工力第6章空间力系

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1、,第6章 空间力系与重心,6.1 力在空间直角坐标系的投影6.2 空间汇交力系的合成与平衡6.3 空间力偶理论6.4 力对点的矩矢和力对轴的矩6.5 空间任意力系向一点的简化 主矢和主矩6.6 空间任意力系的平衡方程6.7 空间力系的平衡问题6.6 空间平行力系的中心 物体的重心,6.1 力在空间直角坐标系的投影4.1.1 力在空间直角坐标轴上的投影若已知力F与三个坐标轴x、y、z的夹角分别为、时，则F 在三个坐标轴上的投影分别为,以上投影方法称为直接投影法，或一次投影法。,也可采用二次投影法，如图所示：,反之，当已知力F在 三个坐标轴上的投影时， 可求出力F 的大小和方 向。,6-2 空间汇

2、交力系的合成与平衡若分布在空间的若干个力的作用线汇交于一点，则称该力系为空间汇交力系。 6-2-1 空间汇交力系的合成合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。合力投影定理的数学表达式为：,式中，Rx、Ry、Rz表示合力在各轴上的投影。,已知各力在坐标轴上的投影，则合力的大小和方向可按下式求得,式中，、分别表示合力与x、y、z轴正向的夹角。,6-2-2 空间汇交力系的平衡方程,平衡条件是:力系的合力等于零, 即力系的力多边形自行封闭.,三个独立的平衡方程,例题 1 简易起吊架如图所示.杆AB铰接于墙上,不计自重.绳索AC与AD在同一水平面内.已知起吊重物的重量P=1kN,CE=DE

3、=12cm,AE=24cm, ,求绳索的拉力及杆AB所受的力.,6-3 空间力偶理论,6-3-1 空间力偶的等效条件 力偶矩以矢量表示,空间力偶的等效条件:作用在刚体上的两个力偶,如果其作用面平行且力偶矩相等,则二力偶彼此等效.,2. 力偶矩以矢量表示:,空间力偶对刚体的作用效果由以下三个因素决定: 1) 力偶作用面的方位; 2)力偶矩的大小; 3)力偶在作用面内的转向.,以上三个因素可以用一矢量来表示,即力偶矩矢m. 力偶矩矢的起点可以任意选择或移动.,m,F ,6-3-2 空间力偶系的合成与平衡,空间力偶系可以合成为一合力偶,合力偶矩矢M等于各分力偶矩矢的矢量和:,合力偶矩M的大小为,M的

4、方向用其方向余弦表示为,空间力偶系平衡的充要条件是: 力偶系的合力偶矩矢等于零. 即:,6-4 力对点的矩矢和力对轴的矩,在平面力系作用下，物体只能在平面内绕某点转动；力使物体发生转动状态改变的效果是用力对点之矩度量的。在空间问题中，物体发生的绕某轴转动状态改变的效果，则是用力对轴之矩度量。例如，门绕Z轴的转动。,6-4-1 力对点的矩用矢量表示,一力对点之矩表示成矢量力对点之矩用矢量 表示它的模等于力F的模与对矩心O的力臂d的乘积Fd,即等于力F与点O所组成的三角形OAB的面积的两倍.矩矢 垂直于OAB面.,二力对点之矩的矢积表达式,用矢量 的方位表示力矩作用面的法线方位,该矢量的长度表示力

5、对点的矩的大小,以该矢量的指向按右手螺旋法则表示在力矩面内对点的矩的转向,称矢量 为力F对点O的矩.,规定:矩心为力对点的矩矢量的起点.,三力对点之矩的解析表达式,6-4-2 力对轴之矩,定义：力对轴z之矩Mz(F),等于力在垂直于z轴的xy平面内的分量FXY对轴z与xy平面交点O之矩 称为力对轴之矩.它是代数量.,力对轴的矩的正负号规定如下:按右手螺旋法则，即用右手的四指来表示力绕轴的转向，如果拇指的指向与z轴正向相同，力矩为正，反之为负，如图所示。,由右下图可以直接看出，力对轴之矩,进行坐标轮换，可以得到力对轴，的矩的表达式即 力对三个坐标轴之矩的一组解析表达式为,例题2(08年4月试题)

