概率论与数理统计 15-6节

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1、第五节 独立重复试验,独立重复试验的特征： 1、每次试验都在相同条件下进行； 2、每次试验的结果是相互独立的； 3、每次试验有有限个确定的结果；,如果试验共进行n次，称为n重独立重复试验.,4、每次试验的结果发生的概率相同；,比如：多次掷骰子；,产品有放回地抽样检验。,如果每次试验的结果 有且仅有两种： ，,称为n重伯努利试验.,贝努利,(17001782) 瑞士,下面我们来研究n重伯努利 试验中事件A发生k次的概率。,例1 设在10件产品中有1件废品，现进行3次有放回的抽样检查，求抽得2件废品的概率。,解 设 “第 次抽取时抽到废品”,“共抽得2件废品”,例1 设在M件产品中有N件废品，现进

2、行n次有放回 的抽样检查，求抽得k件废品的概率。,解 设 “第 次抽取时抽到废品”,“共抽得k件废品”,n 重伯努利试验中事件A恰好出现 k 次的概率简记为 b ( k；n，p）.,则 b ( k；n，p） Cnk pk qnk.,例2,一条自动生产线上产品的一级品率为0.6，检查10件，求至少有两件一级品的概率P(B)。,解：这是n10的10重伯努利试验，p0.6,依题意,例3,向单位圆中随机抛入3个点，求这3个点中恰有2个点落在第1象限的概率。,解 抛入3个点相当于3重贝努利试验，,所求概率为,3个点中恰有2个点落在第1象限的事件记为B,由几何概率，点落在第1象限的概率为1/4,思考,彩票

3、投注点的门口有一副对联:“多买少买多少要买，早中晚中早晚要中”,每次开奖，中奖的概率为,而坚持十年，从未中奖的概率为,每年按52周算，则十年中奖1次的概率为,你如何理解“早晚要中”？,假定每周开奖一次，,每次中奖的概率为十万分之一，,趣例-“惊人的预测”,一天，乔治在自己的邮箱中发现一封陌生的邮件，他好奇地打开了它：“亲爱的球迷，我们的统计学家已经设计了准确预测足球比赛的方法。今晚英国足球杯第三场考文垂队对谢非尔队，我们以95%的概率预测考文垂队获胜。”,乔治看后一笑。,乔治并不在意。,当晚看比赛时，考文垂队果然获胜。,三周后，他又收到一封邮件：“亲爱的球迷，我们的统计学家已经设计了准确预测足

4、球比赛的方法。今晚考文垂队对米德尔斯堡队，我们以95%的概率预测米德尔斯堡队获胜。”,当晚，米德尔斯队果然获胜。,乔治不由心中一震。,一周后，他又收到第三封邮件：“亲爱的球迷，我们的统计学家已经设计了准确预测足球比赛的方法。今晚我们以95%的概率预测米德尔斯队将败给特伦米尔队。”。,乔治发现这次预测又对了时不由大吃一惊。,第四次，预测仍然是对的。,第五次，预测还是对的。,这之后，乔治又收到一封邮件：“亲爱的球迷，你是否发现我们已经多次预测成功。如果你支付200英镑，我们将为你预测以下多次比赛结果，并保证正确率在95%以上。”,乔治想：如果发邮件的人只是猜测，则5次猜测成功的概率为,这不太可能!

5、当然他们也可能与黑社会有关或有非法财团支持,但这与乔治无关-只要能挣钱就行!如果预测成功,可以从彩票商那里赚回20万.,乔治支付了200英镑.,实际上,这些骗子先发出8000封电子邮件,一半猜甲胜,一半猜乙胜,于是有4000人得到正确预测。第二次只给这些人发邮件，依次类推，可以有250人获得五次成功的结论。只要有100人付钱，就可骗到20000英镑！乔治就是这100人中的一个。,第六节 全概率公式和贝叶斯公式,1.完备事件组,如果n个事件A，A，A互不相容，并且它们的和是必然事件，称这n个事件构成一个完备事件组。,复 习,2.加法公式：,当A、B互斥时，有,P(AB)P( A)P(B)P(AB

6、),P(AB)P( A)P(B),3.乘法公式：,P(AB)P(B)P(A|B),当A、B独立时，有,P(AB)P()P(),互斥简化了加法公式，独立简化了乘法公式,这一节我们将要学习的,全概率公式,贝叶斯公式,是加法公式和乘法公式的综合运用，,主要用于计算一些复杂事件的概率。,例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1 号箱装有 1 个红球4个白球，2号箱装有2个红球3个白球，3号箱装有3个红球. 某人从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球，求摸出红球的概率.,解,则 B= A1B+A2B+A3B,P(B)=P( A1B+A2B+A3B),摸出红球=从1号箱中摸出红球 或 从2号箱中摸出红 球

7、 或 从3号箱中摸出红球,设 Ai=从i号箱中摸, i=1,2,3; B =摸出红球,=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),此题不合适要修改,A1B,A2B,A3B,A1，A2，A3构成一个完备事件组,B 的发生必然伴随着A1 , A2 , A3之一同时发生,即,故,如果事件A1，A2，An构成一个完备事件组，且有P(Ai)0，i =1,2,n，则对任一事件B，有,全概率公式（定理1.9）:,某一事件B的发生有各种可能的原因，,全概率公式可以这样来理解：,每一原因都可能导致B发生，故B发生的总概率是各原因引起的B发生概率的总和。,P(AiB), P(Ai)P(B |Ai),这些原因我们

