第三章初等变换与线性方程组

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1、邱启荣 华北电力大学数理系 QQIR,第三章 矩阵的初等变换 与线性方程组,第一节 矩阵的初等变换,一、消元法解线性方程组,二、矩阵的初等变换,三、小结,本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念,并提出求秩的有效方法再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法内容丰富，难度较大.,引例,一、消元法解线性方程组,求解线性方程组,分析：用消元法解下列方程组的过程,解,用“回代”的方法求出解：,于是解得,（2）,小结：,1上述解方程组的方法称为消元法,2始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换,（1）交

2、换方程次序；,（2）以不等于的数乘某个方程；,（3）一个方程加上另一个方程的k倍,3上述三种变换都是可逆的,由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换,因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算,若记,则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换,定义1,下面三种变换称为矩阵的初等行变换:,二、矩阵的初等变换,定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换,初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同,同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”),逆变换,逆变换,逆变换

3、,定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.,三种初等变换对应着三种初等方阵.,矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.,三、初等矩阵的概念,定理1 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵.,初等变换,初等矩阵,初等逆变换,初等逆矩阵,四、矩阵的等价,（1）如果矩阵A经有限次初等行变换变成B，就称矩阵A与B行等价，记作,（2）如果矩阵A经有限次初等列变换变成B，就称矩阵A与B列等价，记作,（3）如果矩阵A经有限次初等变换变成B，就称矩阵A与B等价，记作,具有上述三条性

4、质的关系称为等价,例如，两个线性方程组同解，,就称这两个线性方程组等价,定理 设 是 矩阵，则,(1) 的充分必要条件是存在 m阶可逆矩阵P，使得 。,(2) 的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵Q，使得 。,(3) 的充分必要条件是存在 m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q ，使得 。,A可逆的充分必要条件是,用矩阵的初等行变换 解方程组（1）：,特点：,（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；,（2）、每个台阶 只有一行，,台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元,注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的,行最简

5、形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形,例如，,特点：,所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形 是这个等价类中最简单的矩阵.,由定理知， 的充分必要条件是存在 m阶可逆矩阵P，使得 。,将A变成行最简型，并求相应的可逆变换阵P的方法：,例 把如下矩阵化为行最简形矩阵，并求相应的可逆变换阵P ：,定理2 设A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵,证,即,利用初等变换求逆阵的方法：,解,例,即,初等行变换,注意 用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，不能作任何列变换,例,解,例3,2. 利用初等变换求逆阵的步骤是:,三、小结,课堂作业：,求矩阵A的行阶梯阵和最简型,邱启荣 华北

6、电力大学数理系 QQIR,第二节 矩阵的秩,一、矩阵秩的概念,第二节 矩阵的秩,二、矩阵秩的求法-初等变换法,矩阵的秩,一、矩阵秩的概念,例1,解,例2,解,如果逐个判别每一个子式计算量是很大的。由例2可知，如果矩阵是一个行阶梯阵，那么它的秩与最高阶非零子式是很容易求得。,定理：如果矩阵A中有一个r阶子式不为零，而包含该子式的所有r+1阶子式全为零，则该矩阵的秩为r。,例3,解,计算A的3阶子式，,另解,显然，非零行的行数为2，,此方法简单！,问题：经过变换矩阵的秩变吗？,证,二、矩阵秩的求法-初等变换法,自己看书。,经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变,证毕,

7、初等变换求矩阵秩的方法：,把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.,例4,解,由阶梯形矩阵有三个非零行可知,则这个子式便是 的一个最高阶非零子式.,例5,解,分析：,例,已知,解1：,由于A的秩是2，因此,故,解2：,由于A的秩是2，因此,故,解3：由于A的秩是2，因此,故,(2)初等变换法,1. 矩阵秩的概念,2. 求矩阵秩的方法,(1)利用定义,(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).,(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);,三、小结,邱启荣 华北电力大学数理系 QQIR,第三节 线性方程的解,第三节 线性方程的

8、解,一、线性方程组有解的判定条件,三、小结,二、线性方程组的解法,问题：,证,必要性.,从而,一、线性方程组有解的判定条件,这与原方程组有非零解相矛盾，,充分性.,任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，,证,必要性,则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程，,即可得方程组的一个解,充分性.,证毕,其余 个作为自由未知量,把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量,小结,齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；,非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；,例1 求解齐次线性方程组,解,二、线性方程

