锁相环路的基本原理与性能分析

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1、第1章 锁相环路的基本原理与性能分析,第1节 锁相环路的工作原理与线性模型 第2节 锁相环路的线性性能分析 第3节 锁相环路的非线性性能分析 第4节 锁相环路的噪声性能分析,第1节 锁相环路的基本原理与性能分析,相位的概念：作正弦变化的物理量，在某一时刻（或某一位置） 的状态可以用一个数值来确定，这个数值叫做相位。,1-1-1 锁相环路的基本原理,相位与频率的关系（从数学的概念出发）：相位的微分为频率，频率的积分为相位。,锁相环路(PLL)是一个相位跟踪系统,方框表示如图1-1。,图1-1 相位跟踪系统框图,锁相环路：,锁相环路的组成：,锁相环路为什么能够进入相位跟踪,实现输出与输 入信号的同

2、步呢？因为它是一个相位的负反馈控制系统。这个负反馈控制系统是由鉴相器(PD)、环路滤波器(LF)和电压控制振荡器(VCO)三个基本部件组成的。,设输入信号为：式中：Vi是输入信号的幅度；i是载波角频率；i(t)是以载波相位it为参考的瞬时相位。若输入信号是未调载波,i(t) 即为常数，是vi(t)的初始相位；若输入信号是角调制信号(包括调频、调相)，i(t)即为时间t的函数。,(1-1),设输出信号为：式中：Vo是输出信号的幅度； o 是环内被控振荡器的自由振荡角频率,它是压控振荡器的一个重要参数；o(t)是以自由振荡的载波相位o t为参考的瞬时相位，在未受控制以前它是常数，在输入信号的控制之

3、下，o(t)即为时间t的函数。,(1-2),从图上可以得到两个信号的瞬时相位之差,(1-3),前面已经说到,被控振荡器的自由振荡角频率o 是 系统的一个重要参数，它的载波相位o t可以作为一个参考相位。这样一来，输入信号的瞬时相位可以改写为：,(1-4),(1-5),为输入信号频率与环路自由振荡频率之差,称为环路的固有角频差。再令,(1-6),为输入信号以o t为参考的瞬时相位,因此,(1-4)式 可以改写为,同理,输出信号的瞬时相位可以改写为,(1-7),(1-8),(1-9),式中2(t) 也是以o t 为参考的输出信号瞬时相位。,利用(1-6)式和(1-9)式可比较输入和输出信号的相位。

4、由于有了共同的参考,就很便于比较。将(1-6)式和(1-9)式代入(1-3)式,得到环路的瞬时相位差,(1-10),应用上述描述方法,矢量图可以画成图1-2。,图1-2 输入信号和输出信号的相位关系,鉴相器（Phase DetectorPD）是相位比较装置。它把输入信号U1(t)与压控振荡器输出信号U0(t)的相位进行比较，产生对应于两信号相位差的误差电压Ud(t)。环路滤波器（Loop FilterLF）的作用是滤除误差电压Ud(t)中的高频成分和噪声，以保证环路所要求的性能，增加环路的稳定性。压控振荡器（Voltage Control OscillatorVCO）是一个受电压控制的振荡器。

5、环路滤波器输出的控制电压Uc(t)的控制，使其频率向输入信号的频率靠拢，直至频差消失，环路锁定。,下面定性地介绍环路的主要部件,锁相环路的基本原理：,一、锁相环路的跟踪原理,当环路无输入信号时，即vi(t)=0时。VCO处于自由振荡状态。环路输出信号V。(t) 的频率为o 。,当环路有输入信号时，即vi(t)0时。一般情况,输入信号频率i 与被控振荡器自由振荡频率o 不同，即两者之差o0。若没有相位跟踪系统的作用,两信号之间的相差,将随时间不断增大。,但由于锁相环路的相位闭环控制作用，从输入信号加 到锁相环路的输入端开始，环路鉴相器（PD）对U1(t) 和 U。(t)的相位进行比较，产生相位误

