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1、经典力学的进一步发展 我们知道的东西是有限的，我们不知道的东西是无限的。 拉普拉斯,力学史课件 武际可,主 要 内 容,1 若干一般性原理 2 拉格朗日和他的分析力学 3 哈密尔顿与雅科比在分析力学上的工作 4 若干重要问题的研究与求解 5 能量守恒定律的发现 6 蒸汽机的发明与热力学的研究7 运动方程的定性研究,1 若干一般性原理,11 莱布尼兹和他的活力定律 12 虚速度原理（虚功原理） 13 达朗贝尔与达朗贝尔原理 14 最小作用量原理,11 莱布尼兹和他的活力定律,莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz,16461716）出生于德国，其父是一位博学的教授。他大半生
2、是为布伦斯威克（Brunswick）家族服务的。为这个家族作图书编目、为他们作历史研究、当律师，从而得到丰厚的报酬，他还作过外交官。莱布尼兹是一位多才多艺的科学家，他在哲学、法律、宗教、政治、历史、文学、逻辑学等方面都有贡献。在数学上他是与牛顿齐名的微积分的发明人，又是数理逻辑、数的二进制表示、组合分析、的级数表示的开创者。此外他在力学上引进了活力定律。,莱布尼兹对活力的研究是从反对笛卡尔的动量开始的。1686年，他投给学术学报（Acta Eruditorum）一篇论文，反对以质量与速度的乘积作为力的度量。之后笛卡尔派与莱布尼兹派就这个问题争论了多年，这场争论几乎席卷了欧洲所有各国，延续了数十
3、年之久。最后法国学者达朗贝尔（Jeanle le Rond dAlembert,17171783）于1743年在他的书论动力学中指出，整个争端只不过是一场关于用语的无谓争论。他指出，“对于量度一个力来说，用它给予一个受它作用而通过一定距离的物体的活力，或者用它给予受它作用一定时间的物体的动量同样都是合理的。”在这里，达朗贝尔揭示了活力是按作用距离力的量度，而动量是按作用时间力的量度，这个结论是非常确切的。,莱布尼兹认为，以落体运动来说，物体升起的高度是与初速度的平方成正比，因之作用在物体上的力的效应必定是与其重量所给予的速度平方而不是速度成正比的。当时莱布尼兹取为活力 ，而不是用 。以现在的语
4、言来说，令w为加速度，f为力，m为质量，v为速度，s为距离，则mw=f 牛顿第二定律 是与 等价的，在这里，f被称为死力，被称为活力。到了19世纪20年代，当法国学者科里奥利（Gustave Gaspard Coriolis,17921843）引进了功的概念后，即功等于力乘物体在力作用线上的位移，才在前面加上了 ，成为。,动量定律是笛卡尔首先于1644年引进。 角动量定律是开普勒于研究火星的运动时于17世纪初引进的。 而动能定律即活力定律是1686年莱布尼兹首先引进的。 至此，力学中的三大守恒定律的雏形已经建立，后来的研究说明，其中从动量守恒定律可以推出牛顿第二定律与第一定律。,12 虚速度原
5、理（虚功原理）,约翰伯努利（Johaun Bernoulli,16671748）是雅科比伯努利的弟弟。雅科比是概率论的奠基人之一，也是细长杆的最早研究者。约翰伯努利则是变分学的创始人之一。他曾长期同莱布尼兹合作，在微积分学、微分方程、变分学与几何学方面都有重要成果。他在1742年出版的积分学教程是微积分方面的第一本系统的教科书。,约翰伯努利在1725年发表的新的力学或静力学论文中说：“在一切力的平衡中，不论它们的作用方式如何，不论它们沿什么方向相互作用，也不论是直接还是间接地作用，正能量的和将总是等于按正负取的负能量的总和。”这个表述已经同现今的虚功原理的表述非常接近了。现在的表述是科里奥利在
