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1、,数学4（必修）教材分析,姜堰市第二中学 石志群 S (0523-8803132),一、历史与价值航海、历法推算以及天文观测的需要，推动了三角学的发展。早期的三角学总是与天文学密为可分。这样，在年以前的三角学主要是球面三角，后来由于间接测量、测绘工作的需要，才出现了平面三角。著名数学家傅里叶用正弦和余弦函数表示（，）上所有函数的傅里叶级数更是具有巨大的理论和应用价值。正如章首语中所说，日出日落，寒来暑往，天文、历法推算与周期现象是密切相关的，现代三角学就是研究周期现象的数学分支。,二、关于教材的定位,老教材的引言,实验教材1 提供背景：广泛存在的周期性现象， 提出问题：如何用数学的方法来刻画这
2、种变化的规律？ 明确任务：研究三角函数(刻画周期性变化规律的数学模型)的意义，性质和应用. 提出了研究纲领； 学习的起点是：三角函数究竟是什么？ 教材的定位是：学习和研究是描述周期现象的重要数学模型：三角函数；,1.苏教版教材的定位,苏教版教材的定位,教材的定位是：展示对周期现象进行数学研究的过程，即建构刻画周期性现象的数学模型的（思维）过程； 提供背景：自然界广泛地存在着周期性现象，圆周上一点的运动是一个简单又基本的例子. 提出问题：用什么样的数学模型来刻画周期性运动? 明确任务：建构这样的数学模型. 教学的起点是：对周期性现象的数学（分析）研究；,作为定位的具体体现，教材形成了鲜明的特点：
3、 1.采用以问题链为线索的呈现方式 2.以“数学地研究”的一般程序来组织、选取教学内容. 3.突出周期性 4.加强几何直观，强调形数结合,1.采用以问题链为线索的呈现方式. 注意提出问题的环节， 注意问题间的逻辑联系， 强化目标（建构刻画周期性现象的数学模型）的指向作用；,例子:任意角的三角函数(实验教材1),任意角的三角函数,例子：任意角三角函数(苏教版),问题链 怎样刻画圆周上点的运动? 怎样建构刻画周期性现象的数学模型 ? 怎样表示圆周上的点? “用怎样的数学模型建立（x,y）与（r,）之间的关系？”,2.以“数学地研究”的一般程序来组织、选取教学内容. （1）教材以”建构研究应用”为主
4、线展开; （2）教材充分发挥学习“函数”一章的 经验在建构“刻画周期性的数学模型”中的作用， （3）教材对传统的教学内容做了“强干削技”的处理.,教材以为主线展开,教材充分发挥学习“函数”一章的经验在建构“刻画周期性现象的数学模型”中的作用,为了突出“建构研究应用”这一主线，教材对传统的教学内容做了“强干削技”的处理。,3.突出周期性,本章的研究对象是周期性现象，建构的是“刻画周期性现象的数学模型”，在教材中，我们突出了周期性，把它看成是教材编写的出发点和归属。,例子：三角函数的性质,4.加强几何直观,强调形数结合的思想,三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函
5、数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系。,例子：诱导公式的推导。,本章结构(苏教版),例子:诱导公式的推导(老教材),例子：诱导公式的推导（苏教版）,诱导公式推导思路的比较,“诱导公式所揭示的是终边有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系。换句话说，诱导公式实质是将终边对称的图形关系”翻译“成三角函数之间的代数关系”。,四、与老教材比较 （1）与过去的教材相比，新教材强调了三角函数是一种“数学模型”（2）删减了任意角的余切、正割、余割，已知三角函数求角，反三角函数符号等内容。降低了对任意角概念，弧度制概念，同角三角函数的基本关系式，诱导公式，三角函数的奇偶性的要求。（3
6、）不能放松基本的技能训练，应该让学生记牢并熟练地使用诱导公式，同角三角函数关系式，能用五点法画出正（余）弦函数的图象等,五、教材分析与教学建议,分析,.任意角、弧度,必要性：“周而复始”,合理性：客观存在,任意角,弧度制,从描述周期运动的量r，l与之间的关系引入,对任意角的三角函数，也是从描述周期运动的量（x,y)之间的关系引入,一以贯之的研究方法,。以问题为中心，充分发挥理性思维在建构数学模型中的作用。恰当地使用信息技术。,。注意从数学模型的角度来认识三角函数，突出数学思想方法在数学模型建构中的作用。,建议,第章 平面向量,一、价值与定位,（1）向量是具有深刻的几何背景和物理背景的数学模型；
