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1、最优控制讲授提纲,* 配合教材： 最优控制理论与应用吴受章编著 机械工业出版社 2008年,1,使用说明,讲课开始时，学生需人手一册教材，已可开讲。讲授提纲用幻灯片放映，仅起画龙点睛作用（若无幻灯片放映，可用板书代之）。关键是：任课教师是否习惯此种讲课方式。实践表明：学生的收效却更好。 任课教师都有自己的习惯、风格，都喜爱自己的讲稿，因此，只适宜于列出讲授提纲供参考，逐次的讲稿宜自己用Power Point编写。此时，教材和讲授提纲可供参照，并亦可各自按需补充些内容。此外，讲课进度的安排也因人而异，有40学时全讲课的，有压縮课时并添加大作业的，有写读文献的报告的，故不宜编写划一的讲稿（写了也是
2、白写）。,2,绪论,从经典的反馈控制到最优控制从特点看控制器设计经历的“改朝换代”,3,特 点 经典反馈控制 最优控制,上世纪40-50年代起的炮火控制 SISO，输入输出描写 低阶传递函数 应无未建模动态 手算，作图，憑经验 不计控制能耗 模拟器件实现 军工及民用工业,上世纪60年代起延伸至今的航空航天 MIMO，内部描写 低阶状态方程 应无未建模动态 计算机，优化，算法 考虑控制能耗 数字器件实现 航空航天工业,4,第1章 变分法,引言 变分问题求解的两条路 本章的重要性,5,泛函,定义 1-1（泛函）图 1-1 弧长 ，目标泛函定义 1-2（函数空间中的距离）图 1-2 曲线间的距离定义
3、 1-3（n级邻区和泛函的局部极值）图 1-3 泛函求局部极值定义 1-4（泛函的全局极值）,6,变分的推演,泛函求极值从式（1-1）推导式（1-6）的过程： 写出目标值的差，式（1-2） 用导数中值定理，得式（1-5） 式（1-5）的第二项为高阶无穷小 改用变分记号，式（1-6）,7,（续）变分的推演,式（1-1）的被积函数用 Taylor 级数展开后的线性主部，即式（1-6）第一项的被积函数 定义 1-5（函数的一次变分）式（1-7），式（1-8） 定义 1-6（泛函的一次变分）式（1-9）,8,（续）变分的推演,定义 1-7（泛函的二次变分）式（1-10）泛函的高次变分，式（1-11）
4、泛函极值存在的必要条件，式（1-12） 泛函局部极大值存在的充分条件，式（1-13） 泛函局部极小值存在的充分条件，式（1-14）,9,Euler方程和横截条件,泛函求极值从式（1-16）推导式（1-21）的过程： 用分部积分得式（1-18） 用推论1-1得式（1-19）及式（1-20） 用推论1-2得式（1-21） TPBVP（两点边值问题）例1-3,10,向量情况,泛函求极值从式（1-25）推导式（1-32）的过程： 成对应用式（1-18），得式（1-26） 分类及合并，得式（1-27） 仿式（1-21）及式（1-23），得式（1-30）及式（1-31） 向量形式，式（1-32）,11,有
5、约束的情况,函数的约束优化与Lagrange乘子式（1-33） 化为无约束优化，式（1-34） 两个默认的特点 函数的向量约束优化与Lagrange乘子向量式（1-35）,12,（续）有约束的情况,化为无约束优化， 式（1-37） 两个默认的特点 泛函的约束优化 约束方程变量多、方程少 化为无约束优化 定理1-1的叙述：式（1-39）与式（1-40）等价,13,（续）有约束的情况,定理1-1的证明过程： 为何要分两步走 第1步证明 式（1-40）改写为式（1-42） 泛函极值存在的必要条件，式（1-43） 结合约束方程求解，结果满足约束方程，式（1-40）的解即为式（1-39）的解 第2步证明