6、19世纪初给出的：“在理想完整的约束中，主动力在虚位移上所作的总功为零。”虚功原理是力学中的重要原理，它的提出为后来发展分析力学奠定了基础。,13 达朗贝尔与达朗贝尔原理,达朗贝尔（Jean le Rond dAlembert,17171783）是法国人，他是在教堂台阶上的一个弃婴。Jean le Rond 就是教堂的名字，养育他的父母姓dAlembert。在他成年后，便离开了他的养母，他的养母派人找到了他，他说：“你是我的后母，装玻璃工人的妻子才是我的真正母亲。”他是一位哲学家、数学家、天文学家、力学家。他还是当时法国百科全书派的主将。,1743年，仅26岁的达朗贝尔发表了论动力学一书。这本
7、书可以说是力学发展史上的一块里程碑。如果牛顿的自然哲学的数学原理是讨论自由物体的运动的话，那么这本书则是开讨论约束物体运动的先河。书中综述了虚速度原理。达朗贝尔先从单摆和复摆的运动说起，他将作用于物体上的力分为外力（外加力）和质点间的内部反作用（即现今称的约束力）两类。,达朗贝尔假定：就整个物体而言，内部反作用互相抵消了，因而对运动没有任何贡献，而事实上另一组力把运动传递给该系统，使得有效力静态地等于外力或外加力。达朗贝尔在这里说的“有效力”即是惯性力。后来达朗贝尔用它去处理了一端悬挂的杆。用现在的语言说 mw+f=0, 或f+Nmw=0 就是达朗贝尔原理，这里N为约束力。w,f,N都是向量。
8、,达朗贝尔在力学上还有许多重要工作，主要有： 1 1744年发表流体的平衡和运动教程，其中应用达朗贝尔原理处理了一些问题。 2 1747年发表弦的振动的研究，将他发展的关于偏微分方程理论用于研究弦振动。 3 1749年，他研究了任意形状物体的运动，并用以解释地球运动的章动（岁差）。 4 1752年他讨论了流体的阻力，提出所谓达朗贝尔佯谬，指出按理论与实验得到的阻力有显著差别，即理想流体上的阻力为零。这个问题长期没有解决，之后到黏性流体理论中才得到解决。 5 17611781年间出版了数学手册1746年任百科全书的副主编。 达朗贝尔原理第一次将动力学与静力学按统一观点来处理。它与最小作用量原理一
9、起为分析力学的发展奠定了基础。,14 最小作用量原理,最小作用量原理可以往前追朔到费尔马的光传播路径问题。法国业余数学家费尔马（Pierre de Fermat,16011665），职业是律师，曾任图卢兹议会的顾问30多年。1662年，他提出在光线从稀介质到密介质传播的最速路线问题，从而得到折射与反射定律。至今在物理上称为费尔马原理。 费尔马原理提出后，遭到了反对并引起了争论。在争论中，笛卡尔和牛顿大致是一派，笛卡尔这一派主张介质密时光速大，当光传播到介质边界时，受到垂直于介质边界作用的影响。莱布尼兹为另一派，他认为（1682）不可以把自然最容易取的路线同距离或时间最短相混淆，他主张寻求最小阻
10、力的途径。,法国学者莫培丢（Pierre Louis Moreau de Maupertuis,16981759）于1744年提出了一个“最小作用量原理”，其目的是想调和这种争论。莫培丢是一位数学家也是一位哲学家，他提出的普遍原理认为：“主宰宇宙的上帝总是选择最简单的手段来达到其目的的，古代的光学家就已经认识到，一条光线因直线行进而用最短可能时间到达其目标。人们还认识到，光反射定律也包含这条原理，因为从一给定点向另一给定点行进，中途被一片给定平面镜反射的一条光线，当入射角等于反射角时，光走过的距离最短。”他在运动规律的研究一文中是这样来阐明他的最小作用量原理的：“每当自然界发生什么变化时，为此
11、变化所使用的作用量总是最小可能的。”一个运动中的物体，所包含的作用量与质量、速度、和行进的距离成正比。即作用量为 。,莫培丢应用这条原理处理了碰撞问题。令两物体m,m,分别速度为 ，碰撞后速度皆为 ，则设 ，有取极小， 由此可得 。此原理同样可以用于求弹性碰撞后的速度。但是莱布尼兹的能量守恒定律却不适用于弹性碰撞。同时，莫培丢还论证了笛卡尔的动量守恒完全不适用于碰撞问题。他于是断言：只有最小作用量原理才是普遍适用的。,在莫培丢之后，1696年，约翰伯努利提出最速降落问题。设不在同一水平面上的两点，有一质点在重力作用下过两点运动，问质点走什么曲线时所需的时间最短。这条曲线就称为最速降落线。这个问
