《信号系统第二章连续时间系统的时域分析（1）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《信号系统第二章连续时间系统的时域分析（1）（61页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 连续时间系统的时域分析,引言 微分方程式的建立与求解 起始点的跳变-从0到0+状态的转换 零输入响应和零状态响应,2.1 引言,时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。,本章中我们主要讨论输入、输出描述法。,系统数学模型的时域表示,系统分析过程,经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与(t)有关的问题有待进一步解决 h(t)；,卷积积分法: 任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。(新方法),本章主要内容,线性系统完全响应的求解； 冲激响应h(t)的求解； 卷积的图解说明； 卷积的性质； 零状态响应
2、： 。,2.2 微分方程式的建立与求解,物理系统的模型 微分方程的列写 n 阶线性时不变系统的描述 求解系统微分方程的经典法,复习求解系统微分方程的经典法,一物理系统的模型,许多实际系统可以用线性系统来模拟。若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述。,二微分方程的列写,根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。,元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。,网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, K
3、CL，KVL。,电感,电阻,电容,根据KCL,代入上面元件伏安关系，并化简有,这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。,例：求并联电路的端电压 与激励 间的关系。,R,L,C,a,b,+,-,(,),t,v,is(t),牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦系数为 ，外加牵引力为 ，其外加牵引力 与刚体运动速度 间的关系可以推导出为,m,例：机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧,三n 阶线性时不变系统的描述,一个线性系统，其激励信号 与响应信号 之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述,若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。,阶次：方程的
4、阶次由独立的动态元件的个数决定。,四求解系统微分方程的经典法,分析系统的方法：列写方程，求解方程。,求解方程时域经典法就是：齐次解+特解。,齐次解：由特征方程求出特征根写出齐次解形式,注意重根情况处理方法。,特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式代入原方程，比较系数定出特解。,经典法,全 解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解 。,自由响应：由系统自身特性决定的响应。 强迫响应：由激励信号决定的响应。,固有频率：特征方程的根,几种典型激励函数相应的特解,激励函数e(t),响应函数r(t)的特解,系统的特征方程为,特征根,因而对应的齐次解为,的齐次解。,例：求微分方程,如
5、果已知： 分别求两种情况下此方程的特解。,例：给定微分方程式,将此式代入方程得到,为使等式两端,平衡，试选特解函数式,等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有,联解得到,所以，特解为,这里，B是待定系数。代入方程后有：,(2),我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应为 时的方程的解，初始条件,初始条件的确定是此课程要解决的问题。,2.3 起始点的跳变-从0到0+状态的转换,起始状态 初始状态 冲激函数匹配法确定初始条件,一起始点的跳变,响应区间：激励信号加入之后系统状态变化区间 一般在t=0时刻加入，响应区间为,对于一个具体的电网络，系统的 状态就是系统中储能元件的储能情况;,当系统用
6、微分方程表示时，系统从 到 状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 及其各阶导数项。,说明,一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：,但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫 作用于电感， 到 状态就会发生跳变。,例：,根据电路形式，列回路方程,列结点电流方程,(1),（1）列写电路的微分方程,(2)求系统的完全响应,系统的特征方程,特征根,齐次解,代入式(1),方程右端自由项为,要求系统的完全响应为,特解,(3),换路前,因而有,由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变,(4),求得,要求的完全响应为,配平的原理：t =0
7、 时刻微分方程左右两端的(t)及各阶导数应该平衡(其他项也应该平衡，我们讨论初始条件，可以不管其他项）,例：,二.冲激函数匹配法确定初始条件,在 中 时刻有,中的,表示 到 的相对跳变函数，所以，,数学描述,设,则,代入方程,得出,所以得,即,即,例,（1）将e(t)代入微分方程，t=0得,(,),(,),(,),(,),。,的微分方程为,+,+,-,-,=,=,0,d,d,0,0,0,d,d,5,4,0,),(,r,t,r,r,t,r,t,e,(2),方程右端的冲激函数项最高阶次是 ，因而有,代入微分方程,求得,因而有,解微分方程的流程图,将元件电压电流关系、基尔霍夫定律用于给定电系统,列写
8、微分方程,将联立微分方程化为一元高阶微分方程,齐次解Aea t(系数A待定）,特解查表,完全解=齐次解+特解(A待定）,给定系统0-状态,求出对应0+状态,已定系数A的完全解系统的完全响应,2.4 零输入响应和零状态响应,零输入响应 零状态响应 对系统线性的进一步认识,一零输入响应与零状态响应,例：已知电容两端起始电压vc(0-) 激励源为e(t),求t0时系统响应vc(t),e(t),vc(0-),-,R,+,+,-,+,-,vc(t),微分方程为,+,系统的完全响应可以看作由外加激励源和起始状态共同作用的结果。,系统的完全响应 = 零状态响应 + 零输入响应,线性系统具有叠加性,没有外加激
9、励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。,一般情况，设系统是线性时不变的,零输入响应rzi(t)：,零状态响应rzs(t)：,不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。,把t0电路看作起始状态，分别求t 0时的零输入响应和零状态响应。,1、零输入响应,t 0电路：,满足微分方程：,t 0零输入等效电路：,作出t = 0+时刻的等效电路,求得：,零输入响应的形式：,将,代入求出常数,要求的零输入响应：,2. 零状态响应,等效电路：,微分方程：,由前面例子求得,把e ( t )=4 u( t )代入方程右端得自由项,利用冲激函数匹配法：,代
10、入原方程：,求得,完全响应,二系统响应划分,响应= 暂态响应+稳态响应(Transient+Steady-state),也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。对应于齐次解。,形式取决于外加激励。对应于特解。,是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间t 增加，它将消失。,由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。,没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。,不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。,(1)自由响应：,(2)暂态响应：,稳态响应：,强迫响应：,(3)零输入响应：,零状态
11、响应：,各种系统响应定义,系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系统状态值 决定的初始值求出待定系数。,系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由状态值 为零决定的初始值求出待定系数。,求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出卷积积分法。,系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的卷积，即,零输入响应,微分方程,零状态响应,三对系统的线性和时不变性的进一步认识,H,r(t)= He(t)+ Hx(0-),若 xi(0-) =0 系统是线性和时不变的,若 xi(0-) 0 系统是非线性和时变的，且非因果,常系数线性微分方程描述的系统只有在起始状态为零的条件下，系统才是线性时不变，且是因果的。,e(t),x(0-),常系数线性微分方程描述的系统的线性加以扩展：(1)响应可分解性：零输入响应零状态响应。(2)零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响 应对于各激励信号呈线性。(3)零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性。,例：,解得,
