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1、第2章 误差的基本性质与处理,本章分别详细阐述随机误差、系统误差、粗大误差三类误差的来源、性质、数据处理的方法以及消除或减小的措施。特别是在随机误差的数据处理中，分别掌握等精度测量和不等精度测量的不同数据处理方法。通过学习本章内容，使读者能够根据不同性质的误差选取正确的数据处理方法并进行合理的数据处理。,教学目标,三大类误差的特征、性质以及减小各类误差对测量精度影响的措施掌握等精度测量的数据处理方法掌握不等精度测量的数据处理方法,重点与难点,当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时，得到一系列不同的测量值（常称为测量列），每个测量值都含有误差，这些误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出现后，
2、不能预测下一个数据的大小和方向。但就误差整体而言，却明显具有某种统计规律。随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因素构成，主要有以下几方面： 测量装置方面的因素 环境方面的因素 人为方面的因素,零部件变形及其不稳定性，信号处理电路的随机噪声等。,温度、湿度、气压的变化，光照强度、电磁场变化等。,瞄准、读数不稳定。,第一节 随机误差,一、随机误差产生的原因,设被测量值的真值为 ，一系列测得值为 ，则测量列的随机误差 可表示为： (2-1)式中,二、正态分布,式中：-标准差（或均方根误差）e-自然对数的底，基值为2.7182。,第一节 随机误差,图2-1为正态分布曲线以及各精度参数在图中的坐
3、标。值为曲线上拐点A的横坐标，值为曲线右半部面积重心B的横坐标，值的纵坐标线则平分曲线右半部面积。,第一节 随机误差,其平均误差为： (2-6)此外由 可解得或然误差为 ：(2-7),由正态分布的分布密度可以推导出： 有 , 可推知分布具有对称性，即绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，这称为误差的对称性； 当=0时有 ，即 ，这称为误差的单峰性； 虽然函数 的存在区间是-,+，但实际上，随机误差只是出现 -k,+k,称为误差的有界性； 随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零： 这称为误差的抵偿性。,服从正态分布的随机误差都具有的四个特征：对称性、单峰性、有界性、抵偿性。,第一节
4、 随机误差,对某量进行一系列等精度测量时，由于存在随机误差，因此其获得的测量值不完全相同，此时应以算术平均值作为最后的测量结果。(一)算术平均值的意义设 为n次测量所得的值，则算术平均值为:(2-8),第一节 随机误差,三、算术平均值,证明:当测量次数无限增加时，算术平均值必然趋近于真值Lo。,第一节 随机误差,一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按 求得随机误差，这时可用算术平均值代替被测量的真值进行计算。此时的随机误差称为残余误差，简称残差： (2-9),任选一个接近所有测得值的数 作为参考值，计算每个测得值 与 的差值：(2-10)为简单数值。,第一节 随机误差,例1 测量某物理量10
5、次，得到结果见表1，求算术平均值。,解：任选参考值 =1879.65，,因此算术平均值,第一节 随机误差,0 +0.05 -0.04 +0.05 -0.07 -0.02 0 +0.01 0 +0.01,（二）算术平均值的计算校核算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和来校核。由,当求得的 为未经凑整的准确数时，则有：(2-11),当实际得到的为经过凑整的非准确数，存在舍入误差，即有： 成立。而,第一节 随机误差,可用来校核算术平均值及其残余误差计算的正确性。,用残余误差代数和校核算术平均值及其残差，其规则为：残差代数和应符合： 当 ，求得的 为非凑整的准确数时， 为零；
6、当 ，求得的 为凑整的非准确数时， 为正，其大小为求 时的余数； 当 ，求得的 为凑整的非准确数时， 为负，其大小为求 时的亏数。,残差代数和绝对值应符合：当n为偶数时， ；当n为奇数时， 。式中的A为实际求得的算术平均值 末位数的一个单位。,第一节 随机误差,0 +0.05 -0.04 +0.05 -0.07 -0.02 0 +0.01 0 +0.01,解： 因n为偶数， A0.01，由表1知故计算结果正确。,例 2 用例1数据对计算结果进行校核。,校核规则: 当n为偶数时，,例3 测量某直径11次，得到结果如表22所示，求算术平均值并进行校核。,+0.003 -0.017 +0.023 -
7、0.007 +0.013 +0.003 -0.007 -0.017 +0.013 -0.007 +0.003,第一节 随机误差,解：算术平均值 为：,取 2000.067 mm,用第一种规则校核，则有：用第二种规则校核，则有：故用两种规则校核皆说明计算结果正确。,第一节 随机误差,（一）测量列中单次测量的标准差 用标准差来作为评定测量列中单次测量不可靠性的评定标准。原因:,四、测量的标准差,第一节 随机误差,如图1所示，值愈小， 减小得 愈快，该测量列相应小的误差就占 优势，测量的可靠性就大，即测量 精度高；值愈大，函数 减小 得越慢，测量精度就低。,或然误差测量列的或然误差，它将整个测量列的
