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1、第5章 机械振动,振动分类,非线性振动,线性振动,受迫振动,自由振动,广义振动：任一物理量(如电流等)在某一数值附近反复 变化。,机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。,5.1简谐振动的描述,5.2 简谐振动的合成,5.3 阻尼振动 受迫振动,5.4 非线性振动简介,本章内容：,第5章 机械振动,一、简谐振动,弹簧振子：弹簧 物体系统,平衡位置：物体所受合外力为零的位置。弹簧处于自然长度的位置,轻弹簧质量忽略不计,物体可看作质点,5.1 简谐振动的描述,1. 受力特点,2. 动力学方程,动力学方程,其通解为：,3. 运动学方程,简谐振动的动力学方程,振动方程,速度方程,加速度方程,2、
2、平衡位置是指合外力为零的位置。,1、物体发生振动的条件：物体受到始终指向平衡位置 的回复力；物体具有惯性。,说明：,3、判断物体是否作简谐振动的依据:,（1）物体所受的合外力与位移正比但反向； （2）满足位移（或角位移）与时间有余弦（或正弦)关系。,底面积为S的长方体木块m浮于水面，水面下a，用手按下一定位置后释放，证明木块运动为谐振动,任意位置x处，合力,例,证明：,木块平衡时,此合力为回复力,二、简谐振动的参量,振幅 A:,简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。,频率：,角频率 :,周期T ：,物体完成一次全振动所需时间。,单位时间内振动的次数。,弹簧振子：,固有周期、固
3、有频率、固有角频率,相位：,(1) ( t + ) 是 t 时刻的相位,(2) 是 t =0 时刻的相位 初相,相位的意义:,相位确定了振动的状态,相位每改变 2 振动重复一次,相位在 2 范围内变化,状态不重复.,相位差 ,同相和反相(同频率振动),当 = 2k两振动步调相同,称同相。,当 = (2k+1)两振动步调相反 , 称反相。,同相,反相,超前和落后,若 = 2- 1 0 , 则 称 x2 比 x1 超前 (或 x1 比 x2 落后 )。,相位差 小结：,1.当=2k ,k =0,1,2,两振动步调相同,称同相,2.当 = (2k+1) , k = 0,1,2.两振动步调相反,称反相
4、.,2 超前于1 或 1滞后于 2,3.,由初始条件求振幅和初相位,如图 m = 210-2 kg ,弹簧的静止形变为 l = 9.8cm；t = 0时，x0= 9.8cm， v0= 0, 确定平衡位置： mg=k l 取为原点令向下有位移 x, 则回复力,例,求,（1）取开始振动时为计时零点，写出振动方程；,（2）若取 x0=0，v0 0为计时零点,写出振动方程，并计算振动频率。,解,该振动为简谐振动，则,由初始条件得,由x0=0.098m知,振动方程为：,(2)按题意,t = 0 时 x0 = 0，v0 0,例,已知A=0.12m，T=2s，,一物体沿x轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期
5、为2s。当t = 0时，位移为0.06m，且向x轴正方向运动。,求,(1)初相；(2) t = 0.5s时，物体的位置、速度和加速度； (3)在x = - 0.06m处，且向x轴负方向运动。物体从这一状态回到平衡位置的最短时间。,解,（1）设其运动方程为,则速度和加速度分别为,当t=0时，,（2）,当t = 0.5s时,（3）由于三角函数具有周期性，取第一个周期即可。设当物体在0.06m，且向x轴负向方向运动对应的时刻为t1，平衡位置对应的时刻为t2，则,(1)试证明物体m的运动是谐振动； (2)求此振动系统的振动周期； (3)写出振动方程。,轻质弹簧一端固定，另一端系一轻绳，绳过定滑轮挂一质
