电磁波理论第4章静态场边值解法

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1、第四章、静态场边值解法, 4.1 静态场边值问题 唯一性定理 4.2 镜像法与电轴法 4.3 电轴法,推导微分方程的基本出发点 是静电场的基本方程：,泊松方程, 泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。,例1.4.1 列出求解区域的微分方程,4.1.2 静电场的边值问题,图1.4.1 三个不同媒质区域的静电场,2. 唯一性定理的重要意义, 可判断静电场问题的解的正确性：,例1.4.1 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？,答案：（ C ）, 唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等）提供了思路及理论根据。,图1.4.7 平板电容器外加电源U0,4.1.2 唯

2、一性定理,证明： （反证法）,为什么说第二类 边界条件 与导体上给定电荷分 布或边界是电力线的条 件是等价的？,边值问题 研究方法,计算法,实验法,作图法,解析法,数值法,实测法,模拟法,定性,定量,积分法,分离变量法,镜像法、电轴法,微分方程法,保角变换法,有限差分法,有限元法,边界元法,矩量法,模拟电荷法,数学模拟法,物理模拟法,图1.4.3 边值问题研究方法框图,4.2 镜像法,4.2.1 镜像法,边值问题：,1.平面导体的镜像,镜像法: 用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布,虚设电荷的个数、大小与位置使场的解答满足唯一性定理。,图1.7.1 平面导体的镜像,上半场域边值问题

3、：,（方向指向地面）,整个地面上感应电荷的总量为,例1.7.1 求空气中一个点电荷 在地面引起的感应电荷分布情况。,解: 设点电荷 离地面高度为h，则,图1.7.2 点电荷 在地面引起的感应电荷的分布,2. 导体球面镜像,设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。,1) 边值问题：,（除q点外的导体球外空间),图1.7.3 点电荷对接地导体球面的镜像,由叠加原理，接地导体球外任一点P的电位与电场分别为,图1.7.5 点电荷位于接地导体球附近的场图,图1.7.4 接地导体球外的电场计算,在接地球的基础上判断镜像电荷的个数、大小与位置,解: 边值问题：,( 除 q 点外的导体球

4、外空间）,( S 为球面面积 ),例4.2.1 试计算不接地金属球附近放置一点电荷 时的电场分布。,任一点电位及电场强度为：,图1.7.6 点电荷对不接地金属 球的镜像,感应电荷分布及球对称性，在球内有两个等效电荷。,正负镜像电荷绝对值相等。,正镜像电荷只能位于球心。,试确定用镜像法求解下列问题时，其镜像电荷的个数，大小与位置?,补充题：,图1.7.8 点电荷对导体球面的镜像,图1.7.7 点电荷位于不接地导体球附近的场图,不接地导体球面上的正负感应电荷的绝对值等于镜像电荷 吗? 为什么？,3. 不同介质分界面的镜像,边值问题：,图1.7.9 点电荷对无限大介质分界面的镜像, 中的电场是由 决

5、定，其有效区在下半空间， 是等效替代自由电荷与极化电荷的作用。,即,图1.7.10 点电荷 位于不同介质平面上方的场图, 中的电场是由 与 共同产生，其有效区在上半空间， 是等效替代极化电荷的影响。,4.6 镜像法（Image Method in Static Magnetic Field）,联立求解，得,由 得,由 得,例 4.6.1 图示一载流导体 I 置于磁导率为 的无限大导板上方 h 处，为求媒质1与媒质2中的 B 与 H 的分布，试确定镜像电流的大小与位置？,解： 根据唯一性定理，在无效区放置镜像电流，用分界面衔接条件确定 与 。,图3.6.1 两种不同磁介质的镜像,与静电场镜像法类

6、比 ，这里的 原因何在？,例3.6.2 空气与铁磁媒质的分界面如图所示，线电流 I 位于空气 中，试求磁场分布。,空气中,铁磁中,空气中 B 线垂直于铁磁平板，表明铁磁平板表面是等磁位面。,图3.6.2 线电流 I 位于无限大铁板上方的镜像,铁磁中磁感应强度 B2=0 吗？,例 3.6.3 若载流导体 I 置于铁磁物质中，此时磁场分布有什么特点呢？,由图可见，此时磁场分布有特点：, 对空气侧而言，铁磁表面仍然是一个等磁位面。空气中的 B 线与铁磁表面相垂直（折射定理可以证明之）。, 空气中 的磁场为场域无铁磁物质情况下的二倍。,图3.6.3 线电流 I 位于无限大铁磁平板中的镜像,镜像法（电轴

7、法）小结,镜像法（电轴法）的理论基础是静电场唯一性定理；镜像法（电轴法）的实质是用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质；镜像法（电轴法）的关键是确定镜像电荷（电轴）的个数（根数），大小及位置；应用镜像法（电轴法）解题时，注意：镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区域。叠加时，要注意场的适用区域。,4.3 电轴法,根据唯一性定理，寻找等效线电荷电轴。,能否用高斯定理求解？,2. 两根细导线产生的电场,以y轴为参考点, C=0, 则,当K取不同数值时,就得到一族偏心圆。,图1.7.13 两根细导线的电场计算,a、h、b三者之间的关系满足,等位线方程为：,应该注意到

