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1、1,第4章 自由曲线曲面,4.1 概述 4.2 参数曲线基础4.3 曲线曲面拟合方法4.4 参数多项式曲线4.5 三次Hermite曲线4.6 Bezier曲线4.7 B样条曲线,2,4.1概 述,曲线的分类 规则曲线 自由曲线 随机曲线,3,4.1概 述,研究分支 计算几何 1969 Minsky, Papert提出 1972 A.R.Forrest给出正式定义 CAGD (Computer Aided Geometrical Design) 1974 Barnhill, Riesenfeld, 美国Utah大学的一次国际会议上提出,4,4.1概 述,研究内容 对几何外形信息的计算机表示 对
2、几何外形信息的分析与综合 对几何外形信息的控制与显示,5,4.1概 述,对形状数学描述的要求？,从计算机对形状处理的角度来看,（1）唯一性,（2）几何不变性,对在不同测量坐标系测得的同一组数据点进行拟合，用同样的数学方法得到的拟合曲线形状不变。,6,4.1概 述,（3）易于定界,（4）统一性：,统一的数学表示，便于建立统一的数据库,标量函数：平面曲线 y = f(x)空间曲线 y = f(x)z = g(x),矢量函数：平面曲线 P(t) = x(t) y(t)空间曲线 P(t) = x(t) y(t) z(t),7,4.1概 述,从形状表示与设计的角度来看,（1）丰富的表达能力：表达两类曲线
3、曲面,（2）易于实现光滑连接,（3）形状易于预测、控制和修改,（4）几何意义直观，设计不必考虑其数学表达,8,自由曲线曲面的发展过程,目标：美观，且物理性能最佳,1963年，美国波音飞机公司，Ferguson双三次曲面片,19641967年，美国MIT，Coons双三次曲面片,1971年，法国雷诺汽车公司，Bezier曲线曲面,1974年，美国通用汽车公司，Cordon和Riesenfeld, Forrest, B样条曲线曲面,1975年，美国Syracuse大学，Versprille有理B样条,80年代，Piegl和Tiller, NURBS方法,9,第4章 自由曲线曲面,4.1 概述 4.
4、2 参数曲线基础4.3 曲线曲面拟合方法4.4 参数多项式曲线4.5 三次Hermite曲线4.6 Bezier曲线4.7 B样条曲线,10,4.2参数曲线基础,曲线的表示形式 非参数表示 显式表示隐式表示,11,显式或隐式表示存在下述问题： 1）与坐标轴相关； 2）会出现斜率为无穷大的情形(如垂线)； 3) 不便于计算机编程。,4.2参数曲线基础,12,4.2参数曲线基础,参数表示:曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。假定用t表示参数，平面曲线上任一点P可表示为参数的含义 时间，距离，角度，比例等等 规范参数区间0，1,13,4.2参数曲线基础,参数矢量表示形式 直线段的参数表示圆的参
5、数表示,14,参数表示的优点： 1）以满足几何不变性的要求。 2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状 3）对曲线、曲面进行变换，可对其参数方程直接进行几何变换。 4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。,4.2参数曲线基础,15,（5）便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。 （6）规格化的参数变量t0, 1，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。 （7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。,4.2参数曲线基础,16,曲线间连接的光滑度的度量有两种： 参数连续性： 几何连续性：,4.2参数曲线基础,17,4.2参数曲线基础,参数连续性 传统的、严
6、格的连续性 称曲线P = P(t)在 处n阶参数连续，如果它在 处n阶左右导数存在，并且满足记号,18,4.2参数曲线基础,几何连续性 直观的、易于交互控制的连续性 0阶几何连续 称曲线P=P(t)在 处0阶几何连续，如果它在 处位置连续，即记为 1阶几何连续 称曲线P=P(t)在 处1阶几何连续，如果它在该 处 ,并且切矢量方向连续记为,19,4.2参数曲线基础,2阶几何连续 称曲线P=P(t)在 处2阶几何连续，如果它在 处（1）（2）副法矢量方向连续（3）曲率相等,20,我们已经看到， 连续保证 连续， 连续能保证 连续，但反过来不行。也就是说 连续的条件比 连续的条件要苛刻。,4.2参
7、数曲线基础,21,第4章 自由曲线曲面,4.1 概述 4.2 参数曲线基础4.3 曲线曲面拟合方法4.4 参数多项式曲线4.5 三次Hermite曲线4.6 Bezier曲线4.7 B样条曲线,22,4.3曲线曲面拟合方法,已知条件 一系列有序的离散数据点 型值点 控制点 边界条件 连续性要求,23,4.3曲线曲面拟合方法,生成方法 插值 点点通过型值点 插值算法：线性插值、抛物样条插值、Hermite插值 逼近 提供的是存在误差的实验数据 最小二乘法、回归分析 拟合 提供的是构造曲线的轮廓线用的控制点 Bezier曲线、B样条曲线等,24,第4章 自由曲线曲面,4.1 概述 4.2 参数曲线
8、基础4.3 曲线曲面拟合方法4.4 参数多项式曲线4.5 三次Hermite曲线4.6 Bezier曲线4.7 B样条曲线,25,4.4参数多项式曲线,为什么采用参数多项式曲线 表示最简单 理论和应用最成熟 定义-n次多项式曲线,26,4.4参数多项式曲线,矢量表示形式加权和形式缺点没有明显的几何意义与曲线的关系不明确，导致曲线的形状控制困难,27,4.4参数多项式曲线,矩阵表示 矩阵分解几何矩阵控制顶点 基矩阵M确定了一组基函数,28,4.4参数多项式曲线,例子直线段的矩阵表示,几何矩阵G,基矩阵MT,29,第4章 自由曲线曲面,4.1 概述 4.2 参数曲线基础4.3 曲线曲面拟合方法4.
9、4 参数多项式曲线4.5 三次Hermite曲线4.6 Bezier曲线4.7 B样条曲线,30,4.5三次Hermite曲线,定义 给定4个矢量 ，称满足条件的三次多项式曲线P(t)为Hermite曲线,P0,P1,P0,P1,31,4.5三次Hermite曲线,矩阵表示 条件,32,4.5三次Hermite曲线,合并解,33,4.5三次Hermite曲线,基矩阵与基函数（调和函数）,曲线可将简化为：,称为调和函数,34,4.5三次Hermite曲线,其矩阵表示形式为：,35,4.5三次Hermite曲线,形状控制 改变端点位置矢量 调节切矢量 的方向 调节切矢量 的长度,36,4.5三次Hermite曲线,优点： 简单，易于理解 缺点： 难于给出两个端点处的切线矢量作为初始条件 不方便,所有参数插值曲线的缺点： 只限于作一条点点通过给定数据点的曲线 只适用于插值场合，如外形的数学放样 不适合于外形设计,
