《概率论1.1—1.3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论1.1—1.3（62页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、概率论与数理统计,授课教师： 罗 琰,Email：,考核方式:,1.平时成绩,作业 10%,考勤与提问 5%,期中考试 15%,2.期末成绩 70%,参考书:,龙永红概率论与数理统计中典型例题分析与习题 盛骤 概率论与数理统计 高等教育出版社 魏宗舒概率论与数理统计教程高等教育出版社,1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一赌徒胜 a 局 ( ac ),另一赌徒胜b局(bc)时便终止赌博,问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念,一、概率论的诞生及应用,1. 概率论的
2、诞生,2. 概率论的应用,概率论是数学的一个分支，它研究随机现象的数量规律， 概率论的应用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、 地震预报、产品的抽样调查，经济决策与预测、金融工程等等.,在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象.,“太阳不会从西边升起”,1.确定性现象,“同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处”,实例,自然界所观察到的现象:,确定性现象,随机现象,1.1 随机事件,在一定条件下可能出现也可能不出现的现象,称为随机现象.,实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.,2. 随机现象,“函数在间断点处不存在导数” 等.,结果有可能出现正面也可能出现反面.,确
3、定性现象的特征,条件完全决定结果,结果有可能为:,1, 2, 3, 4, 5 或 6.,实例3 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,实例2 用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发 , 观察弹落点的情况.,结果: 弹落点会各不相同.,实例4 从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品.,其结果可能为:,正品 、次品.,实例5 过马路交叉口时, 可能遇上各种颜色的交通 指挥灯.,实例6 出生的婴儿可 能是男,也可能是女.,实例7 明天的天气可 能是晴 , 也可能是多云 或雨.,随机现象的特征,概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.,条件不能完全决定结果,2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具
4、有偶然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.,随机现象是通过随机试验来研究的.,问题 什么是随机试验?,如何来研究随机现象?,说明,1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.,一 随机事件的概念,如果每次试验的可能结果不止一个，且事先不能肯定会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验.,掷骰子试验 掷一颗骰子，观察出现的点数,随机试验(E),随机试验具有下列特点：,（1）重复性：在相同条件下，试验可以重复进行。,（2）明确性：每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前可以
5、明确试验的所有可能结果。,（3）随机性：在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪一种结果。,随机事件(random event)：,在一次试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，简称事件.,在随机试验中，我们往往会关心某个 或某些结果是否会出现. 这就是,例如，在掷骰子试验中，,“掷出1点”,“掷出2点”,事件,基本事件,复合事件,（试验所有可能出现的结果）,（两个或一些基本事件并在一起，就构成一个复合事件）,事件 B=掷出奇数点,在掷骰子试验中，观察掷出的点数,事件 Ai =掷出i点 i =1,2,3,4,5,6,两个特殊的事件：,必,件,然,事,例如，在掷骰子试验中， “掷出点数
6、小于7”是必然事件;,即在试验中必定发生的事件，常用表示;,不,件,可,事,能,即在一次试验中不可能发生的事件， 常用表示 .,而“掷出点数8”则是不可能事件.,例1：,在这个试验中，,二、样本空间(sample space)与事件,我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作. 全体样本点的集合称为样本空间. 样本空间用表示.,样本点,如果试验是将一枚硬币抛掷两次，则样本空间由如下四个样本点组成：, =(H,H), (H,T), (T,H), (T,T),在每次试验中必有一个样本点出现且仅有一个样本点出现 .,如果试验是测试某灯泡的寿命：,则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，所以可以
7、认为任一非负实数都是一个可能结果，, = t ：t 0,故样本空间,调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出，结果可以用（x，y）表示，x，y分别是烟、酒年支出的元数.,也可以按某种标准把支出分为高、 中、低三档. 这时，样本点有（高,高）,（高,中），(低,低）等9种，样本空间就由这9个样本点构成 .,这时，样本空间由坐标平面第一象限内一定区域内一切点构成 .,引入样本空间后，事件便可以表示为样本空间的子集 .,例如，掷一颗骰子，观察出现的点数, = i ：i=1,2,3,4,5,6,样本空间：,事件B就是的一个子集,B = 1,3,5,B发生当且仅当B中的样本点1，3，5中的某一个出现.,
8、三、事件间的关系与运算,练习 生产某种产品,直到有1000只正品,记录生产产品的总件数.,A或B,推 广,A且B,事件A不发生, 即,注意,讨论: 设A、B为两个事件，则A+B-A=B ?,不要把数的运算规律用到事件运算上来，这些运算在事件运算中一般是不成立的.,例2,研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.,概率是随机事件 发生可能性大小 的度量,事件发生的可能性 越大，概率就 越大！,1.2 随机事件的概率,一、事件的频率与概率,事件发生的可能性 最大是百分之百，此时 概率为1.,0P(A)1,我们用P(A)表示事件A发生的概率，
9、则,事件发生的可能性 最小是零，此时 概率为0.,一个根本的问题是, 对于一个给定的随机事件,它发生可能性大小的度量-概率, 究竟是多大?,以投掷一枚硬币为例,在充分多次试验中，事件的频率总在一个定 值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆 动越小. 这个性质叫做频率的稳定性.,很大时事件的频率作为概率的估计值，,实际中，当概率不易求出时，人们常取实验次数,称此概率为,此定义称为概率的统计定义,优点：直观易懂,缺点：粗糙模糊,不便 使用,下面介绍用公理给出的概率定义.,1933年，前苏联数学家 柯尔莫哥洛夫给出了概率的 公理化定义.即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.,柯尔莫哥洛夫提出
10、的公理为数很少且极为简单，但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦.,因为频率的本质就是概率,因此,可以要求概率也具有以上三条性质.,二、概率的公理化定义,完全可加性,三、概率测度的性质,减法公式,加法公式,1.3 古典概型与几何概型,常常把这样的试验结果称为“等可能的”.,e1, e2, ，eN,试验结果,例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球. 将球编号为110 .把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.,2,3,4,7,9,10,8,6,1,5,称这样一类随机试验为古典概型.,这样就把求概率问题转化为计数问题 .,排列组合是计算古典概率的重要工具 (counting techniques),1. 加法原理,2. 乘法原理,排列、组合的几个简单公式,例3 设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.,这是一种无放回抽样.,解：令B=恰有k件次品 P(B)=？,次品,正品,M件次品,N-M件 正品,设Ai =第i封信装入第i个信封 i =1,2,3A=没有一封信装对地址,某人将三封写好的信随机装入三个写好地址的信封中，问没有一封信装对地址的概率是多少？,直接计算P(A)不易，我们先来计算,代入计算 的公式中,于是,几 何 概 型,