6、量为m的物体。弹簧的劲度系数为k，滑轮的转动惯量为J，半径为R。若物体m在其初始位置时弹簧无伸长，然后由静止释放。,(1)若物体m离开初始位置的距离为b时受力平衡，则此时有,以此平衡位置O为坐标原点，竖直向下为x轴正向，当物体m在坐标x处时，由牛顿运动定律和定轴转动定律有,例,求,解,联立式解得,所以，此振动系统的运动是谐振动.,即,(2)由上面的表达式知，此振动系统的角频率,故振动周期为,振动系统的振动方程为,(3)依题意知t0时， ，可求出,三、简谐振动的旋转矢量表示法,t = 0,t = t,在x轴上投影描述机械振动；,已知一个振子的振动曲线如图所示,画出矢量图，并求a，b，c，d，e各
7、状态相应的 位相,谐振动的位移、速度、加速度之间的相位关系,o,例,由图可知,求,一物体沿 X 轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s。当t = 0时，位移为 0.06m，且向 x 轴正方向运动。,（2）在x = - 0.06m处，且向 x 轴负向方向运动时，物体从 这一位置回到平衡位置所需的最短时间,（1）初相；,(1) 根据题义作图如下,解,(2)所转角度MON,已知某简谐振动的速度与时间的关系曲线如图所示.,例,求,振动方程。,解,用旋转矢量法辅助求解:,v的旋转矢量与v轴夹角表示t 时刻相位,由图知,5.8,(1),(2),以弹簧振子为例,某一时刻，弹簧振子速度为v，位移为x,四、
8、简谐振动的能量,机械能,（简谐振动系统机械能守恒）,一个与时间有关的物理量F(t)在时间间隔T 内的平均值,定义为：,则：,谐振动在一周期内的平均动能和平均势能相等。,动能,势能,情况同动能,机械能,简谐振动系统机械能守恒,（1）E1/4；,（2）E1/2；,（3）2E1；,（4）4E1。,一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4倍，则其总能量将变为,课堂练习：,5.9,（1）以初速度方向为正方向建立坐标轴：,（2）,一、同频率同方向简谐振动的合成,分振动 :,合振动 :,结论：合振动 x 仍是简谐振动,5.2 简谐振动的合成,合振动是简谐
9、振动,其频率仍为,合振动 ：,旋转矢量法处理谐振动的合成,若 A1=A2 , 则 A=0,讨论：,若两分振动同相：,若两分振动反相:,合振动加强,合振动减弱,（1）0 ；,（2）4cm；,（4）8 cm。,两个同方向同频率的谐振动，振动方程分别为,则其合振动的振幅为谐振动,振幅为：,课堂练习：,（3） ；,图示两个谐振动的x-t曲线，将这两个谐振动叠加，合成的余弦振动的初相为,（A） （B）,（C）,（D）,二、同方向不同频率谐振动的合成,1. 分振动 :,2. 合振动 :,合振动振幅的周期为:,结论：,合振动可看作振幅缓变的简谐振动,合振动振幅,拍: 合振动忽强忽弱的现象,拍频: 合振动变化
10、的频率 =|2-1|,3. 拍的现象：,2.当 时：,消去参数 t 得轨迹方程,分振动,三、同频率互相垂直的简谐振动的合成,讨论：,1.当 时：,质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。,3.当 时：,4.当 时：,质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。,相互垂直、频率相同的两列谐振的合振动轨迹有如下规律:,(1)一般情况下轨迹为椭圆;(2) 时,退化为直线;(3) 时,为正椭圆,若A1=A2,则退化为圆.(4) 时,椭圆顺时针方向转; 椭圆逆时针方向转.,当两列相互垂直、频率成整数比关系的简谐振动合成时，合振动的轨迹是闭合的，运动是周期性的，这些图形称为李萨如（J. A. Lissajous 1822-1
