类人才辈出、拔尖创新人才不断涌现的局面。” 提出三个“注重”：注重学思结合、注重知行统一、注重因材施教。 国家中长期教育改革和发展规划纲要（20102020年）,
