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1、2.4.1等比数列概念及通项公式,第二课时,如果一个数列从第2项起，每一项与它的 前一项的比等于同一个常数，那么这个数 列叫做等比数列，这个常数叫做公比q.,二、新课,数学语言表示为：,如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项 ，即,2.什么是等比中项？,1.什么是等比数列？,定义说明：,1o等比数列的符号表示,成等比数列,=q(0) （,）,2 隐含：任一项,(等比数列无零项),3 q= 1时，an为常数列,非零的常数数列既是等差数列又是等比数列,1.用下列方法表示的数列中能确定是等比数列的是 . 1，-1，1，(-1)n+1 ； 1，2，4，6；a，a，a，a； 已知a1=2，
2、an=3an+1 ；2a，2a，2a，2a., ,思考1 ：,思考2：公比q0时，等比数列呈现怎样的特点？,正负交替,对公比q的探究： （a1 0时）,当0q1时，等比数列an为递减数列； 当q1时，等比数列an为递增数列； 当q=1时，等比数列an为常数列； 当q0时，等比数列an为摆动数列。,探究二：通项公式,思考3：如何用a1和q表示第n项an,2.叠乘法（累乘法）,1.不完全归纳法,等比数列的通项公式：（nN,q0）,想一想？,证明：,将等式左右两边分别相乘可得：,化简得：,即：,此式对n=1也成立,累乘法推导,一般形式：an=amqn-m,2.由定义归纳通项公式,问：如何用a1和q表
3、示第n项an,a2/a1=qa3/a2=qa4/a3=qan/an-1=q,其中，a1与q均不为0。由于当n=1时上面等式两边均为a1， 即等式也成立，说明上面公式当nN*时都成立，因此它 就是等比数列an的通项公式。,这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1 所以 an=a1qn-1,1.叠乘法（累乘法）,a2=a1qa3=a2q=a1q2a4=a3q=a1q3,an=a1qn-1,2.不完全归纳法,等比数列的通项公式：an=a1qn-1 （nN,q0）,特别地，等比数列an中，a10,q0,例如：数列an的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是： ,上式还可以写成,可见，这个等比数列 的
4、图象都在函数 的图象上，如右图所示。,0 1 2 3 4 n,an 8 7 6 5 4 3 2 1,思考4：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？,探究三:,等比数列的图象与指数函数之间的关系:,例题1：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84.这种物质的半衰期为多长（精确到1年）？,例题3：一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项。,1.在等比数列an中，已知 求an.,例1.根据右图的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗?,是,四. 应用示例,是,它是一个与n无关的常数，,即为,探究,对于例中的等比
5、数列 与 ，数 列 也一定是等比数列吗？,是,特别地，如果是 等比数列，c是不等于的常数，那么数列 也是等比数列,an+1-an=d,d 叫公差,q叫公比,an+1=an+d,an+1=an q,an= a1+(n-1)d,an=a1qn-1,an=am+(n-m)d,an=amqn-m,比较：,在等差数列 中,试问：在等比数列 中，如果知道 和公比q，能否求 ？如果能，请写出表达式。,变形结论:,变通公式,变通公式,注：运用此公式，已知任意两项， 可求等比数列中的其他项,证明,探究一,在等比数列an中，a2.a6=a3.a5是否成立？a32=a1.a5是否成立?,证明,要积极思考哦,若等比数
6、列an的首项为a1 ，公比q，且 且 m , n , s , t N+,若m+n=s+t ,则aman=asat,性质2：,4、等比数列所有奇数项符号相同；所有偶数项符号相同。,二、等比数列的性质,定义法:,三、判断等比数列的方法,中项法:,三个数a,b,c成等比数列,1.定义,2.公比(差),3.等比(差) 中项,4.通项公式,5.性质 (若m+n=p+q),q不可以是0,d可以是0,等比中项,等差中项,等差数列,等比数列,定义法，只要看,1、一个等比数列的第4项与第7项分别是 , ，求这个等比数列的通项公式 以及第5项,课堂练习,课堂小结：,性质3：在等比数列中，序号成等差数列的项 依原序
7、构成的新数列是等比数列。,等差数列,等比数列,性质1,性质2,性质3,an=am+(n-m)d,若n+m=p+q 则am+an=ap+aq,若n+m=s+t 则anam=asat,项数成等差， 数列成等差,项数成等差数列成等比,对比记忆,作业： P60 2.4A组 1，2，3，4,复习等比数列的有关概念,定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。,由此可知，等比数列 的通项公式为,如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。,等比数列的性质
8、： an=amqn-m 若m+n=p+q,则aman=apaq,思考：你能得到更一般的结论吗？,性质3：在等比数列中，序号成等差数列的项 依原序构成的新数列是等比数列。,等比数列的性质：,序号成等差数列的项仍成等比数列。, sn ，s2n-sn，s3n-s2n成等比数列,1.判断 b2=ac a、b、c成等比数列；（ ）在等比数列an中， a8a10=a18； （ ） a2+a98=a3+a97； （ ） a8+a10=a18；（ ） a2a98=a3a97； （ ） a2a98= ；（ ） 2. 若a、b、c成等比数列，则函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数是 .3. 在等比数列a
9、n中，a9a10a11a12=64，则a8a13= .4. 已知x，2x+2，3x+3是一个等比数列的前三项，求x.,课 堂 练 习,0或1,-4,练习:,在等比数列an中，a2=-2,a5=54，a8= .在等比数列an中，且an0， a2 a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5= _ . 在等比数列an中， a15 =10, a45=90,则 a60 =_. 在等比数列an中，a1+a2 =30, a3+a4 =120, 则a5+a6=_ .,-1458,6,270,480,或-270,结论：如果 是项数相同的等比数列，那么 也是等比数列,证明：设数列 的公比为p， 的公比为q，
10、那么数列 的第n项与第n+1项分别为 与 ，即 与 因为 它是一个与n无关的常数，所以是一个以pq为公比的等比数列,特别地，如果是 等比数列，c是不等于的常数，那么数列 也是等比数列,练习：已知an为等比数列，(1) a5=2, a9=8, 求a7= _ (2) a5=2,a10=10,则a15=_ (3)a1=1/8, q=2,a4与a8的等比中项_ (4) a6=3, 则a3a4a5a6a7a8a9=_ (5) a4a15= -2, 则a3a6a12a17=_ (6) a9 a10 a11 a12=64, 则 a8 a13= _,补充练习,（1） 一个等比数列的第9项是 ，公比是 ，求它的第1项； （2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项。,练习,已知等比数列 ，a3 =20a6 =160 , 求 q , an,变1：已知等比数列 ，a3 =20a5 =80 , 求 q , a4,变2：已知等比数列 ，a3 =20a =320 , 求 q , a5,小结,1、理解与掌握等比数列的定义及递推公式： ； 2、要会推导等比数列的通项公式：，并掌握其基本应用；3、等比中项：,G2=ab,递推法,叠乘法,4.性质:,若m+n=p+q,作业本上： 课本P53页A组1（2,3,4），2，8 课余作业：优化方案2.4.1,
