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1、数列综合题,数列综合题,纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.,例1若正数a,b,c成等比数列，x,y,z成等差数列，则(y-z)lga+(z-x)lgb+(x-y)lgc的值为 ( ) A0 B1 C2 D-1,分析：由题意可得b2=ac，设等差数列的公差为d，于是y-z=-d，
2、z-x=2d，x-y=-d (题设中的数列对一般的等差数列、等比数列命题都成立对于特殊的等差数列与等比数列也成立) (灵活地运用特殊和一般的关系，使解题过程得到简化),例2已知A与B的等差中项为/8，tgA与1的等差中项为m，tgB与1的等差中项为n，则m与n的等比中项为 。,分析:找到条件与结论间的内在联系， 即tanAtanB+tan A+tanB与tan(A+B)的关系 解：由条件A+B=/4，,tanAtanB+tan A+tanB=12m= tanA+1,2n= tanB+1,4mn= tanAtanB+tanA+tanB+1=2,例3、公差不为零的等差数列的第4，7，16项恰是某等
3、比数列的第4，6，8项，则该等比数列的公比等于_ 解法一：设等差数列的首项为a1，公差为d，则 (a1+6d)2=(a1+3d) (a1+3d) ，得a1=-3d/2，a4=3d/2，a7=9d/2，则q2= a7a4=3 解法二:设等比数列的公比为q，等差数列的公差为d，第4项为a，则 ,得q2=3。,评述：由于选择的基本量不同，解法就不同，解法二根据方程的思想和给定项的特征巧设参数，巧解方程组，优化了解题过程,例4：在7个数组成的数列中，奇数项的数组成等差数列，偶数项的数组成等比数列，首末两项与中间项的和等于27，奇数项的和减去偶数项的积之差等于42试求中间项的值,分析：题设中凡有等差数列
4、特定项的和与等比数列特定项的积，注意相关项设法的技巧，一般都从中间向两端发展，发挥定义与公差、公比的作用想清楚项与项的关系再设,解法一 ： 设七项依次为：x-3d， y/q， x-d， y， yq， x+d，x+3d，则： 2x+y=27， 4x-y3=42，解得： y=2(注意积累“未知数只设不解”的经验)解法二：设数列中的第一项为a1，中间项为a4，最后一项为a7依题意，得,解得：a4=2。,评述：解法二较解法一设得简洁，解的漂亮，巧妙地利用了题设的条件和等差数列与等比数列的性质，事半功倍,例5、数列an是等差数列，公差d0，an中的部分项组成的数列ak1，ak2，akn恰为等比数列，其中
5、k1=1，k2=5，k3=17(1)求kn；(2)证明：k1+k2+kn=3n-n-1,分析：等比数列akn是等差数列an的一个子数列，抓住akn既是等差数列an的第kn项又是等比数列akn的第n项，就能建立kn与n的联系,解法一：由a1，a5，a17成等比数列，得a52=a1a17，即(a1+4d)2= a1(a1+16d)，又d0，得a1=2d，故a10因此等比数列的公比q= a5/a1=3， 一方面，akn=a1+(kn-1)d= (kn+1)d ， 另一方面， akn=a1qn-1=2d3n-1，得(kn+1)d=2d3n-1，解得:kn=23n-1-1,解法二：由k1=1，k2=5，
6、k3=17 ，数列kn+1是以k1+1=2为首项，公比是3的等比数列，所以kn+1=23n-1故kn=23n-1-1 (2)证明(本题是求数列kn的前n项和的问题，根据kn的构成，转化为分别求等差数列与等比数列的前n项和的问题)k1+k2+kn=(230-1)+(231-1)+(23n-1-1)2(1+3+3n-1)-n=3n-n-1,例6 、从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少20%，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加25%.
7、(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？,本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，,解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800(1-0.2)万元，第n年投入为800(1-0.2)n-1万元，所以，n年内的总投入为an=800(1+0.8+0.8n-1)=40001-(0.8)n第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400(1+0.25)，第n年旅游业收入400(1+0.25)n-1万元.所以，n年内的旅游业总收入
8、为bn=400(1+1.25+(1.25)n-1=1600(1.25)n-1,(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bnan0，即：16000.8n-1-400011.25n0， 令x=(0.8)n，代入上式得：5x27x+20.解此不等式，得x0.4，或x1(舍去).即(0.8)n0.4，由此得n5.至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.,例7 、已知Sn=1+ + + ,(nN*)设f(n)=S2n+1Sn+1,试确定实数m的取值范围 使得对于一切大于1的自然数n，不等式：f(n)logm(m-1)2 log(m1)m2恒成立.,本题主要应用函数思想解决不等式、数列等
9、问题，需较强的综合分析问题、解决问题的能力.,分析:解决本题的关键是把f(n)看作是n的函数，此时不等式的恒成立就转化为：函数f(n)的最小值大于右边的式子.,解：,logm(m-1)2 log(m1)m2,f(n+1)f(n),f(n)是关于n的增函数,f(n)min=f(2)=,解得:m ,且m2.,1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题.2.如何解应用题：(1)理解题意：需要读懂题意，明确问题的实际背景.(2)建立
10、数学模型：需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系，构建相应的数学模型，把实际问题转化为数学问题.(3)解决问题：构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力.,小 结,1.已知二次函数y=a(a+1)x2-(2a+1)x+1，当a=1,2,n,时，其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d1,d2，,dn,则 (d1+d2+dn)的值是 ( )A.1 B.2 C.3 D.4 2.直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2，4依次成等差数列，而1，y1，y2，8依次成等比数列，则OP
11、1P2的面积是_. 3.从盛满a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加满，再倒出b升，再用水加满；这样倒了n次，则容器中有纯酒精_升.,4.据2000年九届人大五次会议政府工作报告:“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“十五”期间(2001年2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为_亿元. 5.已知数列an满足条件：a1=1,a2=r(r0),且anan+1是公比为q(q0)的等比数列，设bn=a2n1+a2n(nN). (1)求出使不等式anan+1+an+1an+2an+2an+3(nN)成立的q的取值范围；(2)求bn和 ，其中Sn=b1+b2+bn；,
