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1、第3章 误差的合成,3.1 误差的相关性及相关系数,3.2 间接测量的误差,3.3 误差的合成,3.4 间接测量的数据处理步骤,把各项误差求总误差的过程称为误差的合成。,误差的合成，须具体考虑以下几个方面：,1、确定误差的性质,2、确定误差的分布规律,3、分项误差的相关性,5、确定被测量与各影响因素之间的函数关系,实际情况非常复杂，误差合成应根据具体情况进行，采取抓主要舍次要的原则，使误差合成的最后结果能够简便而真实地表示出测量结果与精度。,4、误差项的划分及数目,3.1 误差的相关性及相关系数,3.1.1相关的概念,如果一个变量的变化，受另一个变量的影响，且两个变量之间有一定的非函数关联，则
2、称两个变量相关，其间的关联关系为相关关系。,3.1.2相关系数,相关系数是两个随机变量（两分项误差）之间线性相关紧密程度的表征值，用符号来表示。,概率论中，相关系数的定义为：任意两个随机变量x与y的协方差cov(x,y)与两个变量的标准差乘积之比。即,一、相关系数的性质,1、相关系数的绝对值不大于1，即 | | 1。,、随机变量放大或缩小时，其相关系数不变。,其中,的数学期望,为,(1),0,称为正相关，即随机变量x增大，随机变量y也增大,(2),0，,称为负相关，即随机变量x增大，随机变量减小,（3）,1，称完全正相关，即x与y呈正的线性函数关系,（4）,-1 称完全负相关，即x与y呈负的线
3、性函数关系,（5）,0，则两个变量之间不相关。,注意： 不相关和独立是两个不同的概念，若两个随机变量相互独立， 则两个变量必不相关；但是两个变量不相关，并不能说明一定是 相互独立的，可能存在着其它的非线性的相关关系。只有当两个 随机变量都服从正态分布时，不相关和独立才是等价的。,1、判断,（1）两分量之间没有相互依赖关系的影响。,（3）两变量相互有影响，但影响甚微，可忽略。,（2）当一个变量依次增大，引起另一变量无规则的正负交替变化，反之亦然。,该法应用简便，适合于定性分析和测量数据较少的情况。缺点是可信赖程度差，难以求得确切的相关系数。,2、判断,（1）两分量之间近似成正的线性关系或负的线性
4、关系。,（2）当一个变量依次增大，引起另一变量依次增大或减小，反之亦然。,（3）两变量属于同一体系的分量，则完全相关。,二、相关系数的求法,（ 一）直观判断法,（二）测量数据估计法,1、观察法,根据测量数据的残差作图，与标准图形进行比较，求出相关系数的估计值。,观察法只能定性的确定相关系数，不能确定相关系数的具体大小。,2、简单计算法,该方法以各分项误差服从正态分布为前提 ，可以求得比较确切的相关系数。,3、统计计算法,当测量次数n足够大时,这种方法是建立在统计的基础上，适合测量次数较多的情况。,相关系数的获取比较困难，应尽量避开。对于数值小的误差间的相关系数，可用物理直观判断法，对于数值大的
5、，可采用成对观测，进行简单或严格的计算。,（三）实验估算法,例：测量环路正弦交变电位差幅值V、电流幅值I和交流电位差对交流电的相移角 ，测得五组数据见表，用统计公式计算各输入量之间的相关系数。,解：根据式,3.2 间接测量的误差,间接测量的误差是直接测量量及其误差的函数，所以这种误差又称函数误差。其实质是研究误差的传播问题。,3.2.1间接测量系统误差的计算,待测量y与各直接测量值x1,x2，x n 之间有函数关系,求微分,如果各直接测量量定值系统误差为 ，且各系统误差是微小的，则用各 代替上式中相应的 后，即可得到间接测量量的系统误差为,上式中 称为误差的传递系数（或灵敏度系数），对其所对应
