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1、第一章 概率论的基本概念,上节课内容复习：,概率的定义及性质：,第一章 概率论的基本概念,性质 9,第一章 概率论的基本概念,实际推断原理：小概率事件在一次试验中几乎是不发生的。,3 条 件 概 率,一 条 件 概 率 二 乘 法 定 理 三 全概率公式和贝叶斯公式,目 录 索 引,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,一、条 件 概 率,条件概率是概率论中一个重要而实用的概念。 它所考虑的是事件 B 已经发生的条件下事件 A 发生的概率。,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,设A、B是某随机试验中的两个事件，且,则称事件A在“事件B已发生”这一附加条件下的 概率为在事件B已发生的条件下事件
2、A的条件概率， 简称为A在B之下的条件概率，记为,1）条件概率的定义：,例 1 两台车床加工同一种零件共100个，结果如下 合格品数 次品数 总计 第一台车床加工数 30 5 35 第二台车床加工数 50 15 65 总 计 80 20 100,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,设A= 从100个零件中任取一个是合格品 B=从100个零件中任取一个是第一台车床加工的 ,解：,注：由例1可以看出，事件A在“事件B已发生” 这附 加条件的概率与不附加这个条件的概率是不同的,第一章 概率论的基本概念,但有,称为在事件B已发生的条件下事件A的条件概率， 简称为A在B之下的条件概率。,设A、B是某随
3、机试验中的两个事件，且,则,因此，有下面的定义：,2）条件概率的性质：,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,因此条件概率也是概率，它也具备概率的其它性质。,例 2 已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女 孩，求该家庭至少有一个男孩的概率,而,所求概率为,解：设 B= 3个小孩至少有一个女孩 A= 3个小孩至少有一个男孩 ,第一章 概率论的基本概念,二、乘法公式,由条件概率的定义,我们得,这就是两个事件的乘法公式,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,1）两个事件的乘法公式：,2）多个事件的乘法公式,则有,这就是n个事件的乘法公式,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,例3 袋中有一个白球与一
4、个黑球，现每次从中取 出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进 一个白球，直至取出黑球为止求取了n 次都未 取出黑球的概率 解,则,由乘法公式，我们有,第一章 概率论的基本概念,例 4 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时 打破的概率为 1/2 ，若第一次落下未打破，第二 次落下打破的概率为 7/10 ,若前两次落下未打破， 第三次落下打破的概率为 9/10 。求透镜落下三次 而未打破的概率。 解：以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件“透镜第 i 次落下打 破”，以 B 表示事件“透镜落下三次而未打破”， 有,第一章 概率论的基本概念,三、全概率公式和贝叶斯公式,第一章 概率论的基本
5、概念,3条件概率,1）全 概 率 公 式：,设随机事件,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,全概率公式的证明：,由条件：,得,而且由,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,全概率公式的证明（续）,所以由概率的可加性，得,得,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,全概率公式的使用：,我们把事件B 看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,则我们可用全概率公式计算结果发生的概率,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,例5 某小组有20名射手，其中一、二、三、四 级射手分别为2、6、9、3名又若选一、二、 三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中
6、目标 的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机 选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目 标的概率 解：,由全概率公式，有,第一章 概率论的基本概念,2）贝叶斯（Bayes）公式,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,设随机事件,则有：,Bayes公式的使用,我们把事件B 看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用Bayes公式,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,说明：全概率公式， Bayes公式中 可以是,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,例 6
7、 （艾滋病普查） 有一种血液试验能检验出身体中艾滋病病毒的某种抗体的存在性. 可能会有两种误诊. 首先，它可能对某些真有艾滋病的人作出没有艾滋病的诊断，这就是假阴性. 其次，它也可能对某些没有艾滋病的人误诊为患有艾滋病，这就是所谓的假阳性.,假设该血液试验的灵敏度（即真有病的人的试验结果呈阳性的概率）为95%，因此，5%的患有艾滋病的人的血液试验结果将是假阴性.,美国是艾滋病较为流行的国家之一，保守估计大约每1000人中就有一人受这种病的折磨.为了有效控制和减缓艾滋病的传播速度，几年前，美国有人就提议应在申请结婚登记的新婚夫妇中进行艾滋病病毒的血液试验，该项普查计划一经提,而接受血液试验的不带
8、艾滋病病毒的人中99%的试验结果为阴性，这意味着血液试验结果为假阳性的概率为1%.,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,设 A= 被检人带有艾滋病病毒 ， D= 试验结果呈阳性,后，就遭到了许多专家学者的反对，他们认为这是一项既费钱又费力，同时收效不大的计划，最终，此项计划未被通过.那么，到底专家的意见对不对？该普查计划该不该被执行呢？,假如该计划得以实施，而你又做了血液试验，并且试验结果是阳性的，那么你真正得了艾滋病的可能性有多大呢？,由已知，得,所以，由Bayes公式，得,例 6（续）,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,例 6（续）,即使提高了试验的精度，降低了假阴性何假阳性出现的概
9、率,则,但对高危人群，即假如,则,所以说在新婚夫妇中实行普查的意义不大，但在高危人群中进行普查是很有效的.,例 7 袋中有10个黑球，5个白球现掷一枚均匀的 骰子，掷出几点就从袋中取出几个球若已知取 出的球全是白球，求掷出3点的概率 解：,则由Bayes公式，得,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,设B= 取出的球全是白球 ,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,说明：乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式非常重要，在运用时关键是找到样本空间的划分。,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,A,B,C,思考题： 在一著名的电视节目里，台上有三扇门，记为A，B，C，其中只有一扇门后有大奖。,请你猜哪扇门后有大奖，如果猜中，你将得到该大奖。,若你选择了A，在门A被打开之前，主持人打开 了另外两扇门中的一扇，比如是B，发现门后什么都 没有。 问你是否改变决定（从A门到C门）？,(答案：选A有大奖的概率为1/3，选C有大奖的概率为2/3),注：这里意味着主持人知道哪扇门后面有大奖。,