6、差电压Ud(t) ，经环 路滤波器LF滤波后，控制压控振荡器的频率和相位，使 两信号的频率差和相位差减小。,图1-3 捕获过程中瞬时相差与瞬时频差的典型时间图,当i与0 相近时，即两者之差o较小时，通过 环路的控制作用。最终可以使输出信号频率0i（输 入信号频率 ）。且相位差保持恒定，即这就是环路实现了跟踪或称环路实现了“同步”。,一旦锁定后，由于环路的自动控制作用，环路一直 能够保持输出信号频率0i（输入信号频率 ），且相 位差保持恒定的状态。,这就是环路的跟踪原理。,另外一种情况： 当i与0 差别较大时，即两者之差o较大时， 经鉴相器后输出的误差电压频率高，误差电压vd(t)经LF 后，由

7、于LF的滤除作用，加到的电压很小或没 有。不能使的输出信号频率0发生变化，仍然为 的自由振荡频率0 。即环路不能实现跟踪。,下图是一个单环数字锁相频率合成器的方框图：,二、环路的稳频原理：,程序分频器,参考分频器,高精度、高稳定度的晶体振荡器产生一个高质 量的频率信号，经过参考分频器，得到一个频率 较低的基准参考信号 ，通过锁相环路的同步过 程，可以得到许多与晶体振荡器同样精度和稳定度 离散频率信号。,这就是锁相环路的稳频原理。,1-1- 锁相环路的基本方程,首先了解两个概念：,） 频率相等 相位恒定或 相位恒定 频率相等；）频率相等的情况下，进行相位比较才有意义。,这是理解锁相环路的物理基础

8、,为了下面的介绍，我们回顾一下我们得出的一些结论：,下面定量地分析锁相环路，首先对环路的几个主要 部件进行较为详细的描述：,一、鉴相器：,鉴相器是一个相位比较装置,用来检测输入信号相位1(t)与反馈信号相位2(t)之间的相位差e(t)。输出的误差信号ud(t)是相差e(t)的函数,即鉴相特性 可以是多种多样的,有正弦形特性、三角形特性、锯齿形特性等等。常用的正弦鉴相器可用模拟相乘器与低通滤波器的串接作为模型,如图1-5(a)所示。,图1-5 正弦鉴相器模型,下面以模拟正弦鉴相器为例进行分析。,正弦鉴相器通常就是一个模拟乘法器，可用下图来等效。设输入信号为压控振荡器的反馈信号为,设相乘器的相乘系

9、数为Km单位为1V,输入信号ui(t)与反馈信号uo(t)经相乘作用，其输出信号为：,再经过低通滤波器(LPF)滤除2o成分之后,得到误差电压,(1-16),为鉴相器的最大输出电压,(1-17),其中,Vd 称为鉴相器的鉴相增益,单位为 教材中记为Kd,图1-6 正弦鉴相器特性,鉴相器的功能：一是相位相减作用，二是将相位差转换为误差电压,二、环路滤波器环路滤波器具有低通特性,它可以起到图1-5(a)中低通滤波器的作用,更重要的是它对环路参数调整起着决定性的作用。环路滤波器是一个线性电路,在时域分析中可用一个传输算子F(p)来表示,其中p(ddt)是微分算子；在频域分析中可用传递函数F(s)表示

10、，s 为拉氏算子；若用s=j代入F(s)就得到它的频率响应F(j),故环路滤波器模型可表示为图1-7。,本书中为了方便，s和统一使用,图1-7 环路滤波器的模型,环路滤波器是一个线性电路，实际上是一个低通滤波器。,其传递函数（）可以用常系数线性微分方程来表示,三、压控振荡器压控振荡器是一个电压-频率变换装置,在环中作为被控振荡器,它的振荡频率应随输入控制电压uc(t)线性地变化,即应有变换关系,(1-24),图1-11 压控振荡器的控制特性,Ko 称为压控振荡器的压控灵敏度, 单位为,由于压控振荡器的输出反馈到鉴相器上,对鉴相器输出误差电压ud(t)起作用的不是其频率,而是其相位,(1-25)

