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1、4.4 守恒量与对称性的关系,在经典力学中，守恒量与对称性有密切关系。,体系具有空间平移不变性（空间均匀性）,动量守恒,体系具有空间转动不变性（空间各向同性）,角动量守恒,体系具有时间平移不变性（时间均匀性）,能量守恒,1. 对称性和守恒量,与（1）比较,概率守恒要求,要求,2. 平移不变性与动量守恒,体系状态的波函数变化,应用到无穷小平移,3、空间旋转不变性与角动量守恒,角动量算符的z分量,量子力学的四个基本原理：,原理3 体系状态的波函数可以用算符的本征函数来展开,原理2 力学量可以用厄米算符来描述,原理1 微观体系的状态可以用波函数完全描述,原理4 体系状态的波函数要满足Schrding
2、er方程。,第五个基本原理-,全同性原理,4.5 全同粒子系统与波函数的交换对称性,1、全同粒子,经典粒子：,有轨迹，可分辨,概念：,在量子力学中，把固有性质如电荷、 质量、磁矩、自旋等内禀属性完全相 同的粒子称为全同粒子。,故全同粒子在本质上是不可分辨的。,因而不能编号，交换任意两粒子不影响体系,性质,用量子力学的的第五个基本原理描述-,全同性原理：,全同粒子体系的状态不因粒子的交换而改变,全同粒子具有的性质：,任何可观测量，特别是Hamiltonian量，对于 任何两个粒子的交换是不变的，即交换对称 性。,例1,He原子中两个电子组成的体系,电子的Hamiltonian表达式可以写为,两电
3、子动能,两电子与核库仑能,两电子相互作用能,显然当两个电子交换时， Hamiltonian不变。设交换 算符为P12，则有,故,?,例2,考虑N个全同粒子组成的多粒子体系， 其量子态用波函数,来描述。其中,若Pij表示第i个粒子与第j个粒子的全部 坐标变换，即,根据全同性原理,但,而,所以,（想一想，为什么？）,全同粒子满足下列关系之一：,（交换对称）,（交换反对称）,结论：,对全同粒子波函数的一个很强的限制，即,全同粒子的波函数对两个粒子的交换要么是 对称的，要么是反对称的。这一点务必记住！,全同粒子的本征态,对于全同粒子,比如对任意全同粒子系的波函数,？,即在此情况下，我们推不出,或,试分
4、析。,事实上，对全同粒子体系来说，所有的Pij 所处的地位应该是相同的。唯一可能的选 择是量子态是所有Pij的共同本征态。,仔细分析表明，这种共同本征态是存在的 -完全对称波函数或完全反对称波函数。,既然所有Pij都是守恒量，所以其对称性不 随时间变化,即全同粒子的统计性质(Bose 或Fermi统计)是不变的。,全同粒子的分类,所有的基本粒子可分为两类：,玻色子和费米子,1）玻色子：,如介子（s=0）、光子（ s=1 ）等。,2）费米子：,波函数对粒子的交换是反对称，遵从Fermi- Dirac统计的粒子。,3）复合粒子：,由基本粒子组成，视其总自旋而定。,奇数个费米子组成的粒子仍为费米子；
5、,由偶数个费米子或玻色子组成的粒子均 为玻色子。,如电子、质子、中子等，s=1/2,如：,质量数 （核子数）,质子数,中子数,核子数为偶数，玻色子,核子数为奇数，费米子,一般粒子的标记：,全同粒子波函数的构造方法,在忽略粒子间相互作用的情况下，完全对 称和反对称波函数可通过单粒子态基矢乘 积形式构造出来；,若有相互作用，则可按无相互作用基矢进 行展开。,2、两个全同粒子组成的体系,简介：,忽略相互作用，Hamiltonian可表为,故,则它们组成的双粒子态,对应的能量都是,-能量交换简并,按照全同粒子波函数的特点,-满足交换对称,但任意两粒子态的乘积不一定满足这种交换 对称，比如,则,与,不满
6、足交换对称。,如何构造对称波函数？,针对不同体系！,波函数的构造,1）对玻色子， 交换对称，分两种情况,a.,归一化波函数可表成,（量子态不同）,其中,b.,（量子态相同）,2）对费米子， 交换反对称，归一化波函数可表成,归一化波函数可表成,所构造的波函数都是交换对称的。,同样，,（不存在）,泡利不相容原理,泡利不相容原理：,在全同费米子体系中，不可能有两个或两个 以上的粒子处于同一个单粒子态中（包括坐 标、自旋量子数完全相同）,统计排斥性,全同性原理对散射体系的影响,设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态，,本征值为,（1）无交换对称性,两粒子的波函数,作变换,以及,上式中,相对坐标,质心坐
7、标,相对动量,质心总动量,（或不考虑交换对称性）,则,波函数,质心运动（不考虑）,相对运动（研究目标）,令其等于,（2）考虑交换反对称波函数,-费米子,是两全同粒子波函数交换反对称时在空间 相对距离的概率分布,（3）考虑交换对称波函数,-玻色子,同理,在空间波函数对称情况下，两个粒子靠近的 概率最大，而在交换反对称的情况下两个粒 子靠近的概率最小。无交换对称时，,1,说明，玻色子统计吸引，费米子统计排斥,说明交换对称性只在两单粒子波函数交叠处 起作用，即此时才明显地体现出交换对称性。,注意：,全同粒子相对距离的概率分布与波函数的交 换对称性密切相关。,是可观测效应，尤其在电子-电子散射及介 子
8、-介子散射中，这种全同性效应可观测到。,3、N个全同费米子体系,波函数的特点：,反对称,(1)先考虑三个全同费米子体系，无相互作用，,设三个粒子处于不同的单粒子态,k1,k2,k3表示量子数集,即波函数可以用单粒子态波函数来进行展开,即不仅仅表示动量，还可能同时表示其它量 子数，如自旋量子数等。,则反对称波函数为,称为反对称算子。,(2)考虑N个全同费米子体系,设N个全同费米子体系处于不同的单粒子态,同样k1,k2, ,kN表示量子数集,称为反对称算子。,对N个粒子，单粒子态有N个。,排列数？,N !个,P表示允许的置换,奇置换,偶置换,上述行列式称为Slater行列式。,为归一化因子。,比如
9、原序1 2 3,则,231123,偶置换（2次）,321123,奇置换（3次）,很明显，所有置换奇偶各半。,-1 奇置换,1 偶置换,p=,4、N个全同玻色子体系,波函数的特点：,对称,由于不受Pauli原理的限制，可以有任意数目的 粒子处于同一状态。,n1个粒子,n2个粒子,P指那些只对处于不同单粒子态上的粒子 进行对换而构成的置换。,这种置换共有,因此归一化对称波函数,比如,特例：,（1）N=2粒子体系，单粒子态有2个,粒子的填充情况有两种,对称波函数有两个（见前面的讨论）,（2）N=3粒子体系单粒子态有3个,对称波函数,这种对称态有1个,111,对称波函数,这种对称态有6个,210,书写方式同,对称波函数,这种对称态有3个,300,书写方式同,全同粒子波函数的这种表达方式比较繁琐， 比较方便的方法是二次量子化和占有数表象,全同粒子状态遵从全同性原理。,全同粒子不可追踪，即不能编号。但为了描 述方便又必须编号，交换对称性这种表达形 式的目的就是使这些编号不起作用。,
