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1、Yz.Liu.2013.09 卷终 公式表注解四基本不定积分表基本不定积分表序言： 微积分创立之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。虽其间发生很多在优先权上的争论， 但最终依然走向了发展之正轨。在微积分公式体系上，莱布尼茨对之要求甚严，并总结其 基本微分表和基本积分表。如今随微积分之发展，公式表逐渐全面，分类亦几乎覆盖各种 不定积分。积分表的编订对于积分运算可以说是必要，亦是数学发展之必要结果。 本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法，以及每个积分的简要推演方法，其 中引入了除一般之换元法，凑微分法，分部积分法之外，亦引入虚数单位，并使用虚数单 位推演某些复杂的不定积分运算。而对于简单的不定积分运算
2、和基本的微分公式之反用， 或均不在此给出推演方法，或仅以推演步骤简要之说明。 本表收录公式 16 组，151 式。 公式一 基本初等函数的不定积分 18 式：幂函数11,1;(1).1 ln |,1.xCx dx xC 指数函数1(2).ln(3).xxxxa dxaCae dxeC对数函数(4). logloglog(5). lnlnaaaxdxxxxeCxdxxxxC 三角函数(6). sincos(7). cossin(8). tanln |cos|(9). cotln |sin|11 sin(10). secln |sectan|ln21 sin(11). cscln |csccot|
3、ln | tan|2xdxxCxdxxCxdxxCxdxxCxxdxxxCCx xxdxxxCC 反三角函数22(12). arcsinarcsin1(13). arccosarccos1xdxxxxCdxxxxC 221(14). arctanarctanln(1)2 1(15). arccotarccotln(1)2xdxxxxCxdxxxxC22(16). arcsecarcsecln(1)(17). arccscarccscln(1)xdxxxxxCxdxxxxxC 常数函数(18). RdxRxC上述公式均为基本初等函数之不定积分，其中部分公式均可以由分部积分公式给出， 特别的，对于
4、正切函数，余切函数，正割函数与余割函数的不定积分，使用了诸多三角变 换完成。 公式二 含的积分（要指出非零）10 式：axba21(19). ()2 1(20). ()(),1(1) 11(21).ln |aaxb dxxbxCaxbdxaxbCadxaxbCaxba 对于其中的第二式，是利用换元积分完成的。22 22 31(22).(ln |)11(23).()2 ()ln |2xdxaxbbaxbCaxba xdxaxbb axbbaxbCaxba 对于第一者，可以利用凑的方式，我们考虑分式，则得其积分11xb axbaaxb是显的：。而第二式依然采取类111()ln |xbbdxxd a
5、xxaxbaCaxbaaaxbaa似的方式，可借由带余多项式除法算得：，然后2 2 211()2xxaxbabbaxbaaxbaxb 利用第一个积分式即可得到结论。2211(24).ln()11(25).ln()axbdxCx axbbxaaxbdxCx axbbxbx 对于分母是二次多项式或者更高者，常常分成多个低次多项式之和，这两个积分便是沿用了此结论所得到的。我们注意第一式中有，1111 11 ()(/ )/b x axba x xb aaxxb a a积分即得。对于第二式依然可用分离拆项的方式： ，然后 221 ()11 ()()axbaxa b xaxbbxb x axb 积分即可，
6、而一般对于拆项，常用待定系数的方法完成。222223221(26).ln |()1(27).2 ln |()111(28).ln()()xbdxaxbCaxbaaxbxbdxaxbbaxbCaxbaaxbaxbdxCx axbb axbbx 公式三 含的积分 9 式axb33 22223 32(29).()3 2(30).(32 ) ()15 2(31).(15128) ()105axbdxaxbCax axbdxaxbaxbCaxaxbdxa xabxbaxbCa第一式的证明用凑微分的方式即可完成。而有了第一式的结论，第二式可用分部积 分完成计算。我们有： 3322()()33xx axbd
7、xxaxbdxaxbdx dxaxbaxb dxaa 其中，对上式右侧的再次使用凑微分的方法，即可得解：32()3axb dxa5 332 223 332 22224()()()()3315 242()() ()32()31515axb dxaxb d axbaxbCaaa xx axbdxaxbaxbaxbCaxbaxbCaaa同理利用分部积分可以将第三式拆开，并以第二式证明之。22 222 22(32).(2 )32(33).(348)15xdxaxbaxbCaaxbxdxa xabxbaxbCaaxb利用凑微分的方式，我们显然有不定积分，本1()2dxd axbaxbCaaaxbaxb组
