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1、第二章 随机变量及其分布,2.4 概率分布函数,如果 X 是离散型随机变量，则,分析,如果 X 是连续型随机变量，则,更一般地，无论是离散型还是连续型， 以至其它类型的随机变量,对事件 的概率，都有,分布 函数,令,即,一、随机变量的分布函数,如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间,的概率.,由定义，随机点落在区间（ a , b 的概率为：,证明：,二、分布函数的性质,试说明F(x)能否是某个r.v 的分布函数.,例1设有函数 F(x),解： 注意到函数 F(x)在 上下降， 不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.,不满足性质(2)， 可见F(
2、x)也不能是r.v 的分布函数.,或者,注： 如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)-(3)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.,重要公式,用分布函数计算某些事件的概率,因此，只要知道了随机变量X的分布函数， 它的统计特性就可以得到全面的描述.,当 x0 时， X x = ， 故 F(x) =0,当 0 x 1 时，F(x) = P(X x) = P(X=0) =,三、离散型 r.v的分布函数,当 1 x 2 时，F(x) = P(X=0) + P(X=1) = + =,当 x 2 时，F(x) = P(X=0) + P(X=1)
3、 + P(X=2) = 1,故,注意右连续,下面我们从图形上来看一下.,概率函数图,分布函数图,画 分布函 数图,不难看出，F(x) 的图形是阶梯状的图形，在 x=0，1，2 处有跳跃，其跃度分别等于 P(X=0) , P(X=1) , P(X=2).,分布函数,分布律,总结：离散型随机变量分布律与分布函数的关系,分布函数 F (x) 在 x = xk (k =1, 2 ,) 处有跳跃， 其跳跃值为 pk=PX= xk.,F(x) 是 X 取 的诸值 xk 的概率之和，故又称 F(x) 为累计概率函数.,例2,求分布函数,x(k) x x(k+1)时，F(x)=P(X x)=k/n,x x(n
4、)时，F(x)=P(X x)=1,于是得,这个结果在数理统计中有用.,例2 X具有离散均匀分布，即P(X=xi )=1/n, i=1,2,，n，,求X的分布函数.,若 X为连续型随机变量, f (x) 为 X 的概率密度函数 ，则,四 连续型随机变量的分布函数,连续型随机变量的分布函数在 上连续,分布函数与密度函数几何意义,2 设 X 的分布函数 F(x) 连续, 除去有限或可列个点外有连续的导数，则,是 X 的密度函数,1 在 的连续点有,注记,1、 对于连续型的随机变量,密度函数唯一决定分布函数,说明 :,2、 连续型随机变量的分布函数一定是连续的，分布函数如果不连续就不是连续型随机变量
5、( 除了连续型分布和离散型分布以外理论上还存在其它类型的分布 ),例 1 一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量X的分布函数.,解：,（1） 若 x 0, 则 是不可能事件，于是,（2）,X,（3） 若 , 则 是必然事件，于是,0 1 2 3,1,F(x),x,例 2,例3,故有,解,(1) 因为 X 是连续型随机变量,几种常用的连续型随机变量的分布函数,1.均匀分布,2.指数分布,3. 正态分布,标准正态分布的概率密度表示为,标准正态分布,标准正态分布的分布函数表示为,其值有专
6、门的表供查.,标准正态分布的图形,重要性质：,证明,证明,进一步可得X的分布函数,正态分布的计算,例1 设 X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6),解,求 P ( X 3的值。 如在质量控制中，常用标准指标值3作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报，表明生产出现异常。,例4 设测量的误差 X N(7.5,100)(单位:米)， 问要进行多少次独立测量，才能使至 少有一次误差的绝对值不超过10米的 概率大于0.9 ?,解,故至少要进行 4 次独立测量才能满足要求.,设 需要进行 n 次独立测量，每次测量有两个结果：A（误差绝对值不超过10米）和 , Y 表示A出现的次数，则Y b(n,p), 求,注 非离散非连续的随机变量存在性.,可验证F(x)是分布函数 但即非离散（不是阶梯形）又非连续 （F(x)不连续，不能表示成某个函数的积分）.,练习,北京理工大学高等数学统考, 假定考生成绩 X N(, 2). 现已知80分以上者占总人数的33%, 40分以下者占总人数的7.4%, 求考生的及格率.,解:,从而有,由此得,解此方程组得,即考生的及格率为 68%.,作业2.17 ;2.20,解,
