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1、第四节 条件概率 全概率公式,、条件概率 乘法公式 事件的相互独立性,1、条件概率的定义,设A、B是两个事件，且P(B)0,则称,为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率。,若事件B已发生，则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB。由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间 , 于是有(1)式。,已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，,于是P(A|B)= 1/3.,B中共有3个元素，它们的出现是等可能的，其中只有1个在集A中，,容易看到：,例1 设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4。如果现在有一
2、个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？,解 设A表示“能活到20岁以上”， B表示“能活到25岁以上”。,则,由已知,从而所求的概率为,由条件概率的定义：,即若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2),而 P(AB)=P(BA),2、 乘法公式,若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).,将A、B的位置对调，有,故 P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (3),若P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A),(2)和(3)式都称为乘法公式,利用 它们可计算两个事件同时发生的概率,例2 在100件产品中有5件是次品，从中连续无放回地抽取3次
3、，问第三次才取得次品的概率。,解：设 表示“第i次取得次品”（i=1，2，3）,B表示“第三次才取到次品”，则,3、 事件的相互独立性,对乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A) ，有的问题中事件B发生的概率与事件A发生的条件下事件B发生的概率是相等的，即,相当于无条件概率，B是否发生与A无关，从而,此时称A与B是相互独立的。,我们也称A ，B，C 是相互独立的事件。,对三个事件A，B，C，如果成立：,定理 若事件A与B是相互独立的，则,例 3 一个均匀的正四面体,将第一面染成红色,第二面染成白色,第三面染成黑色,第四面同时染上红、白、黑三种颜色，如果以A、B、C分别表示投掷一次正四面体时红
4、、白、黑颜色着地的事件，由于在四个面中两面上着红色，故,同理可知,对以上三事件A、B、C，成立:,对于多个随机事件，若 是相互独立的，则n 个事件中至少有一个发生的概率为,但,所以A、B、C三事件不是相互独立的,但它们是两两独立的。,例4 若每个人的呼吸道中有感冒病毒的概率为0.002,求在有1500人看电影的剧场中有感冒病毒的概率。,解 以 表示事件“第i个人带有感冒病毒”（i=1,2,，1500），假定每个人是否带有感冒病毒是相互独立的，则所求概率为,从这个例子可见，虽然每个带有感冒病毒的可能性很小，但许多聚集在一起时空气中含有感冒病毒的概率可能会很大，这种现象称为小概率事件的效应。卫生常
5、识中,不让婴儿到人多的公共场所去就是这个道理。,它们下方的数是它们各自正常工作的概率。 求电路正常工作的概率。,例5 下面是一个串并联电路示意图. A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的元件.,解 将电路正常工作记为W，由于各元件独立工作，有,代入得,二 、全概率公式 贝叶斯公式,全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.,1、全概率公式:,在一些教材中，常将全概率公式叙述为：,设 为随机试验的样本空间，,是两两互斥的事件，且,全概率公式:,例6 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一
6、人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率。,则对任一事件B，有,设B=飞机被击落 Ai=飞机被i人击中, i=1,2,3，则B=A1B+A2B+A3B,求解如下:,由全概率公式,为求P(Ai ), 设 Hi=飞机被第i人击中i=1,2,3,可求得:,依题意，,将数据代入计算得:,于是,即飞机被击落的概率为0.458。,例7 有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的.其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占20%,甲厂产品中正品率为95%,乙厂产品正品率为90%,丙厂产品正品率为85%,如果从这批产品中随机抽取一件
7、,试计算该产品是正品的概率多大?,解 设A、B、C分别表示抽得产品是甲厂、乙厂、丙厂生产的，D 表示抽得产品为正品，,从而任取一件产品为正品的概率可由全概率公式得到：,则由已知，,该球取自哪号箱的可能性最大?,实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因”。,某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.,或者问:,接下来我们介绍为解决这类问题而引出的,贝叶斯公式,这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小。,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.,
8、在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为原因的验前概率和验后概率.,P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件,当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计。,例8 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应。由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为2:3:5，混合在一起。,（1）从中任取一件，求此产品为正品的概率；,（2）现取到一件产品为正品，问它是由甲、,发生可能性大小的认识。,乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？,由已知,（1）由全概率公式得：,由贝叶斯公
9、式得,由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小。,例9 假定具有症状 中一个或数个的疾病为其中S1=食欲不振 S2=胸痛 S3=呼吸急促 S4=发热 现从20000份患有疾病 的病历卡中统计得到下列数字：,试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的可资依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？,解 以A表示事件“患有出现S中的某些症状”, 表示事件“患者患有疾病 ”（i=1，2，3），由于该问题观察的个数很多，用事件的频率作为概率的近似是合适的，由统计数字可知,从而,由贝叶斯公式可得,从而推测病人患有疾病 较为合理。,