11、,压控振荡器的这个数学模型如图1-12所示。从模型上看,压控振荡器具有一个积分因子1p, 这是相位与角频率之间的积分关系形成的。,图1-12 压控振荡器的模型,前面已分别得到了环路的三个基本部件的模型,按图1-4的环路构成,不难将这三个模型连接起来得到环路的模型,如图1-13。,图1-13 锁相环路的相位模型,四、环路的数学模型,按图1-13的环路相位模型,不难导出环路的动态方程,(1-26),(1-27),将(1-27)式代入(1-26)式得,令环路增益,(1-28),(1-29),K的单位为：,将(1-29)式代入(1-28)式得这就是锁相环路动态方程的一般形式。从物理概念上可以逐项理解它

12、的含意。式中pe(t)显然是环路的瞬时角频差。记为：,(1-30),或称为以角频率形式表示的环路微分方程,右边第一项,若输入信号的初相位恒定，则,为环路的固有角频差。,右边第二项为环路闭环后压控振荡器受控制电压作用产生的角频率变化，称为控制角频差，记为：,所以环路的基本方程可以写为：,或,称为环路的动平衡关系式,根据环路的工作原理，当环路锁定时，环路输出信号频率等于环路输出信号频率。,即：,则：,结论：,即：,环路维持锁定的必要条件是： 环路鉴相器的两输入信号之间存在恒定的相位差。,通过以上分析，可以看出需要强调的几点：,锁相环路是传递相位的系统。 环路的微分方程是一个非线性微分方程。锁相环路

13、是一个非线性系统。 环路锁定情况下，由于相位误差很小，环路可以看成一个线性系统。,1-1-3 锁相环路的线性模型,当 很小时：,正弦鉴相特性近似为线性鉴相特性,可见：e(t)在30之内不会引起明显的误差,所以环路的基本方程可以写成：,此为环路的线性化微分方程,线性化环路的相位数学模型:,将其变换为复频域形式,则:,复频域形式的相位数学模型,相位传递函数为输出信号相位的拉氏变换与输入信号相位的拉氏变换之比。,相位传递函数定义：,线性化锁相环路的三种传递函数：,开环传递函数:,闭环传递函数:,误差传递函数:,开环传递函数G(p)、闭环传递函数H(p)和误差传递函数E(p)是研究锁相环路同步状态性能

14、最常用的三个传递函数。,由环路滤波器的表达式可以看出，各种传递函数的性质取决于环路滤波器的形式。,下面详细讨论锁相环路常用的几种环路滤波器及采用这几种环路滤波器的环路,具有F(p)=1的一阶环,其相位传递函数为：,2. 具有 的二阶环,RC积分滤波器：结构最简单的低通滤波器,电路构成如图：,其传递函数：,式中=RC是时间常数,这是这种滤波器唯一可调参数。令p=j,并代入F（p）式,即可得滤波器的频率特性,环路相位传递函数为：,为无源比例积分滤波器，其电路如下：,3. 具有 的二阶环,它与RC积分滤波器相比,附加了一个与电容器串联的电阻R2,这样就增加了一个可调参数,它的传递函数为：,式中1=(

15、R1+R2)C；2=R2C这是两个独立的可调参数,其频率响应为,有源比例积分滤波器由运算放大器组成,电路如下图：,4. 具有 的二阶环,此为理想积分滤波器,要分析理想积分滤波器，首先分析有源比例积分滤波器。,其传递函数：,取A是运算放大器开环增益。 若运算放大器的增益A很高,则,若不考虑倒相作用，则：,为理想积分滤波器的传递函数,采用不同的环路滤波器的锁相环路的传递函数,采用不同的环路滤波器的锁相环路的传递函数（其他教材的表述方法）,采用不同的环路滤波器的锁相环路， 具有不同的环路特性。,根据环路传递函数可知，其特性由 决定。,引入自动调节系统中常用的参数,不同的环路滤波器的锁相环路的,对于有源滤波器，如A很大时，可以采用理想积分滤波器来分析；如A不是很大时，就不能采用理想积分滤波器来分析，可采用修正的方法处理；,对于有源比例积分滤波器：,其闭环传递函数为：,取：,则：,取,可见：有源比例积分滤波器与无源比例积分滤波器具有相同的表达式，可以用无源比例积分滤波器的公式分析有源比例积分滤波器。,1-1-4 锁相环路的频率响应,锁相环路的频率响应：环路在角频率为的正弦输入相位调制下，稳态输出相位与输入相位的比值。,