《历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类》由会员分享，可在线阅读，更多相关《历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高数竞赛预赛试题（非数学类）高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书 及相关题目，主要是一些各大高校的试题。 ）2009 年年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题一、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分）1计算_，其中区域由直线与 yxyxxyyxDdd1)1ln()( D1 yx两坐标轴所围成三角形区域.解: 令，则，vxuyx,vuyvx ,vuvuyxdddd1110detdd vuuvuuuyxyxxyyxDDdd1lnlndd1)1ln()( 1021000d1)ln
2、( 1lnd)dln1d1ln(uuuuuu uuuuvvuuvuuuuu（*）102 d1uuu令，则ut121tu，dt2dtu42221ttu)1)(1 ()1 (2tttuu 0142d)21(2(*)ttt1042d)21 (2ttt1516 51 3221053 ttt2设是连续函数，且满足, 则_.)(xf2022d)(3)(xxfxxf)(xf解: 令，则，20d)(xxfA23)(2Axxf,AAxAxA24)2(28d)23(202解得。因此。34A3103)(2 xxf3曲面平行平面的切平面方程是_.2222 yxz022zyx解: 因平面的法向量为，而曲面在022zyx
3、) 1, 2 , 2(2222 yxz处的法向量为，故),(00yx) 1),(),(0000yxzyxzyx与平行，因此，由，知) 1),(),(0000yxzyxzyx) 1, 2 , 2(xzxyzy2，0000002),(2 ,),(2yyxzxyxzyx即，又，于是曲面在1, 200yx5) 1 , 2(),(00 zyxz022zyx处的切平面方程是，即曲面 ),(,(0000yxzyx0)5() 1(2)2(2zyx平行平面2222 yxz的切平面方程是。022zyx0122zyx4设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则)(xyy 29ln)(yyfexef1 f_.22dd
4、 xy解: 方程的两边对求导，得29ln)(yyfexex29ln)()()(yeeyyf xeyyfyf因，故，即，因此)(29lnyfyxeeyyyfx)(1 )(1 (1 yfxy2222)(1 )( )(1 (1 dd yfxyyf yfxyxy 322232)(1 )(1 )( )(1 (1 )(1 )( yfxyfyf yfxyfxyf 二、二、 （5 分）分）求极限求极限，其中，其中是给定的正整数是给定的正整数.xenxxxxneee)(lim20n解 :因xenxxxxxenxxxxnneee neee)1 (lim)(lim2020故nxneeeexe nneeeAnxxxx
5、nxxxx2020limlimen nnenneeeenxxxx21212lim20 因此en Axenxxxxeeneee2120)(lim三、三、 （15 分）分）设函数设函数连续，连续，且，且，为常数，求为常数，求)(xf10d)()(txtfxgAxxfx )(lim 0A并讨论并讨论在在处的连续性处的连续性.)(xg)(xg0x解 : 由和函数连续知，Axxfx )(lim 0)(xf0)(limlim)(lim)0( 000 xxfxxff xxx因，故，10d)()(txtfxg0)0(d)0()0(10ftfg因此，当时，故0xxuufxxg 0d)(1)(0)0(1)(lim
6、d)( lim)(lim 0000 fxf xuuf xg xxxx当时，0x，xxfuufxxgx)(d)(1)( 02200000d)( limd)(1lim)0()(lim)0(xttfxttfx xgxggxxxxx22)(lim 0A xxfx 22d)(1lim)(lim)(d)(1lim)(lim 02000200AAAuufxxxf xxfuufxxgxxxxxx这表明在处连续.)(xg0x四、四、 （15 分）分）已知平面区域已知平面区域，为为的正向边界，试的正向边界，试0,0| ),(yxyxDLD证：证：（1）；LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsi
