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1、选修44 坐标系与参数方程,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,自测点评,1.极坐标系(1)极坐标系的建立:在平面上取一个定点O,叫做 ,从O点引一条射线Ox,叫做 ,再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就确定了一个极坐标系. 设M是平面内一点,极点O与点M的距离OM叫做点M的 ,记为,以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对(,)叫做点M的极坐标,记作M(,).,极点,极轴,极径,-3-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,自测点评,(2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作
2、为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(,),则它们之间的关系为x= ,y= .另一种关系为2= ,tan = (x0).,cos ,sin ,x2+y2,-4-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,2.直线的极坐标方程 (1)直线过极点:=0和=-0; (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:cos =a; (3)直线过点M 且平行于极轴:sin =b; (4)若直线过点M(0,0),且极轴到此直线的角为,则它的方程为sin(-)=0sin(0-).,-5-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,3.圆的极
3、坐标方程 (1)圆心位于极点,半径为r:= ; (2)圆心位于M(a,0),半径为a:= ;,r,2acos ,2asin ,-6-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,4.曲线的参数方程 在平面直角坐标系xOy中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变量t的函数 并且对于t的每一个允许值,上式所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,则称上式为该曲线的 ,其中变量t称为 .,参数方程,参数,-7-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,x0+tcos ,y0+tsin ,a+rcos ,b+rsin ,acos ,bsin ,2pt2,2pt,2,-8-,知识梳理,双
4、基自测,3,4,1,5,自测点评,答案,-9-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,答案,解析,-10-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,答案,解析,-11-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,答案,解析,-12-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,答案,解析,-13-,知识梳理,双基自测,自测点评,1.在极坐标系下,点的极坐标不是唯一的,极坐标(,),(,+2k)等表示同一点的坐标.因此曲线上点的极坐标不一定适合曲线的极坐标方程. 2.判断曲线的极坐标方程或曲线的参数方程表示什么曲线时,一般先化为直角坐标方程或普通方程再判断.
5、3.在极坐标系中判断两曲线的位置关系,或者求两曲线的交点,都是先把曲线方程化为直角坐标方程或普通方程后再进行判断或求解.,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考向一 直角坐标方程化为极坐标方程 例1在平面直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1,C2的极坐标方程; (2)若直线C3的极坐标方程为 (R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积. 思考如何进行直角坐标与极坐标的互化?,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4
6、,考点5,考向二 极坐标方程化为直角坐标方程 例2在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为 以极点O为直角坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系. (1)求曲线C的直角坐标方程; (2)设曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B,P是曲线C上一点,求ABP面积的最大值. 思考如何把极坐标方程化为直角坐标方程?,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,解题心得1.直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式x=cos 及y=sin 直接代入化简即可. 2.极坐标方程化为直角坐标方程要通过变
7、形,构造形如cos ,sin ,2的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,对点训练1(1)在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x-3)2+y2=9,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的圆心的极坐标为 ,半径为1. 求圆C1的极坐标方程; 设圆C1与圆C2交于A,B两点,求|AB|.,(2)在极坐标系下,已知圆O:=cos +sin 和直线l:以极点为直角坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系. 求圆O和直线l的直角坐标方程; 当(0,)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐
8、标.,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,(1)写出C的普通方程; (2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:(cos +sin )- =0,M为l3与C的交点,求M的极径. 思考参数方程与普通方程的互化的基本方法是什么?,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,解题心得1.参数方程化为普通方程的基本方法就是消参法,常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等.对于与角有关的参数方程,经常用到
9、公式sin2+cos2=1;在将曲线的参数方程化为普通方程时,还要注意其中的x,y的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性. 2.直线、圆、圆锥曲线的普通方程有其较为固定的参数方程,只需套用公式即可.,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,例4(2017全国,文22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos =4. (1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|=16,求点P的轨
10、迹C2的直角坐标方程; (2)设点A的极坐标为 ,点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值. 思考在极坐标系中,如何求两点之间的距离?,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,解题心得1.在极坐标系中求两点间的距离,可以结合极坐标系刻画点的位置、图形中点的对称等均可求得两点间的距离;也可以利用点的极坐标与直角坐标的互化公式,将点的极坐标转化为直角坐标,利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求A,B两点间的距离. 2.在极坐标系中,经过极点的直线上两点A(1,),B(2,)的距离|AB|=|2-1|.,-31-,考点1,考点2,考点3,考点
11、4,考点5,对点训练3在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;,-32-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-33-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-34-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-35-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-36-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,解题心得求直线与圆锥曲线相交所得的弦长,可以利用直线参数方程中t的几何意义,即弦长=|t1-t2|.,-37-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,对点训练4已知直线l在直角坐标系xOy
12、中的参数方程为(t为参数,为倾斜角),在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标中,曲线C的极坐标方程为=4cos . (1)写出曲线C的直角坐标方程; (2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M,N,设P(4,2),求|PM|+|PN|的取值范围.,-38-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-39-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-40-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-41-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-42-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-43-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,解题心得求解参数方程与极坐标方程综合问题的一般
13、思路:分别转化为普通方程和直角坐标方程后求解.转化后可使问题变得更加直观,它体现了化归思想的具体运用.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程.,-44-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-45-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-46-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化思路:对于简单的我们可以直接代入公式cos =x,sin =y,2=x2+y2,但有时需要作适当的变化,如将式子的两边同时平方,两边同时乘以等. 2.要判断极坐标系中曲线的形状,可以先将方程化为直角坐标方程再进行判断. 3.参数方程化普通方程常用的消参技巧:代入消元、加减消元、平方后加减消元等,经常用到公式:,-47-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,1.极坐标与平面直角坐标不同,极坐标与直角坐标之间不是一一对应的,所以我们规定0,02来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的,但仍然不包括极点. 2.在将曲线的参数方程化为普通方程时,不仅仅要把其中的参数消去,还要注意其中x,y的取值范围,也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.,
