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1、1“伸邝耕一、调和函数的定义定义如果二元实变函数p(x,)在区域刃内具有二阶连续偏导数,并东满足拉普拉斯方程22a矽曰窖00C7那未称p(x,y)为区域D内的调和函数,四哨调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用.计一一一-团仪-国二、解析函数与调和函数的关系1.两者的关系定理“任何在区域D内解析的函数,它的实部和虚部都是D内的调和函数.证设w=了(z)=x+加为D内的一个解析函数,邹绘|目日目x“8y8y0x2222余皎盛出国E咤骆目县吊园|8xr28y8x“0y5x0y根据解析函数高阶导数定理,x与?具有任意阶的连续偏导“敬,E00y0x0x0)22229仁|技华p|佳理|
2、李6K,0E因此x与y都是调和函数.证毕E|2.共轰调和函数的定义设x(x,)为区域卫内给定的调和函数,我们把使x+办在乙内构成解析函数的调和函数yv(x,7)称为x(x,y)的共转调和函数换句话说|,在D内漪足亢程-一7及z-的两个调和函数中,y称为x的共轭调和函数区域D内的解析函数的虚部为实部的共软调和函数.H-一-仪东-园E|3.偏积分法如果已知一个调和函数z,那未就可以利用柯西一黎曼方程求得它的共轰调和函数w从而构成一个解析函数+vz.这种方法称为偏积分法.例1证明x(x,y)=y7“-3x“y为调和函数,并求其共轭调和函数“(x,9)和由它们构成的解析函z0解因为一=-6,一左二一6
3、0x0xDz57z-一二372一3,一二=607B于是卞+于孙0,故a(x,9)为调和函数a翼ay00国加|月一L2yxganzsn0人l五37+81(x)02v_3团园动|巳目a李r)E一32十(x)=一37十3止2(c为任意常数)敦g8(x)=3x2Qx二+c,p(xy9)万一3珑2+c得一个解析函数w=y-3x2y+i(x3-3加2+c).这个函数可以化为w=f(z)=i(zy+c).课堂练习证明x(x,y)=x*-6x2y-3加*+273为调和函数,并求其共轰调和函数答案(x,)万3x57一6xy“耳十2X7+cc为任意常数)一一-ppppppppppppoppppppprppe睑亥二录、例2已知v(x,y)=e“(ycosy+xsiny)+x+为调和函数,求一解析函数丁(z)=x+动,使一(0)=0.D解Z歹=B翼(ycos卫十王Sin卫十sin了)十工,弋月1一二e“(cos了一卫Sin卫十工C0S卫)十一07Bx8由一=一=e“(cosJ-sin+工cos了+山Dxr0得n=Ie翼(c0s了一了SinJ十一coS)+工Qx-W仁古二e“(xcos了一了Sin了)十工十不(了)C由吴=一,得0x07e“(ycos了十止sin了十sin了)十二e“(xsin了十c08了十Sin)一81(J),故8(J)=一+于是x=e“(xcos一sin9)+止一+c