8、公式可以考虑用此公式，并使用分部积分即可证明一式：3 2222224()3242()(2 )33xxxdxaxbaxbdxaxbaxbCaaaaaxbxaxbaxbCaxbaxbCaaa二式同理使用分部积分，并利用一式的结论即可证明。1ln,0 (34). 2arctan,0axbbC bbaxbbdx x axbaxbC bbb该公式是重要的不定积分之一，它可以解决一类带有的不定积分等式。但是axb该积分是不好计算的，首先分部积分就不容易得出结果，而另一方面我们也无法进行一个 显然的凑微分，因此对于这一类带有根号式的积分，往往是先强行换掉根号，再作观察。因此令，于是，22,tbtaxbtxd
9、xdtaa 22212()dxatdtdttb t atbx axb显然看到的是这个不定积分的结果需要讨论的正负来决定之后使用的不定积分公式：如b 果是负的，那么显然会使用反三角，如果是正的，则可能使用三角换元：bb22secln|sectan |21110:(sinarcsin( /)sinarcsin( /)111(arcsin( /)cosarcsin( /)1ln secarcsin( /)tanarcsin( /)11 sinarcsin( /)ln 1 sin arxdxxxCbdtdtbtbbtbdtbbtbtbtbCbtbb A A A A A A A A A A A AA A
10、 A A A A A A A A A A21 ( /)11lnln1 ( /)2csin( /)tbtbCCCbtbbtbtb然后将带入上式得原积分。另外对于axbt 2112ln,0axbbdtC btbbaxbb负的，有：b222111110:arctan|/|11arctanttbdtdtdCtbtbbbbbtbaxbCbb即原积分。该不定积分公式对于负数的计算是很容易的。2arctan,0axbC bbbb02002(35).2(36).2(37).2dxaxbadxCbxbxaxbx axbaxbdxdxaxbbCxx axbaxbaxbadxdxCxxx axb 注意到微分公式，故
11、上面公式均可以分部积分公式指出。 2adaxbdxaxb 公式四 含有的积分 3 式22xa2202222212221221(38).arctan| 23(39)()2(1)()2(1)()1(40).ln2nnndxxCxaaa dxxndxCxanaxanaxadxxaCxaaxa 一式用凑微分的方式以及微分公式容易得出。第二式是利用分部21(arctan )1dxx 积分公式给出的递推式的形式：通过这个递推关系逐步下降分母的幂直到一式的情形，然 后带入一式即可得解。三式是有理分式的不定积分，通常是将之拆分为两个容易计算的分 式，则不难得出结果：221111ln |ln |22dxdxxa
12、xaCxaaxaxaa公式五 含有的积分 7 式2(0)axb a除开显然的不列为公式表所用之公式外，其余均与3 2()3axaxb dxbxC有关，不过在下面公式的推理中，我们可以肯定的是推理可能是不唯一的，因此某2axb 些推理也是可能涉及了该公式的。21arctan,0 1(41).1ln,02axC bbabdxaxbaxbC babaxb是一个需要分类讨论的积分。显然的可以发现这个被积函数的形式与反正切是有关 的，不过反正切的分母是加法运算，因此如果这里是负的，那么就不能适用反正切，这b 导致了积分需要分类讨论之。 2222221111arctan,0 1sinarcsin11111
13、 |11sinarcsinarcsin1sinarcsin111ln2cosarcsin1sinaax ba baxa bbaabba bbaxadxdxC baxbbabbabdxaxdxdxdaxbaxbababbxdxxababx 11sin,secln21sinrcsin11ln,02a bxCxdxCxxbaxC babbax 该公式的证明中再一次的遇到了形式的不定积分，虽然这里我采用的是换元为三22dx xa角函数的方法，而并非使用公式四中利用有理函数积分的性质来推理，但是三角换元计算 不定积分是值得深入探讨和学习的计算方法，也许在这个公式中体现不出来，但是在某些 场合下，三角换元
14、无疑是强大的。2 2202222202222322222221(42).ln |2(43).1(44).ln()21(45).()1(46).ln()2211(47).()22xdxaxbCaxba xxbdxdxCaxbaaaxb dxxCx axbbaxbdxadxCxaxbbxbaxbdxaaxbCx axbbxbxdxxdx axbb axbba 02Cxb一式是显然的。在这组公式中，除了一式之外，后者在各种场合的运用还是相对频 繁的。二式、三式都是典型的有理函数的不定积分问题，可以采取分离常数的方法来求解，其推理及其陈述如下：22222111xaxbbbdxdxdxdxaxbaaxbaaaxb2 22222 2 2111111ln()