6、的误差起到放大或缩小的作用。,例： 用弓高弦长法测圆弧的半径R，如图。已测得弦长S=360 mm，弓高H=30mm，测量中弦长和弓高的定值系统误差为 求圆弧的半径R及系统误差。,又因为,代入数据,对半径R进行修正,解 ：,各量的函数关系式为,根据测量值可得,3.2.2间接测量随机误差的计算,随机误差一般用标准差来评定，因此，研究间接测量的随机误差，也就是研究间接测量量y的标准差与直接测量量x1,x2，xm的标准差之间的关系。根据标准差的定义，对上式平方得,对n个直接测量量进行m次等精度测量，相应的随机误差为 ，yi的随机误差为yi，设直接测量量与待测量之间的函数关系为 ，则,假设待测量随各直接
7、测量量连续变化，且各个误差都很小，将函数展开成泰勒级数，取其一阶项作为近似值，可得：,各方程求和得,用m除上式两边，并根据标准差定义，得,相关系数定义,（i=1，2，m）,则间接测量量的标准差为：,此式为间接测量量标准差的计算公式，通常称为随机误差传递公式。其中 为误差传递系数（或灵敏系数）。,如果各直接测量值的误差相互独立，且测量次数较大，则,上式简化为,或,实际测量中，各直接测量量的误差之间往往是无关的，或人为安排使各量独立测量，所以第二式是常用的计算式。,例：已知线性函数关系 y=a1x1+a2x2+anx n ，试求y的随机误差计算式。,例：已知非等精度测量值的加权平均值为 求：加权平
8、均值 的标准差 。,则,如果测量为等精度，那么p1=p2=p n ，且i=，则,解 ：,解法三：由y=3x知x与y的误差之间满足线性关系，因而, ，则,二、误差分配,待测量的允许误差确定后，根据该允许误差确定各直接测量的允许误差称为误差的分配。是间接测量误差合成的逆问题。,不考虑系统误差的影响，只研究随机误差的情况。设各量的误差相互独立，有,若给定了间接测量量标准差的允许值,即,上式关于Di 或xi的解是不确定的，为求确定解，通常采用下列步骤确定 ：,1、按等作用原则初步分配误差,认为各直接测量量的误差对待测量误差的影响相同，即,2、按现有条件合理调整误差,则,即：,调整原则：根据实现各量所要
9、求精度的难易程度，对精度较低，易于测量的误差项，可适当减小误差的允许值；对难以测量的误差项，可增大其误差的允许值；对其他误差项可先不做调整。,3.检验误差调整的合理性,作用：合理地对测试方法或测试装置进行设计，分析测量技术线路是否合理，比较和评价各种测量方法或测量装置的优缺点，充分发挥现有的技术潜力，降低实验成本。,选择测量仪器：直径：最小刻度为0.02mm的游标卡尺 20mm范围内的极限误差为0.04mm,高：最小最小刻度为0.1mm的游标卡尺 50mm范围内的极限误差为0.150mm,检验：,测量仪器：都选用最小刻度为0.05mm的游标卡尺 50mm范围内的极限误差为0.08mm,再检验：
10、,调整后只需用一把游标卡尺就可以测量直径和高度，并且保证了测量的准确度。,三 、最佳测量方案的确定,标准：一方面要考虑经济性，另一方面要尽量减小测量误差。要在经济、易实现的前提下，充分提高测量精度。,1、选择最佳的测量方法及函数公式,实验仪器在确定的条件下，对某量进行测量，可能有几种精度不同的测量方法和函数计算公式。通过分析和计算，应按照精度最高的方法进行测量，选择合理的函数公式进行计算。,例：用分度值为0.05mm的游标卡尺测量某箱体上两轴的中心矩L，如图所示，试确定最佳测量方案 。,解：测量方法有三种：,测量两轴直径d1,d2 和外尺寸 L1， 则 函数式为：,测量两轴直径d1,d2 和内
11、尺寸 L2， 则函数式为,测量外尺寸L1和内尺寸 L2 ，则 函数式为：,若已知测量的标准差分别为：,3种方法的函数标准差分别为：,【方法一】,【方法三】,【方法二】,测量时应选择误差小，直接测量量数目较少、函数式较简单的测量方法。,2、确定最有利的测量条件,最有利测量条件：是指按该条件测量时，使待测量的误差最小。选择最有利的测量条件时应设法使各个分项误差的传递系数 为零或达到最小，从而减小系统误差。,例： 现有一球形储油罐，内径为R，用测量液面高度H的办法求储油量VH，如图所示。试问液面在什么位置时，测量储油量VH的误差最小？,解：,储油量与液面的关系式为,液面高度H的误差传递系数,按照最有