6、 力F作用在边长为a的正方形侧表面CDEG的对角线EC上,该力在x轴上的投影X及对x轴的矩mx(F)应等于( ),A,B,C,D,E,G,O,F,x,y,z,4.2.3 力对点之矩与力对轴之矩的关系 力矩关系定理:一个力对于点之矩在经 过该点的任一轴上的投 影等于该力对于该 轴的矩.,6-5 空间任意力系向一点的简化 主矢和主矩,一空间任意力系向一点的简化 由力向一点平移的原理：空间中的力F,也可以平移到任一点A同时附加一力偶,该力偶之矩等于力对点A之矩.如图.即力F平移到A点后,得到力F和以力偶矩矢表示的力偶M,M垂直于力偶作用面Abc.,z,z,z,由力向一点平移的原理，可以将整个空间任意

7、力系向指定 点简化，得到一个作用在点的空间汇交力系及 由各附加力偶组成的附加空间力偶系 按照矢量加法,汇交于O点的空间汇交力系合成为一个 力R,是空间力系的主矢;空间力偶系也按力偶矩矢量求 和,合成为一个力偶L0,是空间力系的主矩.,即:空间一般力系向一点简化的结果将得到一个主矢和一个主矩.,二.空间任意力系合成结果,空间任意力系向任一点O简化后,可得出下列几种不同结果： (一)力系平衡 如，又o=0,原力系平衡 (二)力系合成为力偶 如，但 ,则力系向O点简化后,所得的空间共点力系自身平衡,结果原力系等效于一个力偶即主矩 (三)力系有合力,(四)力系简化成力螺旋,它是一种基本力系,不能再加以

8、简化. 如力螺旋中的力矢和力偶矩矢的指向相同，称为 右手力螺旋；反之，如和指向相反，则称之为左 手力螺旋例如钻孔时钻头所受的主动力系,攻丝时丝锥所受的主动力系,空气作用在螺旋桨上的力系都是力螺旋的例子.,R,M,R,M,在最一般情形下,力系向一点O简化的结果是:,而且两者既不相互平行,也不相互垂直.,总之不平衡的空间任意力系的最后合成结果可能有三种情形： ）合力偶（， ）合力（ ，而或垂直于或等于零）力螺旋（ ),例题2 将图中的力系向O点简化，求主矢和主矩。已知：F1=50N，F2=100N，F3=200N。图中长度单位为m。,F1,F2,F3,x,y,z,R0,M0,O,4,3,6,4.3

9、 空间力系的平衡方程及应用(一)空间任意力系平衡的必要和充分条件是:力系中所有各力在任意相互垂直的三个坐标轴的每一个轴上的投影的代数和等于零，以及力系对于这三个坐标轴的矩的代数和分别等于零。,(二)几种特殊空间力系的平衡方程 : 1)空间汇交力系:若将坐标原点选取在汇交点上,因为汇交力系 中各力均与轴相交,对轴之矩为零,显然有,2)空间平行力系:若选取坐标轴y与各力平行,则因为力系中 各力平行于y轴,故,3)平面力偶系:有,6-8 物体的重心 形心 6-8-1 空间平行力系的中心 在地面附近的小范围内,物体上各小块所受的重力组成一种特殊的平行力系,其中每个力在物体中具有确定的作用点.当物体改变

10、方位时,这种平行力系的合力作用线始终通过物体上确定的一点,这个点称为平行力系中心.物体的重心是平行力系中心的一个例子.一.平行力系的中心 如图,在刚体上的A,B两点,分别作用着同向平行力F1,F2,其合力R的作用线平行于原来的两个力,并按内分反比关系在连线AB上截出一个确定的点C.现把F1F2各绕它的作用点按相同方向转过同一角度 ,变成图中虚矢量.新合力的作用线也将转过同一角度,且仍通过点C,合力大小不变.,a,a,a,F1,F2,R,A,C,B,结论:,具有合力的平行力系中各力,当绕其作用点按相同方向任意转过相同的角度时,合力的作用线始终通过所作用刚体(或其扩延部分)上的一个确定点,这个点称

