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1、,例2-2：RLC电路：研究在输入电压ur(t)作用下，电容上电压uc(t)的变化。,首先确定：输入ur(t)，输出uc(t),依据：电学中的基尔霍夫定律,将上式代入（1）消去中间变量i(t)得：,（两边求导）,这两个式子很相似，故可用电子线路来模拟机械平移系统（相似原理）这也证明了我们前面讲到的：看似完全不同的系统，具有相同的运动规律，可用相同的数学模型来描述。,整理成规范形式,总结：几个重要的拉氏变换,3. 拉氏变换的基本性质（定理）,线性定理 微分定理 积分定理 终值定理 初值定理 衰减定理 延迟定理,例1 ：,例2.,部分分式展开式,例3：求解微分方程,例：,例：,例:已知单位反馈系统
2、的开环传递函数为设系统的输入量为单位阶跃函数，试计算放大器增益KA=200时，系统输出响应的动态性能指标。当KA增大到1500时或减小到KA =13.5，这时系统的动态性能指标如何?,解:系统的闭环传递函数为:,则根据欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算公式，可以求得:,由此可见，KA越大， 越小，n越大，tp越小，Mp%越大，而调节时间ts无多大变化。系统工作在过阻尼状态，峰值时间，超调量和振荡次数不存在，而调节时间可将二阶系统近似为大时间常数T的一阶系统来估计，即:,为大时间常数T的一阶系统来估计,即:调节时间比前两种KA大得多，虽然响应无超调，但过渡过程缓慢。,例:某控制系统的结构图为试分别
3、求出H(s)=1和H(s)=0.5时系统的稳态误差。,解:当H(s)=1时，系统的开环传递函数为当H(s)=0.5时，,若上例在H(s)=1时，系统的允许误差为0.2，问开环增益K应等于多少?当 时，上例的稳态误差又是多少?因为0型系统在速度输入和加速度输入下的稳态误差为无穷大，根据叠加原理，ess=,0.1,0.2,1,2,10,20,100,0dB,20dB,40dB,-20dB,-40dB,L(),0.1,0.2,1,2,10,20,100,L(),0dB,20dB,40dB,-20dB,-40dB,0.1,0.2,1,2,10,20,100,L(),0dB,20dB,40dB,-20d
4、B,-40dB,0.1,0.2,1,2,10,20,100,L(),0dB,20dB,40dB,-20dB,-40dB,0.1,0.2,1,2,10,20,100,(),-90,-180,-270,90,时域指标与频域指标的对应关系,小 结,频率响应法的基本思路：引入校正装置，改变开环频率特性曲线的形状，使校正后系统具有满意的性能。,【例】某最小相位系统其近似对数幅频曲线如下图所示，试写出该系统的传递函数。,【解】：由于在图中最左端直线的斜率是20dB/dec，故系统包含一个积分环节。,L(),15,20dB/dec,1,2,7,0,dB,40dB/dec,20dB/dec,【结论】：闭环系统
5、不稳定，有两个正实部的根。,【结论】：系统不稳定，并有两个正实部根。,【结论】：系统临界稳定。,Nyquist稳定判据（=0）,反馈控制系统在s右半平面的闭环极点个数Z=P-2N，式中，P为s右半平面开环极点数，N为开环Nyquist曲线逆时针包围(-1 ,j0) 点的圈数，且有N=N+N- 其中N+为：正穿越与半次正穿越次数的和。 其中N-为：负穿越与半次负穿越次数的和。 数学依据：幅角原理 特点：由开环特性判断系统的闭环稳定性。,正穿越和半次正穿越,正穿越：随着的增大，开环Nyquist曲线逆时针穿越实轴区间(- , -1) 。 半次正穿越：逆时针方向离开（或中止于）实轴区间(- , -1
6、) 。,正穿越,(-1,j0),半次正穿越,负穿越和半次负穿越,负穿越：随着的增大，开环Nyquist曲线顺时针穿越实轴区间(- , -1) 。 半次负穿越：顺时针方向离开或中止于实轴区间(- , -1) 。,(-1,j0),负穿越,(-1,j0),半次负穿越,补充,若开环传递函数有积分环节，开环Nyquist 曲线在=0时，幅值无穷大，而相角为 。判断稳定性要求=0开始逆时针补半径为无穷大，角度为 的虚线圆弧。 在计算正、负穿越次数时，应将补上的虚线圆弧作为Nyquist 曲线的一部分。,(-1,j0),负穿越,(-1,j0),半次负穿越,例,(-1,j0),闭环系统稳定,(10,j0),例
7、,闭环系统不稳定，有两个右半平面根,例,闭环系统不稳定，有两个右半平面根,例,闭环系统不稳定，有一个右半平面根,Nyquist稳定判据（=-）,反馈控制系统在s右半平面的闭环极点个数Z=P-2N，式中，P为s右半平面开环极点数，N为开环Nyquist曲线（=0）逆时针包围(-1 ,j0) 点的圈数。反馈控制系统在s右半平面的闭环极点个数Z=P-N，式中，P为s右半平面开环极点数，N为开环Nyquist曲线（=-）逆时针包围(-1 ,j0) 点的圈数。,5.4.1 Nyquist图与Bode图的对应关系,Nyquist图：单位圆 Bode图：0dB线(横轴)；|G(j)H(j)|=1，20lg
8、|G(j)H(j)|=0 Nyquist图：负实轴 Bode图：-180线；G(j)H(j)= -180 Nyquist曲线与单位圆交点的频率： Bode图对数幅频曲线与横轴交点的频率，称为“幅值穿越频率”（也叫“剪切频率”）。记作：C Nyquist曲线与负实轴交点的频率： Bode图对数相频曲线与-180线交点的频率，称为“相位穿越频率”。记作：g,截止频率C与相位穿越频率g,L(),-180,0,5.4.2 Bode稳定判据,反馈控制系统在s右半平面的闭环极点个数Z=P-2N，式中，P为s右半平面开环极点数，N为开环对数幅频特性在L()0的所有频率范围内，对数相频曲线穿越-180线的次数
9、和，且有N=N+N- 其中N+为：正穿越与半次正穿越次数的和。 其中N-为：负穿越与半次负穿越次数的和。,同样，是一种用开环特性判断闭环稳定性的方法。,正穿越和半次正穿越,正穿越：对数相频特性由下而上穿越-180线。 负穿越：对数相频特性由上而下穿越-180线。 半次正穿越：自-180线开始向上。 半次负穿越：自-180线开始向下。,半次正穿越,-180,0,-180,0,半次负穿越,补充,若开环传递函数有积分环节，在对数相频曲线=0+处由下向上补画一条虚线，该曲线通过的相角为：,0.1,0.2,1,2,10,20,100,0dB,20dB,40dB,-20dB,dB,0,L(),180,90,0.1,0.2,1,2,10,20,100,0dB,20dB,40dB,-20dB,dB,0,L(),180,90,（）,例,例,例,续,
