控制系统的数学模型_1

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1、2-1 傅立叶变换与拉普拉斯变换 2-2 控制系统的时域数学模型 2-3 控制系统的复数域数学模型 2-4 控制系统的结构图与信号流图 2-5 控制系统建模的MATLAB方法,第二章： 控制系统的数学模型,2-1 傅立叶变换与拉普拉斯变换,傅立叶变换与拉普拉斯变换用途：1、是工程实践中用来求解线性常微分方程的简便工具2、是建立系统在复数域和频率域的数学模型的数学基础,傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频 率、振幅和相位。和傅立叶变换算法对应的是反

2、傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。,傅立叶变换的定义及基本概念,令 为实变x的连续函数，如果满足下面的狄里赫莱条件： （1）有有限个间断点

3、 （2）有有限个极值点 （3）绝对可积,从傅里叶变换到拉普拉斯变换,则,1拉普拉斯正变换,2拉氏逆变换,3拉氏变换对,拉氏变换的收敛,收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件；,例题及说明,6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。,一些常用函数的拉氏变换,1.阶跃函数,2.指数函数,全s域平面收敛,3.单位冲激信号,4tnu(t),2. 拉氏变换的计算 根据定义积分计算，各典型函数的拉氏变换见下表。,2)MATLAB计算syms s t ;Ft=1-sin(t)Fs=laplace(Ft,t

4、,s)执行结果：Fs=1/s-1/(s2+1)3. 拉氏反变换 已知时间函数的象函数通过拉氏反变换求出其时间函数：,1) 部分分式法,将F(s)展开成多个典型函数的象函数之代数和，查表。 例2.3 F(s)含单极点和重极点时的拉氏反变换。 解:,2) MATLAB拉氏反变换指令：ilaplace(Fs,s,t) 例2.3的MATLAB求解程序： syms s,t;ilaplace(1/s*(s+3)*(s+1)2) 计算结果与手算结果完全一样。,例2.4 F(s)含有共轭复极点时的反变换。解：,用MATLAB求解： syms s t;ft=ilaplace(s+1)/s*(s2+s+1); p

5、retty(ft) %将符号表达式写成易读形式与手算结果一样,5. 拉氏变换变换定理 1) 线性定理 两个函数和的拉氏变换, 等于每个函数拉氏变换的和, 即,函数放大k倍的拉氏变换等于该函数拉氏变换的k倍, 即,2) 微分定理,成立, 则有,如果初始条件,3) 终值定理函数 f(t) 在 t +时的函数值(即稳定值)可以通过 f(t) 的拉氏变换F(s)乘以 s 取 s0 时的极限而得到, 即,总结：微分方程通过拉氏变换变成代数方程，解代数方程可求出输出的象函数，对象函数取拉反变换，可求出微分方程的解。,2.2控制系统的时域数学模型为了从理论上对自动控制系统进行定性分析和定量计算，首先需要建立

6、系统的数学模型。,系统的数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。常用的动态数学模型有微分方程、传递函数及动态结构图。,系统数学模型的建立，一般采用解析法或实验法。解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律，列写出变量间的数学表达式，从而建立数学模型。本章仅讨论解析法，关于实验法将在后面的章节进行介绍。,很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用一个微分方程表示。微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数, 又称为系统的阶数。 如图机械系统，由牛顿定理得到以下关系：,1、线性元件的微分方程,如图RLC网络，由电路定律可得:,不同的物理系统可能

7、得到相似的数学表达式。如果它们对应的系数和初始条件相同，则它们的解将完全相同。这样就可以撇开系统的具体物理属性，研究这些系统的运动过程的共同规律。有了数学表达式，就可从理论上进行普遍意义上的分析。,机械系统中，设外力F1，质量 m2，弹性系数k1，若阻尼系数较小 1，则发生震荡，若阻尼系数较大 10，不会产生震荡。但无,论阻尼大小如何，最终物体将下降一个单位长度，新增的弹力正好和外力相抵，系统进入一个新的平衡点。,总之，建立合理的数学模型，是至关重要的问题。许多系统，事件及项目就是因为无法建立合理的数学模型而不能加以预测和控制。,2、 列写微分方程的一般方法 用解析法列写系统或元件微分方程的一

8、般步骤是：1根据实际工作情况，将系统划分为多个独立的环节，标出各环节的输入、输出变量。各环节之间无负载效应。2从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各环节所遵循的物理定律，列写的动态方程，一般为微分方程组。3消去中间变量，写出系统输入、输出变量的微分方程。4标准化。即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。最后将系数归化为具有一定物理意义的形式。,例2.1 列写如图所示RC滤波电路的微分方程。（假设电路的输入电源的内阻为零，输出接的负载具有无限大阻抗）,解 根据基尔霍夫定律得：,消除中间变量，得到滤波网络的微分方程式为 ：,若撇开具体系统的物理属性，令r(t

9、)为输入，c(t)为输出。线性n阶系统的输入输出微分方程式的一般表达式可写为,式中 均为由系统结构参数决定的常系数，且有nm。,令 则上式可改写为：,5、 非线性数学模型的线性化 在建立控制系统的数学模型时，常常遇到非线性的问题。严格地讲，实际的物理系统都包含着不同程度的非线性因素。但是，许多非线性系统在一定的条件下可以近似地视作线性系统。 若控制系统在工作点的附近微小运动，则可将非线性函数展开为泰勒级数，并忽略级数展开式中的高次项，从而得到只含一次项的线性化方程。即用工作点的切线代替非线性曲线。,对于一般的非线性系统，假设其输入量为r，输出量为c，并设在给定工作点处c0=f(r 0)，各阶导