6、,14,（续）有约束的情况,式（1-39）的构成：式（1-25）及约束方程 式（1-25）所示泛函极值存在的必要条件，式（1-44） 对约束方程取一次变分，式（1-45）即式（1-46） 构造式（1-49） 式（1-44）的第一式与式（1-49）合成，得式（1-51） 用约束方程和式（1-51），构造式（1-52）,15,（续）有约束的情况,式（1-53）与式（1-52）的差别，得式（1-55）及式（1-56），式（1-39）的解即为式（1-40）的解 两步证明的完成，才说明式（1-39）与式（1-40）完全等价 定理1-1推广到微分系统,16,端点可变的情况,两端可变可化为一端可变，终端可变
7、 目标值的差推演得式（1-61）利用积分中值定理及式（1-6），式（1-18）由式（1-61）得式（1-62） 图1-4与式（1-63） 从式（1-64）得式（1-65） 推广到式（1-67）,17,变分的另一种定义,定义1-8（函数的一次变分） 定义1-9（泛函的一次变分）式（1-69） 对求导,得J的一次变分，式（1-71） 式（1-72）同式（1-9）,18,变分与Frchet微分,定义1-10（Frchet微分）线性逼近的误差，式（1-74）对照图1-5及式（1-75）规定了线性逼近方式 Frchet微分，式（1-76） 计算Frchet微分的方法，式（1-77） 泛函的一次变分即Fr
8、chet微分，对照式（1-78），式（1-79）,19,小结,泛函求极值变分常微分方程的TPBVP 本章仅为寻求极值曲线，并未涉及寻求极值曲面 变分法的现代进展为变分原理（不是第5章的最大值原理）,20,第2章 连续系统最优控制,引言 了解受控对象建模提出概念性目标优化问题提法式（2-1）Bolza问题，Lagrange问题，Mayer问题 折衷优化 如何套用第1章公式,21,时间端点固定的情况,式（2-2）的背景 化为无约束优化问题式（2-3），Hamilton函数 式（2-3）取一次变分，分两部分式（2-7）由式（2-4）及式（2-6）组成 横截条件，伴随方程，耦合方程，状态方程，式（2-
9、10）,22,（续）时间端点固定的情况,沿最优轨线H为常量的条件 横截条件三种情况 TPBVP 例2-1，例2-2，例2-3，例2-4,23,有终端函数约束的情况,式（2-60）的背景 化为无约束优化问题， 式（2-61） 式（2-61）取一次变分，式（2-63） 横截条件，伴随方程，耦合方程，状态方程，终端函数， 式（2-67） 例2-5,24,终时不指定的情况,式（2-78）的背景 化为无约束优化问题，式（2-79） 式（2-79）取一次变分，分三部分 式（2-84）由式（2-80)，式（2-81)及式（2-83）组成 横截条件，伴随方程，耦合方程，状态方程，终端函数， 式（2-88） 例
10、2-6,25,考虑其它几种约束,积分约束化为微商约束和终态约束 状态和控制的等式约束 状态和控制的不等式约束用松弛变量化为状态和控制的等式约束 角隅条件，式（2-120）,26,用符号数学工具箱 求TPBVP的解析解,见程序集,27,小结,TPBVP的解析解 多谢MATLAB的符号数学工具箱，它改变了求取TPBVP的解析解的面貌 要关注符号计算的进展（包括新版本MATLAB中的符号数学工具箱） 确定性最优控制开环与闭环不分,28,第3章 线性连续系统的 二次型调节器,引言 优化问题提法， 式（3-1） 物理意义 重视LQR的原因,29,有限时间（状态）调节器,时变情况 式（3-1）化为无约束优
11、化问题 泛函极值存在的必要条件：横截条件，伴随方程，耦合方程，状态方程 TPBVP,式（3-6）Hamilton矩阵(t) 式（3-7） 式（3-12） 矩阵Riccati微分方程，式（3-17）,30,全状态反馈，Kalman增益，式（3-19） P(t)的性质 对称，半正定 P(t)的计算，Euler法 最优反馈控制的结构，图3-1 x(t)的重构，图3-2 对加权矩阵的要求,31,（续）有限时间（状态）调节器,（续）有限时间（状态）调节器,非时变情况 式（3-1） 式(3-1) 式（3-17） 式(3-17) 式（3-18） 式(3-18) 式（3-19） 式(3-19) P(t)的解析