11、为该平行力系的中心. 二.表示式:,F1,R,F4,F3,F2,A1,A2,A3,C,A4,zc,yc,xc,x,z,y,o,a,a,a,a,a,设oxyz固连在刚体上,任一力Fi的作用点Ai的坐标为(xi,yi,zi),这个平行力系中心C的坐标为(xc,yc,zc).把力系中各力连同合力各自绕其作用点按相同方向转到与Z轴平行(虚线).于是合力R的代数值为,应用对轴的合力矩定理,合力R对X轴的矩为,类似对轴y应用合力矩定理,得到xc的表达式.再将力系转到与y轴(或x轴)平行,可求出中心点的坐标zc的表达式,即,6-8-2 重心与形心的坐标公式,重力是一种特殊的平行力系.其特点在于它是连续分布于

12、物体上的各点.在地面附近的小范围内,物体上各小块所受重力可看成是同向平行力系.假如把刚体分割成n个小块,用dv和dG代表其中任一块的体积和重力.dG可以认为作用在dV中某一确定的点Ai上,设其坐标为(xi,yi,zi).则得出这个平行力系中心C的坐标为,6-8-3 匀质物体的重心和形心的坐标公式,许多物体可以看作是匀质的,因物体的每单位体积内的重量是常量.于是,刚体中每一块重量dG都和体积dV成正比,这样重心的位置将只决定于物体的体积和形状.所以求出的重心常称为形心,则求匀质物体的重心问题就转化为求几何形体的形心问题. 一.体积的形心: 把匀质物体每一块重量写成,二薄壳的形心:,厚度可略去不计

13、的薄壳如果是匀质的等厚的,则其小块体积dV正比于对应的表面积dS,而V=tS,于是得到匀质薄壳面积形心坐标公式:,说明:若几何形体具有对称中心,对称轴或对称面,则形心必在对称中心.,三线段的形心:,若物体是匀质等截面细线条,则,6-8-4 确定重心位置的常用方法几种常用的方法：,1.对称法 2.积分法 3.组合法 4.实验法,例题1 求半径为r,顶角是 的园弧的重心.,c,B,A,O,y,x,解:以顶点O为坐标原点,作轴ox平分园弧.因ox轴为对称轴,则园弧的重心C在ox轴上,即yc=0,取园弧上任意微小线段,设微小段上一点的横坐标 ,则园弧重心C的横坐标为:,1.对称法,2.积分法举例:,r

14、,3.组合法: 假定组合物体可以分割成n个简单部分,其中每部分的重量和重心位置都易于求出.那么,把各部分的重力Gi加在它的重心Ci(xi,yi,zi)上,就构成一个平行力系,这个平行力系的中心就是整个组合物体的重心C(xc,yc,zc).由前面公式得到C的坐标为:,对于匀质物体,上式的重量Gi都可以用对应的体积Vi(或面积Si,长度Li)代替,例题2 求图示的匀质金属薄平板的重心,图中长度单位是cm.,210,420,90,120,S1,S2,C1,C3,S3,C2,y,x,(a),C2,S2,S1,C1,C,x,y,O,O,(b),解法一:它可以看成是由S1, S2, S3三部分组成,见图a.用xi,yi代表面积Si的重心坐标,则,解法二:它可以看成是长方形S1 (540X210)割去虚线示三角形 S2面而组成,见图b. ,割去的面积S2看作负值,则可用”负面积法”求重心.先求出各部分面积和重心坐标:,思考题:直径为D的大园盘,比重为 ,在A处挖有一直径为d的园孔.若 ,试确定带孔园盘的重心位置.,A,O,