7、 （2）向量是近代数学中重要的、基本的概念，也是一种基本的重要的数学工具； 向量既是代数的对象，又是几何的对象。作为代数对象，向量可以运算。作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面等几何对象；向量有长度，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征，方向反映了向量形的特征，因此，向量是集数形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典型体现。,向量是抽象代数、线性代数、泛函分析中的基本数学模型，是理解这些数学内容的基础： 向量也是重要的物理模型。平面力场、平面位移场以及二者混合产生的做功问题，都可以用向量空间来刻画和描述。,向量不仅沟通了代数与
8、几何的联系，而且，体现了近现代数学的思想，它在高中数学中的重要地位是不言而喻的。,二、设计意图, 按照数学模型研究的一般程序展开教材,向量的线性运算,用什么样的数学模型来刻划位移，速度、力这样的量？ 这样的数学模型在什么性质与应用？ 这里的向量OA，AB，OB之间有什么关系？,突出向量的物理背景和几何背景；,（1） 教科书特别注意从丰富的物理背景和几何背景中引人向量概念。,（2）在有关向量的运算中，教材也注意突出向量运算的原型。,（3）在向量的应用中，揭示它丰富的背景。,突出运算的核心地位（数的运算函数的运算集合的运算概率的运算向量的运算）,（1）运算是向量的核心内容,（2）教材在处理向量运算
9、的内容时，注意和数的运算进行类比,（3）和数学中的概念一样，数学对象的运算也是一种数学模型，它也有一个建构的过程,（4）我们知道，只有建立了数的表示方法，才能讨论数的运算问题。类似地，在讨论向量的运算之前，必须先要解决向量表示的问题,（5）向量是通过运算来解决问题的。, 突出向量的工具作用，注意与相关知识的联系,（1）教材特别注意联系实际，注意向量与相关学科的联系。,（2）在例题和习题中都安排了向量在相邻领域内的应用题。, 编写中考虑的几个问题,1。本章和本模块其它各章的关系。,（1）三角函数、平面上的向量、三角变换，一起构成了本教学模块。,2。知识展开的顺序,（1）向量既是几何对象，又是代数
10、对象。向量的知识体系有各种不同的展开方式,（2）第二种方式比较符合中学生的认知特点和抽象思维的水平。也基本上和建立向量的历史过程相符。,（3）教材以向量知识发展的过程为依据，采用了先形后数，形数结合，逐步形式化的呈现方式。,（4）向量法是一种重要的数学方法。,形到向量向量的运算向量到形,（5）由于向量的概念和运算都具有物理的原型,（6）上面的研究程序，实际上是从代数层面上对向量的研究,3。平面向量和空间向量的关系,（1）教材中研究的平面向量只是向量的特例,（2）以“平面向量基本定理”为例说明,1。明确教学要求； 实现教学目标的关键在于： 清晰准确地理解概念、运算；为此要明确“原型”，“物理意义
11、”，“几何意义”； 运用向量运算解决问题，掌握作为重要数学工具的向量。关键在于理解向量方法的实质。,四、教学建议,2。让学生参与建构活动； （1）要让学生参与建构向量及其运算的活动，经历建构过程，引导学生认识到向量是一种描述现实问题的数学模型。 （2）要让学生了解向量的物理背景、几何背景，知道它的原型。 （3）通过建构活动，让学生熟悉向量及其运算的几何意义，物理意义，这是灵活运用向量解决问题的基础。,3。让学生明确研究向量问题的基本思路。 （1）向虽是代数的对象。作为代数对象，向量可以运算，而且正是因为有了运算，向量的威力才得到充分的发挥： （2）向量又是几何对象，所以向量可以刻画儿何元素 (
12、点、线、面，利用向量的方向可以与三角函数发生联系： （3）正因为，向量“一身二任”，所以几何图形的许多性质会表现为向量的运算性质，这样我们就可以通过向量的运算来描述和研究几何元素之间的关系（如直线的平行、垂直等），确定几何图形的长度、面积、夹角等等：,（4）让学生理解向量方法的实质。 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面儿何问题抟化为向量问题;通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、 夹角等问题;把运算结果“翻译“成几何关系。,第10章 三角变换,一。价值与定位,对教材的定位是： （1）是（在第8章的基础上）对三角函数这一数学模型（运算）性质的进一步研究； （2）是用演绎方法（借助于运算），建立数学知识体系的一个范例。,二。设计意图,运用问题链，展现公式的发现和推导过程。,注意从运算的角度看待三角变换。,注意突出向量和三角函数的联系。,三、教材分析,1。背景的的设置,2。两角差的余弦公式的推导,3。对和差化积、积化和差等公式的处理。,4。发展学生的推理能力与运算能力,四、教学建议,1。准确地把握教学要求。,2。对公式asinx+bcosx的处理。,