12、解，式（3-28），几种解法 例3-1，例3-2 观察终时tf对Kalman增益K(t)的影响见程序集和图3-3,32,（续）有限时间（状态）调节器,P(t)的数值解见程序集,33,有限时间输出调节器,优化问题提法式（3-58） 矩阵Riccati 微分方程，式（3-60） 全状态反馈，Kalman增益K(t)式（3-62）,34,无限时间输出调节器,优化问题提法，式（3-63） 定理3-1有4部份： (a) P(t)= Pbar=const的充要条件为（A , B）能稳定能观性分解，式（3-66）代入系数矩阵，式（3-64）即式（3-68）从式（3-69）的第二式、第三式和边界条件得 P12
13、(t)=O ，P22(t)=O，得式（3-70)不能观极点在A22中，不影响P(t）,35,（续）无限时间输出调节器,设能观，不会影响证明P(t)= Pbar=const 从能控性分解式（3-71)出发 证必要条件(能稳定)：设（A , B）不能稳定（不稳定极点不能控）不能控极点在A22中,输出z(t)和 J 都发散按式（3-25），P(t)不存在，Pbar不存在 证充分条件(能稳定)：设能稳定（不稳定极点能控）式（3-73）说明P(t)有上界,36,（续）无限时间输出调节器,式（3-73）单调非减，得P(t)单调非减有唯一极限P(t)= Pbar=const (b) 若能稳定，能检测，则唯一
14、的Pbar半正定P(t)= Pbar=const，式（3-64）退化为矩阵Riccati代数方程，式（3-65），前已证有唯一极限Pbar 能检测（不能观极点稳定），不考虑不能观部分由式（3-24）及式（3-25）得 Pbar半正定(c) u(t)稳定的充要条件为能稳定，能检测,37,（续）无限时间输出调节器,证必要条件： 必需能稳定和能检测，否则不稳定极点不能控，不能观极点不稳定 证充分条件： 能控性分解式(3-71),得式（3-75） 从式（3-75）可写出式（3-76），解出P11(t) 能控性分解中的A11含能控的极点（包括不稳定的极点）, A11-B1R-1(B1)TP11渐近稳定A
15、22含不能控的极点（但包括稳定的极点）,38,（续）无限时间输出调节器,(A11,B1)能控包含(A11,B1)能稳定，按本定理(a) P11(t)=P11bar=const 的充要条件为(A11,B1)能稳定 最优反馈控制为式（3-77） 反馈系统为式（3-78） 分块上三角形矩阵的特征值取决于对角块各矩阵的，因A11-B1R-1(B1)TP11渐近稳定及A22渐近稳定，故反馈系统渐近稳定,39,（续）无限时间输出调节器,(d)设Q正定，Pbar正定的充要条件为能观 证必要条件(能观)：设部分能观，能观性分解，式（3-66）,在本定理(a)中有式（3-70）det P(t)=0, P(t)非
16、正定，Pbar非正定 证充分条件(能观)：反设能观，但Pbar非正定存在x0 0 ，不加控制，却可使输出为0，荒谬，故Pbar 正定,40,（续）无限时间输出调节器,Pbar的解析解 令非异变换T，式（3-82） 对Hamilton矩阵可验证式（3-83） 式（3-84）表示 阵有特征值 式（3-85）表示 阵有特征值 - 阵无复特征值 模态阵M使 阵分块对角化，式（3-87） 有相异特征值时，分块对角化,41,（续）无限时间输出调节器,有重复特征值时，Jordan块从式（3-87） 式（3-92）Pbar=M21(M11)-1 见程序集 Pbar的数值解见程序集 用控制系统工具箱见程序集,42,使用 LQR的系统的稳定裕量,式（3-102)式（3-109），Kalman不等式单输入系统的Kalman不等式式（3-110） 式（3-111） 系统方框图，图3-6 开环传递函数与开环频率特性 图3-7，频率特性 幅度余量无限大 相位余量至少600 以全状态反馈为条件,