8、用A1、A2、 、 An等来表示，,其中原因Ai 对总概率P(B)所作的贡献为,全概率 公式,例2 某厂的一批产品,由甲、 乙 、丙三名工人生产,其产量分别占总产量的25%、35%、40%,若已知他们的次品率依次为5%、4%、2%,现在从这批产品中任意抽取一件,求这一件是次品的概率.,解 用A1、A2 、A3分别表示“甲、乙、丙生产的产品”， 用B表示“抽取的是次品”,则 A1 、A 、A 构成一个完备事件组,由全概率公式得,例（教材P35） M地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比例为9：7：4。据统计资料，甲种疾病在该地区三个小区内的发病率依次为4，2，5，试求出M地

9、甲种疾病的发病率。,解：设Ai =“某人是第i个小区内的人”，i=1,2,3B= “M地的人得病”，,则 A1，A2，A3构成完备事件组, 由全概率公式,全概率公式应用的关键 在于寻找或构造一个完备事件组,例 3 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7 .飞 机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.,解 设 A=飞机被击落,由全概率公式,则 A=C1A+C2A+C3A,Ci =飞机被i人击中 , i=1,2,3,Bi =飞机被第i人击中 , i=1,2,3,显然1，2，3构成一个

10、完备事件组,P(A)=P(C1)P(A |C1)+ P(C2)P(A|C2)+ P(C3)P(A |C3),实际生活中还存在这样一类问题，是“已知结果求原因”.,全概率公式解决的是“已知原因求结果”的问题.,解决这一类问题就要用到贝叶斯公式,例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1 号箱装有 1 个红球4个白球，2号箱装有2个红球3个白球，3号箱装有3个红球. 某人从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球，,求摸出红球的概率.,如果摸出的是红球，求该球取自号箱的概率.,解 设 Ai球取自i号箱 , i=1,2,3 ; B 取得红球,所求概率为,P(A1|B),例1 有三个箱子，分别编号为1,2,

11、3，1 号箱装有 1 个红球4个白球，2号箱装有2个红球3个白球，3号箱装有3个红球. 某人从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球，,如果摸出的是红球，求该球取自号箱的概率.,如果摸出的是红球，求该球最有可能取自哪个箱子?,解,1.结果B的发生来自于原因Ai的可能性:,已知结果求原因,2.结果B的发生来自于哪种原因的可能性最大:,求 P(Ai | B),比较哪个 P(Ai | B)最大,贝叶斯公式：,设A1,A2,An构成一完备事件组，且P(Ai)0，i=1,2,n, 则对任一概率不为零的事件B，有,贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果发生的最可能原因。,例如，贝叶斯公式可用于

12、鉴定废品来源,从而可以为进一步的经济处罚提供依据。,例2 某厂的一批产品，由甲、 乙 、丙三名工人生产，其产量分别占总产量的25%、35%、40%，且已知他们的次品率依次为5%、4%、2%，现在从这批产品中任意抽取一件，发现是次品。而工厂规定，出现一件次品罚款69元。请问这69元该谁出？,解：,贝叶斯公式在疾病诊断中也有着重要的意义,A1，A2，An ：种疾病,：中疾病都会导致的某种症状,例4 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?,则 表示“抽查的人

13、不患癌症”.,解,设 A抽查的人患有癌症，B试验结果是阳性，,所求为P(A|B).,已知 P(A)0.005 , P(B|A)0.95,P( )0.995 , P(B| )0.04,下面来分析一下结果的意义：,由贝叶斯公式，可得,代入数据计算得: P(A|B)= 0.1066,2. 检查出阳性是否一定患有癌症?,1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？,如果不做试验, 抽查一人, 他是患者的概率P(A)=0.005,患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为 P(A|B)= 0.1066,这种试验对于诊断一个人是否患有癌症是有意义的,

14、从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.,1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？,2. 检查出是阳性是否一定患有癌症?,试验结果为阳性，此人确患癌症的概率为P(A|B)=0.1066,即使检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症,因为这种情况下患癌症的可能性只有10.66% (平均1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.,下面我们再回过头来看一下,全概率公式 和 贝叶斯公式,完备事件组：A1，A2，An,核心事件：B,原因,结果,已知,：用全概率公式求,：用贝叶斯公式求,先验 概率,后验 概率,贝叶斯公式就是用来求后验概率的。,后验概率P(A

15、i|B)是相对于先验概率P(Ai)来说的。,P(Ai)是试验前根据以往经验确定的一种假设概率，,P(Ai|B)是在获知事件B已经发生这一信息之后，事件Ai发生的条件概率，,它是根据新的信息对各“原因”的发生情况获得的新的认识。,贝叶斯公式又称为后验概率公式或逆概公式。,P(Ai) 是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对事件Ai发生的可能性大小的认识.,当有了新的信息（知道B发生），人们对事件Ai发生的可能性大小有了新的估计，这就是P(Ai | B).,贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。,P(Ai | B),P(Ai),在不知道事件B发生的情况下，,但在知道事件B发生后，,先验概率,后验概率,也就是说，,在不知道摸出的是红球的情况下，,我们只能认为球取自三个箱子的可能性相同，即,即知道摸出的是红球了，,我们对于球取自哪个箱子的可能性较大的估计就发生变化了：,考虑刚才摸球的例子,在不了解案情细节(事件B) 的情况下，侦破人员根据过去 的前科，对他们作案的可能性有一个估计。,比如原来认为作案可能性最小的丙， 现在变成了重点嫌疑犯.,丙,乙,甲,P(A1),P(A2),P(A3),但在知道案情细节后(知道B发生后), 这个估计就有了变化.,P(A1 | B),P(A2 | B),P(A3 | B),再如：某地发生了一个案件，怀疑对象有,