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1、专题四 规律探索题,命题预测,方法指导,规律探索型问题也是归纳猜想型问题,是指根据已知条件或题干所提供的若干特例,通过观察、类比、归纳,发现问题中的数学对象所具有的规律性的一类问题.规律探索型问题体现了“由特殊到一般”的数学思想方法,规律探索型问题大致可分为数式类规律探索问题、图形类规律探索问题和直角坐标系下的点坐标变化规律类,是中考的热点题型,考查同学们创新能力的重要方式.考查的题型既有选择题、填空题,也有解答题,安徽中考连续6年都有考查,预计这类题仍然是2018年中考的热点.,命题预测,方法指导,解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较,从中发现其变化
2、的规律,并猜想出一般性的结论,然后再给出合理的证明或加以运用. 1.解决这类问题的关键是发现和把握规律.题目中呈现规律一般有三种主要途径: (1)式与数的特征观察. (2)图形的结构观察. (3)通过对简单、特殊情况的观察,再推广到一般情况. 2.规律探究的基本原则: (1)遵循类推原则,项找项的规律,和找和的规律,差找差的规律,积找积的规律. (2)遵循有序原则,从特殊开始,从简单开始,先找3个,发现规律,再验证运用规律.,类型一,类型二,类型一,类型二,类型一 数式的变化规律 例1(2017安徽,19)【阅读理解】 我们知道,1+2+3+n= ,那么12+22+32+n2结果等于多少呢?,
3、在图1所示的三角形数阵中,第1行圆圈中的数为1,即12;第2行两个圆圈中数的和为2+2,即22;第n行n个圆圈中数的和为,类型一,类型二,【规律探究】 将三角形数阵型经过两次旋转可得如图2所示的三角形数阵型,观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n-1行的第1个圆圈中的数分别为n-1,2,n),发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 .由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为: 3(12+22+32+n2)= . 因此12+22+32+n2= .,【解决问题】,类型一,类型二,分析:【规律探究】将同一位置圆圈中的数相加即可,所有圈中的数的和应等于同一位置圆圈中的数的和乘以圆圈个数,
4、据此可得,每个三角形数阵和即为三个三角形数阵和的 ,从而得出答案;【解决问题】运用以上结论,将原式变形为,类型一,类型二,解:【规律探究】 由题意知,每个位置上三个圆圈中数的和均为n-1+2+n=2n+1,由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为: 3(12+22+32+n2),【解决问题】,类型一,类型二,例2(2014安徽,16)观察下列关于自然数的等式: 32-412=5; 52-422=9; 72-432=13; 根据上述规律解决下列问题: (1)完成第四个等式:92-4 2= ; (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并验证其正确性. 分析:通过观察变化的数字与序号
5、的关系, 得出第四个等式:92-442=17; 通过归纳总结可得出第n个等式为(2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1并证明.,类型一,类型二,解:(1)4 17 (2)猜想:(2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1.证明如下: 左边=(2n+1)2-4n2=4n2+4n+1-4n2=4n+1, 右边=2(2n+1)-1=4n+2-1=4n+1. 左边=右边, 故(2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1.,类型一,类型二,类型二 图形的变化规律 例3(2016安徽,18)(1)观察下列图形与等式的关系,并填空:,类型一,类型二,(2)观察下图,根据(1)中结论,计算图中黑球的个数,用含n
6、的代数式填空: 1+3+5+(2n-1)+( )+(2n-1)+5+3+1= .,分析:(1)根据1+3+5+7=16可得出16=42;设第n幅图中球的个数为an,列出部分an的值,根据数据的变化找出变化规律“an-1=1+3+5+(2n-1)=n2”,依此规律即可解决问题; (2)观察(1)可将(2)图中的黑球分三部分,1到n行,第n+1行,n+2行到2n+1行,再结合(1)的规律即可得出结论.,类型一,类型二,解析:(1)1+3+5+7=16=42, 设第n幅图中球的个数为an, 观察,发现规律:a1=1+3=22,a2=1+3+5=32,a3=1+3+5+7=42, 故an-1=1+3+
