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1、1,第七章 直线与圆的方程,两直线的位置关系,第 讲,2,（第二课时）,2,题型4 求直线的方程,1. 已知等腰直角三角形ABC中，C=90，直角边BC在直线2x+3y-6=0上，顶点A的坐标是(5，4)，求边AB和AC所在的直线方程.,3,解：由题知直线BC的斜率kBC=- ， 又因为直线AC与直线BC垂直， 所以直线AC的方程为y-4= (x-5), 即3x-2y-7=0. 因为ABC=45， 所以 解得kAB=-5或kAB= ,4,所以AB边所在的直线方程为 y-4= (x-5)或y-4=-5(x-5), 即x-5y+15=0或5x+y-29=0. 点评：求直线方程的关键是找到两个独立条
2、件,求得相应的两个参数.本题中已知直线过一个点,求得直线的斜率即可根据点斜式求得直线方程.利用等腰直角三角形的性质,得到kACkBC=-1,且ABC=45,再利用夹角公式,求得直线AB的斜率,进而得到直线AB的方程.,5,等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是x-2y-2=0，底边所在的直线l2的方程是x+y-1=0，点(-2，0)在另一腰上，求这腰所在直线l3的方程. 解：设l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，l1到l2的角是1，l2到l3的角是2，则k1= k2=-1，,6,因为l1,l2,l3所围成的三角形是等腰三角形， 所以1=2，tan1=tan2=-3， 即 即 解得k3=
3、2. 又因为直线l3经过点(-2，0)， 所以直线l3的方程为y=2(x+2)，即2x-y+4=0.,7,2. 一条光线经过点P(2,3)射在直线l:x+y+1=0 上，反射后穿过点Q(1，1). (1)求入射光线所在直线的方程; (2)求这条光线从P到Q所经过的距离. 解：(1)如图所示，设点 Q(x,y)为Q关于直线 l的对称点,且QQ交l于M点. 因为kl=-1,所以kQQ=1， 所以QQ所在直线的方程为x-y=0.,题型5 对称性问题,8,由 得点M的坐标为 又因为M为QQ的中点， 由此得 得Q(-2，-2).设入射光线与l的交点为N,且P、N、Q共线, 得入射光线的方程为 即5x-4
4、y+2=0.,9,(2)因为l是QQ的垂直平分线, 因而|NQ|=|NQ|, 所以|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ|=|PQ|即这条光线从P到Q所经过的距离是,10,点评:涉及到对称性问题,一般有点关于点对称、点关于直线对称、直线关于直线对称等类型.如求点P(a,b)关于直线ax+by+c=0的对称点的坐标的步骤:(1)设所求的对称点P 的坐标为(x0,y0),则PP的 中点 一定 在直线ax+by+c=0上;(2)直线PP与直线 ax+by+c=0的斜率互为负倒数,即,11,已知两点A(2，3)、B(4，1)，直线l：x+2y-2=0，在直线l上求一点P. (1)使|PA|+|PB|最小
5、； (2)使|PA|-|PB|最大. 解：(1)可判断A、B在直线l的同侧，设点A关于l的对称点A1的坐标为(x1，y1). 则有 解得 由两点式可得直线A1B的方程为,12,所以直线A1B与l的交点为 由平面几何知识可知此时|PA|+|PB|最小. (2)由两点式求得直线AB的方程为 y-1=-(x-4)，即x+y-5=0. 所以直线AB与l的交点为P(8，-3)， 它使|PA|-|PB|最大.,13,3. 已知斜率为2的直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，且|AB|= 点C(a，0)为x轴上一动点，若ABC的面积不小于9，求a的取值范围. 解：设直线l的方程为y=2x+m,代入y2=
6、4x, 得(2x+m)2=4x，即4x2+4(m-1)x+m2=0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 因为|AB|= 所以 即|x1-x2|=3，所以(x1+x2)2-4x1x2=9.,题型6 求变量的取值范围,14,于是(1-m)2-m2=9，解得m=-4. 此时，=16(m-1)2-16m20. 所以直线l的方程是y=2x-4，即2x-y-4=0. 设点C到直线l的距离为d，则d= 因为SABC9,所以 即 所以|2a-4|6，解得a5或a-1. 故a的取值范围是(-，-15，+). 点评:求参数的取值范围问题,一般是先根据条件得出参数的函数式或相应的不等式(组),再求得参数的
7、取值范围.,15,在平面直角坐标系xOy中，经过点(0， )且斜率为k的直线l与椭圆 有两个不同的交点P和Q.则k的取值范围是_. 解：由条件知，直线l的方程为y=kx+ ， 将其代入椭圆方程得 整理得 因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q， 所以 解得k- 或k . 即k的取值范围为(-，- )( ，+).,16,已知直线l:(a+2)x+(1-2a)y+4-3a=0. (1)求证：直线l经过第三象限; (2)若直线l不经过第二象限，求a的取值范围. 解: (1)证明:l的方程可化为(2x+y+4)+a(x-2y-3)=0. 令 得 所以直线l过定点P(-1,-2),故直线l经过第三象限.
8、,题型 直线系方程的应用,17,(2)设直线l在x轴上的截距为m,则 据题意,m0,所以 所以a 或a-2. 又当a=-2时，直线l:y=-2符合条件. 故a的取值范围是(-,-2 ，+).,18,1. 要特别注意数形结合的数学思想方法.根据题意画出图形不仅易于找到解题思路，还可避免增解和漏解，同时还可充分利用平面图形的性质，挖掘某些隐含条件，优化解题过程，找到简捷解法. 2. 求对称点的步骤： (1)设点设对称点为(x，y)；,19,(2)列式利用中点坐标公式(中心对称情况)或垂直平分的条件(轴对称情况)来列关于x，y的方程组; (3)求解解所列方程组，求到的解就是所求对称点的坐标. 3. 对有关中点、角平分线、光线等问题，或者在直线上求一点使点到两个已知点的距离之和最小(或者距离之差最大)等，要注意将其转化为对称问题来处理，即不妨试试用“对称法”来解题.,