9、组的解法,即得与原方程组同解的方程组,由此即得,例 求解非齐次线性方程组,解,对增广矩阵B进行初等变换，,故方程组无解,例 求解非齐次方程组的通解,解 对增广矩阵B进行初等变换,故方程组有解，且有,所以方程组的通解为,例,解,对增广矩阵B进行初等变换，,方程组的增广矩阵为,由于原方程组等价于方程组,由此得通解：,例 设有线性方程组,解,其通解为,这时又分两种情形：,非齐次线性方程组,齐次线性方程组,三、小结,思考题,解,思考题解答,故原方程组的通解为,邱启荣 华北电力大学数理系 QQIR,第五节 综合与提高,一 本章知识回顾,二、 典型问题,三、测试题,换法变换,倍法变换,消法变换, 初等变换

10、的定义,三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是 同一类型的初等变换,反身性,传递性,对称性, 矩阵的等价,矩阵A与B等价的必要条件是A与B是同型矩阵。,三种初等变换对应着三种初等矩阵,由单位矩阵 经过一次初等变换得到的矩阵称 为初等矩阵, 初等矩阵,（）换法变换：对调两行（列），得初等 矩阵 ,（）倍法变换：以数 （非零）乘某行（ 列），得初等矩阵 ,（）消法变换：以数 乘某行（列）加到另 一行（列）上去，得初等矩阵 ,定理,定理,推论,4 初等矩阵与初等变换的关系,经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩 阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全 为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的 行

11、数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行） 后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第 一个非零元,例如,5 行阶梯形矩阵,经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一 步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一 个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都 为0,例如,6 行最简形矩阵,对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到 矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩 阵，其余元素都为0,例如,7 矩阵的标准形,所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一 个等价类，标准形 是这个等价类中形状最简单的 矩阵,定义,定义,8 矩阵的秩,定理,行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数,9 矩阵秩的性质及定理,定理,

12、定理,10 线性方程组有解判别定理,齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形 矩阵，写出通解,非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯 形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有 解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出 通解,11 线性方程组的解法,一、求矩阵的秩,二、求解线性方程组,三、求逆矩阵的初等变换法,四、解矩阵方程的初等变换法,典 型 例 题,求矩阵的秩有下列基本方法,（）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的 子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一 个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩,一、求矩阵的秩,（）用初等变换即用矩阵的初等行（或 列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶 梯

13、形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而 初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩 阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩,第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计 算量很大，第二种方法则较为简单实用,注意 在求矩阵的秩时，初等行、列变换可 以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成 阶梯形,例 求如下矩阵的秩,解 对 施行初等行变换化为阶梯形矩阵,当方程的个数与未知数的个数不相同时，一 般用初等行变换求方程的解,当方程的个数与未知数的个数相同时，求线 性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换 法和克莱姆法则,二、求解线性方程组,例 求非齐次线性方程组的通解,解 对方程组的增广矩阵 进行初等

14、行变换，使 其成为行最简单形,由此可知 ，而方程组(1)中未知 量的个数是 ，故有一个自由未知量.,例 当 取何值时，下述齐次线性方程组有非 零解，并且求出它的通解,解法一 系数矩阵 的行列式为,从而得到方 程组的通解,解法二 用初等行变换把系数矩阵 化为阶梯形,三、求逆矩阵的初等变换法,例 求下述矩阵的逆矩阵,解,注意 用初等行变换求逆矩阵时，必须始终 用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用 初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其 间不能作任何行变换,或者,四、解矩阵方程的初等变换法,例,解,的秩 。,解法1：,对A作初等变换，化为阶梯形矩阵,由于,因此,解法2：,利用矩阵乘积的秩的性质,例 设3阶非零矩阵B的每一列向量都是,方程组的解，求,（1）求 的值；,（2）求证 .,例 设,求解方程,例3.5.8 已知方程组,(1) 如果 互不相等，证明方程组无解；,(2) 若 ，则方程组有解，并求其通解.,解：（1）由于增广矩阵B的行列式是4阶范德蒙行列式，且 互不相等，于是,所以 。又方程组的系数矩阵A是,矩阵，从而 ，故方程组无解 .,(2) 若 ，则,