8、,线电荷所在的两个点,对每一个等位圆的圆心来说,互为反演。即,根据 及E线的微分方程， 得E线方程为,图1.7.14 两细导线的场图, 若在金属圆柱管内填充金属，重答上问。, 若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳，是否会影响电场分布？感应电荷是否均匀分布？,3. 电轴法,例4.3。1 试求图示两带电长直平行圆柱导体传输线的电场及电位分布。,( 以 轴为电位为参考点 ),用置于电轴上的等效线电荷,来代替圆柱导体面上分布电荷,从而求得电场的方法,称为电轴法。,解：,图1.7.15 平行圆柱导体传输线电场的计算,例4.3.2 已知两根不同半径,相互平行,轴线距离为d 的带电长直圆柱导体。试决定电轴

9、位置。,注意：1）参考电位的位置；2）适用区域。,例4。3。3 试确定图示偏心电缆的电轴位置。,图1.7.16 不同半径传输线的电轴位置,图1.7.17 偏心电缆电轴位置,例4.3.2 已知一对半径为a,相距为d的长直圆柱导体传输线之间电压为 ，试求圆柱导体间电位的分布。,解得,图1.7.18 电压为U0的传输线电场的计算,a)确定电轴的位置,1.5 分离变量法,分离变量法是一种最经典的微分方程法，它适用于求解一类具有理想边界条件的典型边值问题 。一般情况下,采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或波动方程的通解，而只有当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的

10、解。,1.5.1 解题的一般步骤：, 根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出对应的边值问题（微分方程和边界条件）；, 分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程；, 解常微分方程，并叠加各特解得到通解；, 利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。,1.5.2 应用实例,例1.5.1 图示一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位为 ，金属槽截面为正方形（边长为a），试求金属槽内电位的分布。,解：选定直角坐标系,（D域内）,（1）,（2）,（3）,（4）,(5）,边值问题,图11.5.1 接地金属槽的截面,1. 直角坐标系中的分离变量法（二维场）,2)

11、分离变量,代入式（1）有,根据 可能的取值，可有6个常微分方程：,设,称为分离常数,可以取值,3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。,4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。,图1.5.2 双曲函数,d）,比较系数法：,当 时，,（D域内）,当 时，, 满足拉普拉斯方程的通解有无数个，但满足给定边界条件的解是唯一的。, 根据经验也可定性判断通解中能否舍去 或 项。, 若 ，,利用 sin 函数的正交性来确定 。等式两端同乘 ，然后从 0到 a对 x积分,图1.5.3 接地金属槽内 的等位线分布,例4.4.2 图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正方形，铅皮半

12、径为a，内外导体之间电介质的介电常数为 ，并且在两导体之间接有电源 U0，试写出该电缆中静电场的边值问题。,解：根据场分布对称性，确定场域。,（阴影区域）,场的边值问题,图1.4.4 缆心为正方形的同轴电缆横截面,2、圆柱坐标系中的分离变量法（二维场）,边界条件,积分之，得通解,例1.4.3 设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度 为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。,解: 采用球坐标系,分区域建立方程,参考点电位,图1.4.5 体电荷分布的球形域电场,解得,电场强度（球坐标梯度公式）：,对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程积分两

13、次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由 得到电场强度E的分布。,电位：,1）选定圆柱坐标,列出边值问题,（1）,（2）,（3）,（4）,(5）,（6）,例4.5.2 在均匀电场 中，放置一根半径为a，介电常数为 的无限长均匀介质圆柱棒，它的轴线与 垂直。柱外是自由空间 。试求圆柱内外电位函数 和电场强度 的分布。,根据场分布的对称性,图1.5.4 均匀电场中的介质圆柱棒,3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。,当 时，,当 时，,2）分离变量, 设,代入式（1）得,或,根据,根据 ， 比较系数得,当 时，,4）利用给定边界条件确定积分常数。,根据场分布对称性,当 时

14、，,通解中不含 的奇函数项，,解之，得,当 时， ， 则最终解,c）由分界面 的衔接条件，得, 介质柱内的电场是均匀的，且与外加电场E0平行。因 ， ，所以 。, 介质柱外的电场非均匀变化，但远离介质柱的区域，其电场趋近于均匀电场 。,图1.5.5 均匀外电场中介质 圆柱内外的电场,1.6 有限差分法,1.6.1 二维泊松方程的差分格式,有限差分法（Finite Differential Method）是基于差分原理的一种数值计算法。其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将求解连续函数 的泊松方程的问题转换为求解网格节点上 的差分方程组的问题。,通常将场域分成足够小的正方形网格,网格线之间的距离为h ,节点0,1,2,3,4上的电位分别用 和 表示。,（3）,1.6.1 有限差分的网格分割,（8）,（4）,将 和 分别代入式(3),得,同理,（5）,由（4）（5）,由（4）+（5）,（6）,（7）,（9）,1.6.2 边界条件的离散化处理,3. 第二类边界条件 边界线与网格线相重合的差分格式：,