10、数均存在，则可在 的邻域展开泰勒级数，即,当(rr 0)，很小时，可以忽略上式中二阶以上各项，得或,在处理非线性问题时，应注意以下几点： 1线性化是在输入、输出量围绕平衡点作小范围变化的假设下进行的。一般取零误差状态作为平衡工作状态。 2线性化以切线代替曲线，是一种近似处理。系统的实际变化量如果很大，则采用小偏差线性模型将会带来较大的计算误差。 3.对于某些严重的典型非线性，不能进行求导运算，因此原则上不能用小偏差法进行线性化,例2.2 图示为一个单摆系统,输入量M为零(不加外力矩), 输出量为摆幅(t)。摆锤的质量为m, 摆杆长度为l, 空气阻尼系数为,重力加速度为g。试建立系统的近似线性运

11、动方程。解 对于图示的单摆系统,根据牛顿运动定律可以直接推出如下系统运动方程:,显然方程是一个二阶的非线性微分方程(因为含有sin), 但是在摆幅较小的情况下, 将其线性化处理：,令非线性函数sin()=f，则工作点在0=0，f0=0。线性化：,即单摆系统的近似线性化动态方程为：,2.3 控制系统的复数域数学模型,一、 拉氏变换 1. 拉氏变换的定义将时间函数f(t)乘上指数函数e-st(其中s=+j是一个复数), 并且在0,+上对t积分, 称为f(t)的拉氏变换,并用Lf(t)表示。,拉氏变换将原来的时间函数f(t)转化为复变量函数F(s)。 通常将F(s)称作f(t)的象函数, 将f(t)

12、称作F(s)的原函数。,传递函数是对微分方程取拉氏变换后推导出来的概念。,二、传递函数的定义和特点1. 传递函数的定义线性定常系统的传递函数,定义为零初始条件下,系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。设输入量为r(t) ；输出量为 c (t) ，定义传递函数为：,一般线性定常系统由下面的n阶线性常微分方程描述:,如果r(t)和c(t)及其各阶导数在t=0时的值均为零，则根据拉氏变换的定义和性质,对微分方程进行拉氏变换, 可得,由传递函数的定义可得系统的多项式形式的传递函数为,用MATLAB指令：Gs=tf(b0，b1，bm，a0，a1，an) 或者s=tf(s)；Gs=关于s 的多项式

13、构造多项式形式的传递函数后，可以用MATLAB的各种控制系统指令分析系统。,传递函数的零极点形式,zi ( i =1,2,m)和pj(j=1,2,n)分别称为传递函数的零点和极点,K1称为传递函数的增益或根轨迹增益。,i(i=1,2,m)和Tj(j=1,2,n)为系统中各环节的时间常数, K为系统的放大倍数。,用MATLAB指令：Gs=zpk(z0，z1，zm，p0，p1，pn，K) 或者s=tf(s)；Gs=关于s的因式 可构造零极点形式的传递函数。,传递函数的参数形式,使用 Gtf=tf(Gzpk) 或者 Gzpkzpk(Gtf) 可实现传递函数在零极点形式和多项式形式之间的互换。即可将传

14、递函数进行展开和因式分解。 例2.4 求传递函数 的零极点形式。 解,G=tf(2 6,4,1,14,63, 90);F=zpk(G)执行结果：Zero/pole/gain:2 (s+2) (s+1)-(s+6) (s+5) (s+3),2. 传递函数的特点(1) 传递函数的概念适用于线性定常系统,传递函数的结构和各项系数(包括常数项)完全取决于系统本身结构, 因此, 它是系统的动态数学模型,而与输入信号的具体形式和大小无关,也不反映系统的任何内部信息。同一个系统若选择不同的量作为输入量和输出量, 所得到的传递函数可能不同。所以谈到传递函数,必须指明输入量和输出量。已知传递函数，可求任意输入R

15、(s)下的输出C(s)：,(2) 传递函数是在零初始条件下定义的。 但是，对输入量加于系统之前, 系统处于稳定工作状态的情况同样适用。,(3) 对于实际的物理系统和元件而言, 传递函数的分子多项式的阶次总是小于分母多项式的阶次,即mn。它反映了一个基本事实:一个物理系统的输出不可能立即复现输入信号,只有经过一段时间后, 输出量才能达到输入量所要求的数值。 ,(4) 传递函数与线性常微分方程一一对应。将传递函数展开并取拉氏反变换可得到微分方程。例如, 由传递函数,可得s的代数方程,(a0s2+a1s+a2)C(s)=(b1s+b2)R(s),对方程两端取拉氏反变换， 便得到相应的微分方程,(5) 传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。 物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。另一方面,研究某一种传递函数所得到的结论, 可以适用于具有这种传递函数的各种系统, 这就极大地提高了控制工作者的效率。,2.4典型环节的传递函数在传递函数中，可以分解出基本单元，控制系统也是由典型环节组成，一般可分为比例、惯性、积分、一阶微分、二阶振荡、时滞共七种。,(1)比例环节 输入、输出关系及传递函数为,式中 K为增益。 特点: 输入输出量成比例, 无失真和时间延迟。 实例: 电子放大器, 齿轮, 电阻(电位器), 感应式变送器等。,