12、利条件要求 ，令,则,从而,结果说明容器装满油或空时，测量储油量VH误差最小。然而，容器空时无实际意义，装满时对减小测量误差和充分利用设备都是有利的。 但实际使用时，不宜装满，要留出 温度升高液体膨胀的空间。,因此：,假设采用同一尺子进行测量，因此L1和L2的标准差相等，即：,因此要使上式取最小值，系数需最小，,令,，将,代入上式得：,得：,解 ：,相对误差为,例： 电工实验中，常用 测量金属导线的电阻率。其中 分别为电阻率、长度、直径和电阻。试问 如何取值对测量有利？哪一项应测得更准？,若 ，则d对电阻率误差影响最大，因此直径d应测得更准些。,当测量条件 一定时，欲减小 ，应选择长而粗，阻值
13、大的导线来测量。,四、微小误差取舍准则,已知待测量y的标准差,若部分误差 Dk 与其他部分误差 Di 相比很小，与 y 相比可以忽略 。则忽略后y的标准差为,根据微小误差定义，若Dk 为微小误差，则,对一般精度的测量，误差的有效数字取一位。这时上式成立的条件为：,对于精度比较高的测量，误差的有效数字可取二位，这时,取舍准则为：对于随机误差或者未定系统误差，被舍去的误差应小于总误差的1/31/10，对于已定系统误差，则可以忽略。,多项微小误差同时存在，如 Dk ,Dk+1 ,Dk+2 皆为微小误差，即,或,可以将这些部分误差一起舍去，不须逐个舍弃。,另外，微小误差除了简化计算外，在选用校验仪表的
14、标准仪表时，也有重要用途。,3.3 误差的合成,3.3.1随机误差的合成,一、按标准差合成,总标准差,一般情况各误差互不相关，相关系数 ，则,用标准差进行合成时简单方便，且不考虑各分项随机误差的概率分布如何。,各分项随机误差的标准差 极限误差 误差传递系数,直接测量,间接测量,二、按极限误差合成,总极限误差,若各分项随机误差取同一置信概率,各分项随机误差的置信概率不相同,转换后总标准差,总极限误差,若各分项随机误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，且互不相关，则,上式简便，且具有一定的实际意义，是较为广泛使用的极限误差合成公式，但应该注意应用的条件。,3.3.2系统误差的合成,一、已定系统误
15、差的合成,设测量过程中已定系统误差为 , 相应的误差传递系数为a1 ,a2,an。总的已定系统误差可按代数和法合成,直接测量a1 =a2=,=an=1，因此,间接测量 ，因此,总未定系统误差极限误差,其中,当各分项未定系统误差互不相关时，有,当各分项均服从均匀分布时,当各分项误差均服从正态分布时,例：在立式光学计上，用3等量块为基准，检定L0=20mm的量规。已知3等量块长度的实际偏差为+0.22m，检定误差e=0.15m。在恒温条件下测量10次，得到数据如表所示。 试对检定数据进行处理，并写出检定结果。,解：,由于,回顾等精度直接测量列的数据处理步骤,4.判断有无系统误差，并尽量减小其影响,5.判断粗大误差，检验数据的合理性,6. 算术平均值的标准差,7.算术平均值的极限误差,1.求算术平均值,2.求残差,3. 测量列（单次）测量的标准差,8.测量结果,或,3.4间接测量的数据处理步骤,残差观察法残差观察法,设间接测量量y与各直接测量量x1,x2,，xn之间有函数关系式 y=f(x1,x2,，x n),间接测量量数据处理步骤为：,1、直接测量量按直接测量数据处理步骤进行处理。已定系统误差已经消除的结果为,2、间接测量量y的平均值,式中 不包含已定系统误差，或已被消除。,间接测量的数据处理步骤,3、求间接测量量y的合成误差,假设各误差项之间相互独立，则,