12、题的提出成为变分原理的开始，后来为莱布尼兹、牛顿、雅科比伯努利等人解决。1697年，约翰伯努利又将这个问题推广，提出短程线问题，即求在任何给定力的作用下，运动质点过两点时间最短的曲线。这个问题后来在1727年由当时年仅21岁，在他指导之下的学生欧拉解决了，后来在1730、1739、1741年对这一工作的发展就是后来变分法的欧拉方程。,欧拉以积极的态度支持莫培丢，他用这个原理解决了抛体问题、有心力作用下的质点运动问题。欧拉与莫培丢在笃信上帝上也是一致的，认为：“我们的原理非常好地符合我们关于物质所应具有的表象，使世界满足创世主施展威力的欲望，是最贤明地使用这个威力所不可避免的归结。”与此对立的是
13、达朗贝尔，他坚决反对莫培丢与欧拉的神学观点，将他们的工作斥为“伟大的解析学家，拙劣的哲学家”，“上天不赐两物于一人”。后来拉格朗日将最小作用量原理看为物理的基本原理，认识才趋于一致。,2 拉格朗日和他的分析力学,21 一本没有图的力学书分析力学 22 拉格朗日生平 23 国际单位制的产生,18世纪，一方面是微积分迅速发展，另一方面是如前所说力学的一般原理的逐步确立，第三方面是工业发展的背景提出求解带约束的力学系统的复杂问题。在这样的条件下，分析力学的发展条件成熟了。 为了说明拉格朗日所处时代的生产背景，我们只要举例说明当时机械工业已有很大的发展，愈益复杂的机械受力分析要求“去简化”计算。 17
14、61年，英国钟表匠哈里森以其改进的钟表从伦敦到牙麦加9星期的航行中计时只差了5秒。在此之前近代钟表已经大量生产进入市场。此外，1768年英国发明了以珍尼命名的纺纱机，1692年德国的纽可曼、1763年俄国的波祖诺夫发明了蒸汽机，后来1782年英国的瓦特作了重大改进蒸汽动力被普遍用于纺织、火车、轮船等。所有这些机械工业的发展构成了历史上所称的“产业革命”。,21 一本没有图的力学书分析力学,在牛顿的原理出版后的101年，也是法国大革命的前一年，即1788年，却在法国出版了一本不含几何推理也没有任何几何插图的力学书。这就是J.L.拉格朗日(Lagrange)著的分析力学。这本书的出版标志了力学发展
15、的一个新阶段。,在这本书的开场白中，拉格朗日说这本书的宗旨是：“去简化力学理论及其求解有关问题的技巧，达到简单展开的一般提法，以便提供求解任意问题的必要的方程。”和“去用一个观点统一和表示迄今用于求解力学问题的不同原理，揭示这些原理之间的依存关系并给出判定它们正确性与适用范围的判据。”拉格朗日还申称：“在这本书中找不到任何插图，我在这本书中阐述的方法，既无作图也无需几何或力学的推理，而仅仅是按照常规的统一的代数运算固有的过程。爱好分析的人将会高兴地看到力学已变为分析的一个新的分支，并将感谢我扩大了分析的应用范围。”1 1 R. Dugas, A History of Mechanics, Do
16、ver Publications, INC., 1988, pp.333,牛顿的原理只提供了分析质点受力与运动的原型，对于复杂的力学系统，甚至对一个简单的刚体的运动方程也还没有弄清楚。刚体的运动方程是1765年由欧拉（Euler）最后提清楚的。 按照当时已有的力学知识，要分析一个稍许复杂的机构，例如一个有五级齿轮的传动系统的运动，也还是无能为力的。如果拿这个问题去请教牛顿，牛顿只会处理自由质点运动，不会处理刚体运动，何况还是带约束的呢。而转去请教欧拉呢？他不得不将整个系统化归为五个“隔离体”即五个刚体，分别列出五个刚体的运动方程，而不同刚体之间又有作用力和反作用力的耦合，所以得面对数十个方程联立的微分方程组。这样处理问题是太复杂了。,