11、880 法国）图形。,相互垂直但频率不同的简谐振动的合成,振幅随时间减小的振动叫阻尼振动。,5.3 阻尼振动 受迫振动,一、 阻尼振动,形成阻尼振动的原因：,振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用，造成热损耗；,振动能量转变为波的能量向周围传播或辐射。,1. 阻尼振动的微分方程,(以液体中的水平弹簧振子为例),弹性力:,粘滞阻力:,牛顿第二定律：,（固有频率）,（阻尼系数）,（阻尼振动的微分方程）,2. 几种阻尼振动模式,（1）小阻尼,（3）大阻尼,（2）临界阻尼,X,t,O,X,t,O,大阻尼,临界阻尼,与大阻尼相比，临界阻尼一般将更快回到平衡位置 。,二、受迫振动,系统在周期性外力的持续作用下所作
12、的等幅振动称为受迫振动。,牛顿第二定律：,令,则,此方程的解为：,1、受迫振动的微分方程（以弹簧振子为例）,2、方程解的物理意义,开始振动比较复杂,经过一段时间后，受迫振动进入稳定振动状态。,3、稳定的受迫振动,a.说明此时振动方程的位相与初始条件无关,b.说明振幅是驱动力的函数，因此存在极值的问题,稳定受迫振动的频率等于驱动力的频率,稳定受迫振动的振幅A和位相（用待定系数法可得）,三、共振,（受迫振动的振幅出现极大值的现象称为共振。）,共振频率 :,共振振幅 :,共振曲线,5.4 非线性振动简论,一、非线性振动的原因,由非线性微分方程所描述的振动，称其为非线性振动。,从动力学角度来看，发生非
13、线性振动的原因有两个方面：,2、系统外部的非线性影响：如受迫振动中，驱动力F为位移或速度的非线性函数时，引起非线性振动 。,1、系统内在的非线性因素：如不限制摆角的单摆或复摆,二、自激振动,以单方向的力激励的振动称为自激振动或自振。,例如：树梢在狂风中呼啸，提琴奏出悠扬的乐声，自来水管突如其来的喘振。,1、广义坐标 广义速度,在经典力学中，一个自由质点的运动状态可以用6个变量（x，y，z，vx ，vy ，vz）描述，,一般来讲，一个力学系统的运动状态，可以用n个广义坐标qi 和n个相应的广义速度pi 共2n 个变量描述。,2、相平面 相空间,以(qi，pi)为坐标，可以构建一个2n（n 为力学
14、系统的独立变量的数目）维的状态空间。这个状态空间称为相空间.,相空间:,三、相图 相平面,当然如果力学系统只有两个变量，相空间就简化为相平面。,相平面:,相平面、相空间中的“相”是指物体的运动状态。相空间的每一点称为相点，对应力学系统的一个状态；状态空间的每一曲线称为相轨迹或相图，对应力学系统一种可能的状态变化过程。,以位置和速度作为坐标参量构建的平面或新的空间，是最简单的相平面或相空间。,如某质点作直线运动，其坐标为x、速度,为坐标,建立一个平面坐标系Oxy,就是最简单的相平面,以（x，y ）,相平面中的一个点M（x,y ），对应一个运动状态，M 称为相点。,在相平面中相点的运动轨迹就是相图，一般是一条光滑的曲线。,相点,相轨迹,例：以简谐振子为例，来分析讨论相图的实际应用。,简谐振子的位移、速度和加速度分别为,常数C由初始条件决定。,以x和y为轴，可建立相平面Oxy。,简谐振子的相图,研究谐振子的位移、速度随时间的变化，就可以得到一系列点，继而可描绘出一条曲线相轨迹。,对于一定的C值，相轨迹是一个椭圆，如图所示。,从位移、速度公式中消去时间t ，得,按C值的不同，可得到一族大小不同的椭圆。,从相轨迹中，可以看出：,简谐振子的所有相轨迹都是闭合曲线。相点沿闭合曲线运行了一周，又回到原先的运动状态,因此可以断定，所有的椭圆相轨迹都对应着一个周期运动，其周期是一个有限值。,
