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1、决策理论与方法,课程安排,第一讲 决策理论基础第二讲 统计决策理论,课程安排,第三讲 多目标决策概述第四讲 层次分析法及其新进展,课程安排,第五讲 群决策概论与多目标群决策第六讲 社会选择理论,课程安排,第七讲 DSS概论与决策支持理论第八讲 DSS的结构与进化及研究新进展,第一讲 决策理论基础,主要内容,一 决策理论概述二 主观概率三 效用函数,一、决策理论概述,管理就是决策Herbert A.Simon (美国著名管理学家，1978获得诺贝尔经济学奖),一、决策理论概述,决策：（广义）决策：决策过程（狭义）决策：决策行为,一、决策理论概述,决策理论： 规定性决策理论（Prescriptiv
2、e decision theory） 决策分析描述性决策理论（Descriptive decision theory） 行为决策,一、决策理论概述,决策理论主体内容：,一、决策理论概述,决策理论与其他学科关系决策理论是运筹学的一支，是经济学和管理科学的重要组成部分，还是控制论的延伸。决策理论也是系统科学和系统工程中的重要部分。决策理论是社会科学与自然科学的交叉。,一、决策理论概述,决策问题分类按不同的因素，有不同的分类标准，主要有： 1按容易区分的因素划分 2按涉及面的宽窄划分 3个人事务决策与公务决策 4决策人与决策分析人的角色划分,一、决策理论概述,决策问题描述 以四元组的形式表示决策要素
3、1. 行动集 A2. 自然状态集 （亦可记作S或，下面二中讨论）3. 后果集 C（下面三中讨论）4. 信息集 X,二、主观概率,概率与主观概率Laplace 在1812年给出了概率的定义，Kormogorov在1930年的著作中给出了概率的公理化定义。以上所述的概率是在多次重复试验中，随机事件A发生的可能性的大小的度量。而在实际的决策问题中，自然状态的概率往往无法通过重复试验求得，通常也并不包含等可能的基本事件。由于上述原因，需要有一种能在频率观点不适用、实际上无法进行随机试验时设定概率的方法，这就是主观概率(subjective probability)；与此同时，把前述的概率称为客观概率(
4、objective probability)。,二、主观概率,概率的数学定义,二、主观概率,主客观概率的比较上述定义既适用于客观概率，也完全可用于主观概率，即两者有着完全相同的数学定义。客观概率论者认为：概率是系统的固有的客观性质，是在相同条件下重复试验时频率的极限。主观概率论者认为：概率是观察者而非系统的性质，是观察者对系统处于某状态的信任程度。,二、主观概率,在决策分析中，尚未通过试验收集状态信息时所具有的信息叫先验信息，由先验信息所确定的概率分布叫先验分布（Prior distribution）。设定先验分布是贝叶斯分析（Bayes analysis）的需要。 设定先验分布时的几点假设
5、假设1 连通性(Connectivity)又称可比性(comparability) 假设2 传递性(Transitivity) 假设3 部分小于全体 假设4 若 是离散的事件序列，B是某个固定事件，且对任意 有 ，则 。 假设5 在0，1区间存在均匀分布的随机变量。,二、主观概率,先验分布的设定 离散型和连续型变量 1、离散型随机变量先验分布的设定 对各事件加以比较确定相对似然率 打赌法以上两种方法均只适用于状态数较少的场合。在状态数较多时，可以采用下面介绍的相对似然率法。,二、主观概率,2、连续型随机变量先验分布的设定 直方图法 该法适用于取值是实轴的的某个区间的情况 具体步骤是： 将区间离
6、散化 赋值 变换 这种方法的主要缺点是： 子区间的划分没有标准 确定每个子区间的似然率很不容易 拟合所得的概率密度函数通常尾部误差很大。,二、主观概率, 相对似然率法 该法适用于取值是实轴的的某个区间的情况 具体步骤为 离散化 赋值 为各子区间赋值的方法有两种： a) 选定一个似然率最大的子区间作为基准； b) 给出每二个子区间似然率的比例关系 规范化 区间对分法 适用随机变量是开区间 步骤 求中位数确定上、下四分位点(quartile fractile)由于误差积累，最多确定八分位点(Eighth fractile) 缺点：精度差,二、主观概率, 与给定形式的分布函数相匹配 这是最常用，且常
7、常被滥用的方法 步骤：选择一个与先验信息匹配得最好的函数如均匀分布、二项分布、正态分布、泊松分布、指数分布、柯西分布等。 参数估计 确定先验概率密度函数的参数，比较好的方法是分位点法，由决策人主观地估计先验分布的几个分位点，再选择适当的分布函数形式使所得到的概率密度函数与这些分位点尽可能匹配。,二、主观概率,利用过去的数据设定先验分布 1、有的统计数据 当确为客观概率论意义上的随机变量时，有时会有 的统计数据可有用于设定先验分布。在能够获得过去类似情况下 的值 ，就可用下面几种方法构造先验分布： 通过直方图勾划出先验分布； 选取可能的函数形式作为先验分布，再定参数； 对离散型随机变量，在样本数
8、量足够大时，用频率去近似。,二、主观概率,2、状态不能直接观察,三、效用函数,在定量评价可能的行动的各种后果时，会遇到两个主要问题。一是后果本身是用语言表述，可能没有任何合适的直接测量标度。二是即使有一个明确的标度可以测量后果，按这个标度测得的量也可能并不反映后果对决策人的真正价值。,三、效用函数,先看如下两个例子：例3.1 考虑钱对同一个人的价值。假设一个学生手头紧张，正好有机会挣100元钱，但是所要做的是他相当讨厌的工作。1）如他经济情况差，他会认为100元钱的实际价值足够大，所要做的工作即使是相当讨厌的，他仍会去干；2）如他先有了10000元，要为100元钱去干这份让他讨厌的工作，他就很
