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1、第二节 函数的单调性和极值,一、函数单调性的判别方法 二、函数极值的判别法 三、函数的最大值、最小值的求法,一、函数单调性的判别方法,罗尔定理 拉格郎日定理 函数单调性的判别方法,定理1 罗尔（ Rolle ）定理,满足:,(1) 在区间 a , b 上连续,(2) 在区间 (a , b) 内可导,(3) f ( a ) = f ( b ),使,注意:,1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立.,例如,使,2) 定理条件只是充分的.,本定理可推广为,在 ( a , b ) 内可导, 且,在( a , b ) 内至少存在一点,定理2 拉格朗日中值定理,(1) 在区间 a , b 上连续,满足
2、:,(2) 在区间 ( a , b ) 内可导,至少存在一点,使,思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然 ,在 a , b 上连续 ,在 ( a , b ) 内可导,且,证:,问题转化为证,由罗尔定理知至少存在一点,即定理结论成立 .,证毕,推论1:,若函数,在区间 I 上满足,则,在 I 上必为常数.,推论2：如果函数 在区间(a,b)内可导，且对于(a,b)中任意 有 则在(a,b)内， ， 其中c为常数。,函数单调性的判定法,若,定理 3. 设函数,则 在 I 内单调递增,(递减) .,证: 无妨设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明 在 I 内单调递增
3、.,在开区间 I 内可导,例2. 确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,说明:,单调区间的分界点除导数为零的点外,也可是导数不存在的点.,例如,2) 如果函数在某点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .,例如,确定函数的单调性的一般步骤： 1、确定函数的定义域； 2、求出使函数 并以这些点为分界点，将定义域分成若干 个子区间； 3、确定 在各个子区间的符号，从而判断出 的单调性。,例4. 证明方程,有且仅有一个小于1 的,正实根 .,证: 1) 存在性 .,则,在 0 , 1 连续 ,且,由介值定理知存在,使,即方程有小于 1 的正根,2) 唯一性 .,假
4、设另有,为端点的区间满足罗尔定理条件 ,至少存在一点,但,矛盾,故假设不真!,设,例5. 证明等式,证: 设,由推论可知,(常数),令 x = 0 , 得,又,故所证等式在定义域 上成立.,自证:,经验:,欲证,时,只需证在 I 上,例6. 证明不等式,证法1: 设,中值定理条件,即,因为,故,因此应有,二、函数的极值,定义:,在其中当,时,(1),则称 为 的极大点 ,称 为函数的极大值 ;,(2),则称 为 的极小点 ,称 为函数的极小值 .,极大点与极小点统称为极值点 .,注意:,为极大点,为极小点,不是极值点,2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或不存在的点.,1) 函数的极
5、值是函数的局部性质.,例如,为极大点 ,是极大值,是极小值,为极小点 ,定理 5 (极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,例7. 求函数,的极值 .,解:,1) 求导数,2) 求极值可疑点,令,得,令,得,3) 列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,定理6 (极值第二判别法),二阶导数 , 且,则 在点 取极大值 ;,则 在点 取极小值 .,求函数极值的一般步骤：,确定定义域，并求出所给函数的全部驻点 考察函数的二阶导数在驻点处的符号，确定极值点 求出极值点处的函数值，得到极值,求函数极值的一般步骤：,若函数 定理6失效，应运用定理5，其步骤为： 1、确定定义域并找出所
6、给函数的驻点和导数不存在的点； 2、考察上述点两侧一阶导数的符号，确定极值点； 3、求出极值点处函数值，得到极值。,例8. 求函数,的极值 .,解: 1) 求导数,2) 求驻点,令,得驻点,3) 判别,因,故 为极小值 ;,又,故需用第一判别法判别.,定理7 (判别法的推广),则:,数 , 且,1) 当 为偶数时,是极小点 ;,是极大点 .,2) 当 为奇数时,为极值点 , 且,不是极值点 .,例如 , 例2中,极值的判别法( 定理5 定理7 ) 都是充分的.,说明:,当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 .,例如:,为极大值 ,但不满足定理1, 定理3 的条件.,三、最大值与最小值问题
7、,则其最值只能,在极值点或端点处达到 .,求函数最值的方法:,(1) 求 在 内的极值可疑点,(2) 最大值,最小值,特别:,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 .,(小),对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大 值点或最小值点 .,(小),例11. 求函数,在闭区间,上的最大值和最小值 .,解: 显然,且,故函数在,取最小值 0 ;,( k 为某一常数 ),例13. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20,AC AB ,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条,已知
8、铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 ,为使货,D 点应如何选取?,解: 设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小点 ,故 AD =15 km 时运费最省 .,总运费,物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点 ,问,Km ,公路,例14. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁 ,问矩形截面,的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?,解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为,令,得,从而有,即,由实际意义可知 , 所求最值存在 ,驻点只一个,故所求,结果就是最好的选择 .,用开始移动,例16. 设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上 , 受力 作,解: 克服摩擦的水平分力,正
9、压力,即,令,则问题转化为求,的最大值问题 ., 为多少时才可使力,设摩擦系数,的大小最小?,令,解得,而,因而 F 取最小值 .,解:,即,令,则问题转化为求,的最大值问题 .,清楚(视角 最大) ?,观察者的眼睛1.8 m ,例17. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于,解: 设观察者与墙的距离为 x m ,则,令,得驻点,根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在 ,唯一,驻点又,因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 .,问观察者在距墙多远处看图才最,内容小结,1. 连续函数的极值,(1) 极值可疑点 :,使导数为0 或不存在的点,(2) 第一充分条件,过,由正
10、变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,(3) 第二充分条件,为极大值,为极小值,(4) 判别法的推广,最值点应在极值点和边界点上找 ;,应用题可根据问题的实际意义判别 .,思考与练习,(L. P500 题4),2. 连续函数的最值,1. 设,则在点 a 处( ).,的导数存在 ,取得极大值 ;,取得极小值;,的导数不存在.,B,提示: 利用极限的保号性 .,费马(1601 1665),法国数学家,他是一位律师,数学,只是他的业余爱好.,他兴趣广泛,博,览群书并善于思考,在数学上有许多,重大贡献.,他特别爱好数论,他提出,的费马大定理:,至今尚未得到普遍的证明.,他还是微积分学的先驱 ,费马引
11、理是后人从他研究最大值与最小值的方法中,提炼出来的.,拉格朗日 (1736 1813),法国数学家.,他在方程论, 解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来, 数学中的许多成就都直接或间,接地溯源于他的工作,他是对分析数学,产生全面影响的数学家之一.,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论, 微积,分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远 .,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面 .,一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,2. 设,(A) 不可导 ;,(B) 可导, 且,(C) 取得极大值 ;,(D) 取得极小值 .,D,提示: 利用极限的保号性 .,3. 设,是方程,的一个解,若,且,(A) 取得极大值 ;,(B) 取得极小值 ;,(C) 在某邻域内单调增加 ;,(D) 在某邻域内单调减少 .,提示:,A,