7、nsin（2）.2sinsin 25ddLyyxyeyxe证 :因被积函数的偏导数连续在上连续，故由格林公式知D（1）yxyeyxexxyeyxeDxyLxydd)()(ddsinsinsinsin yxeeDxydd )(sinsinLxyxyeyxeddsinsinyxyeyxexDxydd)()(sinsin yxeeDxydd )(sinsin而关于和是对称的，即知DxyyxeeDxydd )(sinsinyxeeDxydd )(sinsin因此LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin（2）因)1 (2)! 4! 21 (2242 ttteett故22cos
8、5 22cos12sin22sinsinxxxeexx由 DxyLDxyyyyxeeyxeexyeyxedd)(dd )(ddsinsinsinsinsinsin知DxyLDxyyyyxeeyxeexyeyxedd)(21dd )(21ddsinsinsinsinsinsinDxxDxxDyyyxeeyxeeyxeedd)(dd)(21dd )(21sinsinsinsinsinsin200sinsin 25d22cos5d)(xxxeexx即 2sinsin 25ddLyyxyeyxe五、五、 （10 分）分）已知已知，是某二阶常系数是某二阶常系数xxexey2 1xxexey2xxxeex
9、ey2 3线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解 设，是二阶常系数线性非齐xxexey2 1xxexey2xxxeexey2 3次微分方程 )(xfcyyby 的三个解，则和都是二阶常系数线性齐次微分方程xxeeyy2 12xeyy13 0 cyyby的解，因此的特征多项式是，而的0 cyyby0) 1)(2(0 cyyby特征多项式是02cb因此二阶常系数线性齐次微分方程为，由和02 yyy)(2111xfyyy ，xxxexeey2 12xxxexeey2 142 知，1112)(yyyxf )(2)2(42222xxxxxxxxexeee
10、xeeexexex)21 ( 二阶常系数线性非齐次微分方程为xxxeeyyy22 六、六、 （10 分）分）设抛物线设抛物线过原点过原点.当当时时,又已知该抛物线又已知该抛物线cbxaxyln2210 x0y与与轴及直线轴及直线所围图形的面积为所围图形的面积为.试确定试确定,使此图形绕使此图形绕轴旋转一周而成的旋轴旋转一周而成的旋x1x31cba,x转体的体积最小转体的体积最小.解 因抛物线过原点，故，于是cbxaxyln221c2323dt)(311023102baxbxabxax 即)1 (32ab而此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积x10221022dt)1 (32(dt)()(xaa
11、xbxaxaV10221031042dt)1 (94dt)1 (34dtxaxaaxa22)1 (274)1 (31 51aaaa即22)1 (274)1 (31 51)(aaaaaV令，0)1 (278)21 (31 52)(aaaaV得 04040904554aaa即 054a因此,.45a23b1c七、七、 （15 分）分）已知已知满足满足, 且且, 求函数项求函数项)(xun), 2 , 1()()(1nexxuxuxn nnneun) 1 (级数级数之和之和.1)(nnxu解 ，xn nnexxuxu1)()(即xnexyy1由一阶线性非齐次微分方程公式知)d(1xxCeynx即)(
12、nxCeyn x因此)()(nxCexun x n由知，)1() 1 (nCeune n0C于是nexxuxnn)(下面求级数的和：令11)()(nxnnnnexxuxS则xexSexxSnexexxSxnxnnxn xn 1)()()()(1111即xexSxSx1)()(由一阶线性非齐次微分方程公式知)d11()(xxCexSx令，得，因此级数的和0xCS)0(01)(nnxu)1ln()(xexSx八、八、 （10 分）分）求求时时, 与与等价的无穷大量等价的无穷大量.1x02nnx解 令，则因当，时，故2)(txtf10 x(0,)t2( )2ln0tf ttxx在上严格单调减。因此x
13、ttextf1ln22)(0,)1010001( )d( )d( )(0)( )d1( )dnnnnnnnf ttf ttf nff ttf tt 即， 000( )d( )1( )dnf ttf nf tt 又，200( )nnnf nx111lim11ln lim 11 x xxxx，21ln1d1ln1ddd)( 001ln00222xtextetxttftxtt所以，当时, 与等价的无穷大量是。1x02nnxx1212010 年年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书 及相关题目，主要是一些各大高校的试题。 ）一、一、 （25 分，每小题分，每小题 5 分）分）（1）设其中求22(1)(1)(1),nnxaaa| 1,a lim.nnx （2）求。21lim1x xxex（3）设，求。0s 0(1,2,)sxnIex dx n