9、可能不干了。所以，10100元的价值并不等于10000元的价值加上身无分文时的100元的价值。这就是经济学中的边际价值的递减性。这个例子说明即使是数值量表示的后果，它对决策人的实际价值仍有待确定。,三、效用函数,例3.2 决策人面临图3.1中决策树所示的选择：收入礼品1000元，或是参与一次抽奖：有50%的机会得0元，50%的机会得2500元。,有人选确定性的1000元的收入。抽奖的期望值虽大，风险也大，实际价值还不如保险的1000元。而有人认为礼品不如抽奖，因为抽奖提供了获得2500元的机会。,三、效用函数,由上面两个例子可知：在进行决策分析时，存在如何描述或表达后果对决策人的实际价值，以便
10、反映决策的人心目中各种后果的偏好次序（preference order）的问题。偏好次序是决策人的个性与价值观的反映，它与决策人所处的社会地位、经济地位、文化素养、心理和生理（身体）状态有关。,三、效用函数,在决策理论中，后果对决策人的实际价值，即决策人对后果的偏好次序是用效用(utility)来描述的。效用就是偏好的量化，是数(实值函数)。1738年，Daniel Bernoulli就指出：若一个人面临从给定行动集(风险性展望集)中作选择的决策问题，如果他知道与给定行动有关的将来的自然状态，且这些状态出现的概率已知或可以估计，则他应选择对各种可能后果的偏好的期望值最高的行动。,三、效用函数,
11、效用的定义 1基本概念与符号(1) 严格序“ ” a b(或者记作aPb)的含义是“a优于b”( a is preferred to b )；也就是说，若非外界因素的强迫，决策人只会选择a而不会选择b。(2) 无差异“” ab(或记作aIb)的含义是“a无差异于b” (a is indifference to b)；也就是说，决策人对选择或同样满意。(3) 弱序记作aRb，含义是“a不劣于b”，亦即a优于或者无差异于b。(4) 展望(prospect)展望指决策的可能的前景，即各种后果及后果出现的概率的组合，记作P= 。,三、效用函数,(5) 抽奖与确定当量由机会点和该机会点发出的 n 个机会
12、枝的概率及相应后果构成的图形称为抽奖（lottery），抽奖又称彩票。决策人认为某个确定性后果 与抽奖 无差异，即 ，则称确定性后果 为抽奖 的确定当量（certainty equivalent）。,三、效用函数,2效用的定义根据上述讨论和记号，可以初步给出效用函数的定义如下。定义3.1 在集合P上的实值函数u，若它和P上的优先关系一致，即：若 P ，P1 P2当且仅当u(P1)u(P2) ，则称u为效用函数。把效用函数定义在展望集P上而不是定义在后果集C上，是为了使效用函数能够反映决策人对风险的态度。,三、效用函数,效用存在性公理 (理性行为公理 )公理3.1 连通性 (connectivi
13、ty) 又称可比性（comparability） 公理3.2 传递性 (transitivity) 公理3.3 替代性公理 公理3.4 连续性公理 （偏好的有界性）,三、效用函数,有关效用存在性公理的几个例子： 例3.3 横过马路问题例3.4 注射狂犬疫苗问题（类似例3.3 ） 例3.5 Allais悖论（Allais paradox）,效用的公理化定义,在上述公理系统中，若P上存在实值函数u，使 i. P1 P2, 当且仅当 u(P1) u(P2) ii. u(aP1+(1a)P2 )= au(P1) +(1a)u(P2) iii. 对满足上述条件的u1,u2 必有u1(Pi) =bu2(P
14、i)+c , 其中 b, c R1, b0 则u(P)称为(基数)效用函数 *关于线性：将ii. 推广到一般, 若PiP; 0 , i=1,2,m; =1; 则,基数效用与序数效用,基数：为实数，如1，2，3, 序数：如第一，二，4，3，2，1 基数性效用函数与序数效用函数区别： 1.基数效用定义在展望集P上(考虑后果及其概率分布)，是实数；序数效用定义在后果集C上，不涉及概率，可以是整正数。 2.基数效用反映偏好强度：(正线性变换下唯一)原数列可变换为：b+c, 2b+c, 3b+c, 100b+c；其中 b, c R1，b0. 而序数效用不反映偏好强度，(保序变换下唯一)，原序数列可变换为
15、16,9,4,1；或 8,6,4,2,或10,7,6,1等。,基数效用与序数效用,序数效用的存在性公理： 公理3.1 连通性 在后果C上的优先关系是连通的，即如果 , 则 或者 或者 。 公理3.2 传递性 公理3.3 连续性 对任何确定性后果，它的劣势集 和优势集 都是闭集。 定理3.2 如果在后果C上的优先关系满足上述公理3.1到公理3.3，则在C上存在(序数)效用函数，使： 在保序变换下惟一，即f为严格递增函数时， 仍为序数效用函数。,3.3 效用函数的构造,构造效用函数的方法 1估计效用函数值的方法 概率当量法 确定当量法 增益当量法 损失当量法 从纯理论角度看，这四种方法并没有实质性的区别；但是实验结果表明，使用确定当量法时决策人对最优后果（增益）的保守性和对损失的冒险性都比概率当量法严重(Hershey，1982）；采用增益当量法与损失当量法时产生的误差也比用概率当量法大，因此只要有可能，应该尽可能使用概率当量法。,