8、n个随机误差分为个数相等的两半。其中一半（n/2个）随机误差的数值落在- +范围内，而另一半随机误差的数值落在- +范围以外,故有平均误差测量列算术平均误差的定义是：该测量列全部随机误差绝对值的算术平均值，用下式表示：由概率积分可以得到与的关系：,目前世界各国大多趋于采用作为评定随机误差的尺度。,第一节 随机误差,五、标准差的几种计算方法 （一）等精度测量列中单次测量标准差的计算 1、贝塞尔(Bessel)公式,（2-13）,（2-14）,第一节 随机误差,(2-15) 若将式(2-14)平方后再相加得： (2-16) 将式(2-15)平方有：当n适当大时，可以认为 趋近于零，并将代入式(2-
9、16)得：(2-17) 由于 ，代入式(2-17)得 ： ，即(2-18),第一节 随机误差,例 用游标卡尺对某一尺寸测量10次，假定已消除系统误差和粗大误差，得到数据表中所示 。求算术平均值及标准差。,第一节 随机误差,2、别捷尔斯法 由贝赛尔公式得：进一步得：则平均误差有：由式(2-6)得：故有： (2-26),第一节 随机误差,例4 用别捷尔斯法求得该表中数据的标准差。,第一节 随机误差,若等精度多次测量测得值 服从正态分布，在其中选取最大值 与最小值 ，则两者之差称为极差： (2-28)根据极差的分布函数，可求出极差的数学期望为 (2-29)因故可得 的无偏估计值，若仍以 表示，则有
10、(2-30)式中 的数值见表2-4。,n,2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20,1.13 1.69 2.06 2.33 2.53 2.70 2.85 2.97 3.08 3.17 3.26 3.34 3.41 3.47 3.53 3.59 3.64 3.69 3.74,第一节 随机误差,3、极差法,例5 用极差法求得例4中数据的标准差。,解：,极差法具有一定精度，一般在n10时均可采用。,第一节 随机误差,4、最大误差法 当测量的真值或满足规定精度的用来代替真值使用的量值（称为实际值或约定值）已知时，能够算出随机误差 ，取其中绝对值最
11、大的一个值 ，当各个独立测量值服从正态分布时，则可求得关系式： (2-31)被测量的真值为未知，按最大残余误差 进行计算： (2-32)式（2-31）和（2-32）中两系数 、 的倒数见表2-5。,最大误差法有广泛用途。当 n10时，最大误差法具有一定精度。,第一节 随机误差,例6 仍用例4的测量数据，按最大误差法求标准差，则有， 而故标准差为,第一节 随机误差,例7 某激光管发出的激光波长经检定为 ，由于某些原因未对次检定波长作误差分析，但后来又用更精确的方法测得激光波长 ，试求原检定波长的标准差。解：因后测得的波长是用更精确的方法，故可认为其测得值为实际波长(或约定真值)，则原检定波长的随
12、机误差 为：,第一节 随机误差,5、四种计算方法的优缺点 贝塞尔公式的计算精度较高，但计算麻烦，需要乘方和开方等，其计算速度难于满足快速自动化测量的需要； 别捷尔斯公式最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科夫天文台，它的计算速度较快，但计算精度较低，计算误差为贝氏公式的1.07倍； 用极差法计算，非常迅速方便，可用来作为校对公式，当n10时可用来计算，此时计算精度高于贝氏公式； 用最大误差法计算更为简捷，容易掌握，当n10以后， 的减小很慢。此外，由于增加测量次数难以保证测量条件的恒定，从而引入新的误差，因此一般情况下取n=10以内较为适宜。,第一节 随机误差,评定算术平均值的精度标准，也可用或然
13、误差R或平均误差T： (2-22)(2-23)引入残余误差：(2-24)(2-25),第一节 随机误差,例7 用游标卡尺对某一尺寸测量10次，假定已消除系统误差和粗大误差，得到数据表中所示 。求算术平均值及其标准差。,第一节 随机误差,六、测量的极限误差 测量的极限误差是极端误差，测量结果（单次测量或测量列的算术平均值）的误差不超过该极端误差的概率为p，并使差值（1-p）可予忽略。 （一）单次测量的极限误差,第一节 随机误差,正态分布曲线和横坐标轴间所包含的面积等于其相应区间确定的概率： 当研究误差落在区间（-,+）之间的概率时，则得： (2-33)设 (2-34),概率积分，由附录1查得,极
14、限误差 ，即 当t3时，对应的概率p99.73。,第一节 随机误差,一般情况下，测量列单次测量的极限误差可表示：,置信系数,（二）算术平均值的极限误差 算术平均值误差 ：当多个测量列的算术平均值误差 为正态分布时，则测量列算术平均值的极限表达式为： (2-37)通常取t3，则 (2-38)但当测量列的测量次数较少时，应按“学生氏”分布或称t分布来计算测量列算术平均值的极限误差，即(2-39),第一节 随机误差,式中的 为置信系数，它由给定的置信概率 和自由度 来确定，具体数值见附录3； 为超出极限误差的概率（称显著度或显著水平），通常取 =0.01或0.02,0.05；n为测量次数； 为n次测量的算术平均值标准差。,