7、5+(2n-1)=n2. (2)观察图形发现: 图中黑球可分三部分,1到n行,第n+1行,n+2行到2n+1行, 即1+3+5+(2n-1)+2(n+1)-1+(2n-1)+5+3+1=1+3+5+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1)+5+3+1=an-1+(2n+1)+an-1=n2+2n+1+n2=2n2+2n+1. 答案:(1)4 n2 (2)2n+1 2n2+2n+1,类型一,类型二,例4(2012安徽,17)在由mn(mn1)个小正方形组成的矩形网格中,研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f, (1)当m,n互质(m,n除1外无其他公因数)时,观察下列图形并完成下表:,类型一,
8、类型二,猜想:当m,n互质时,在mn的矩形网格中,一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m,n的关系式是 (不需要证明); (2)当m,n不互质时,请画图验证你猜想的关系式是否依然成立. 分析:(1)通过题中所给网格图形,先计算出25,34,对角线所穿过的小正方形个数f,再对照表中数值归纳f与m,n的关系式. (2)根据题意,画出当m,n不互质时,结论不成立的反例即可.,类型一,类型二,解:(1)如表:f=m+n-1 (2)当m,n不互质时,上述结论不成立,如图.,1,2,3,4,5,6,7,8,1.(2017重庆)下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的,其中第个图形中一共有3个菱形,
9、第个图形中一共有7个菱形,第个图形中一共有13个菱形,按此规律排列下去,第个图形中菱形的个数为( C )A.73 B.81 C.91 D.109,1,2,3,4,5,6,7,8,解析: 整个图形可以看作是由两部分组成:上半部分是菱形,下半部分是由菱形组成的一条线段,各自的变化规律我们可以用一个表格来呈现:,由此,不难推断出这组图形中菱形个数的变化规律为:n2+n+1,当n=9时,有n2+n+1=92+9+1=91,第个图形中菱形的个数为91.,1,2,3,4,5,6,7,8,2.(2017浙江温州)我们把1,1,2,3,5,8,13,21这组数称为斐波那契数列.为了进一步研究,依次以这列数为半
10、径作90圆弧P1P2,P2P3,P3P4,得到斐波那契螺旋线,然后顺次连接P1P2,P2P3,P3P4得到螺旋折线(如图),已知点P1(0,1),P2(-1,0),P3(0,-1),则该折线上点P9的坐标为( B )A.(-6,24) B.(-6,25) C.(-5,24) D.(-5,25),解析: 找准图形规律,依次可得P6(-6,-1),P7(2,-9),P8(15,4),P9(-6,25).,1,2,3,4,5,6,7,8,3.(2017湖北武汉)按照一定规律排列的n个数:-2,4,-8,16,-32,64,若最后三个数的和为768,则n为( B ) A.9 B.10 C.11 D.1
11、2,解析: 根据数的规律,第n个数为(-2)n,故有最后三个数的和为(-2)n-2+(-2)n-1+(-2)n=(-2)n-2(1-2+4)=(-2)n-23=768, (-2)n-2=256=(-2)8.n=10.故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,4.(2016湖北黄石)观察下列等式:, 按上述规律,回答以下问题:,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,5.(2017湖南衡阳)正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,按如图的方式放置,点A1,A2,A3,和点C1,C2,C3,分别在直线y=x+1和x轴上,则点B2 018的纵坐标是22 01
12、7 .,解析: 由图知,点B1的坐标为(1,1);点A2的坐标为(1,2);点B2的坐标为(3,2);点A3的坐标为(3,4);点B3的坐标为(7,4);A4的坐标为(7,8),寻找规律知B2 018的纵坐标为22 017,故填22 017.,1,2,3,4,5,6,7,8,6.(2017山东淄博)设ABC的面积为1. 如图1,分别将AC,BC边2等分,D1,E1是其分点,连接AE1,BD1交于点F1,得到四边形CD1F1E1,其面积S1= ; 如图2,分别将AC,BC边3等分,D1,D2,E1,E2是其分点,连接AE2,BD2交于点F2,得到四边形CD2F2E2,其面积S2= ; 如图3,分
13、别将AC,BC边4等分,D1,D2,D3,E1,E2,E3是其分点,连接AE3,BD3交于点F3,得到四边形CD3F3E3,其面积S3= ; 按照这个规律进行下去,若分别将AC,BC边(n+1)等分,得到四边形CDnFnEn,其面积Sn= .,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,律解决下列问题: (1)直接写出第四个等式; (2)猜想第n个等式(用n的代数式表示),并证明你猜想的等式是正确的.,1,2,3,4,5,6,7,8,8.(2017四川内江)观察下列等式:, 按上述规律,回答下列问题: (1)请写出第六个等式:a6= = ; (2)用含n的代数式表示第n个等式:an= = ; (3)a1+a2+a3+a4+a5+a6= (得出最简结果); (4)计算:a1+a2+an.,1,2,3,4,5,6,7,8,
