期权特征与定价

《期权特征与定价》由会员分享，可在线阅读，更多相关《期权特征与定价（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第四章 期权合约的定价,第一节 美国期权交易的规定 一、主要的期权交易所 芝加哥期权交易所CBOE、费城交易所（PHLX）、NYSE（纽约股交所等）。 CBOE交易主要的股票期权指数期权及其他期权，而最主要的外汇期权交易所是PHLX。股票期权合约是美式期权合约，每一合约的标的物数量为100股，而S&P500指数期权是欧式期权，每一合约的金额为指数（执行价格）的100倍，可直接利用盯市来现金结算。,二、失效日 股票期权的到期时间是到期日第三个星期五之后星期六，因此最后交易日是到期日的第三个星期五。 三、股票期权执行价的变动间隔 通常的间隔为$2.5，$5，$10。大多数执行价的初始值为10的倍数

2、，如IBM公司的股价为$99.7/8，则期权的执行价取为$95、$100、$105、$110、$115等。而花旗集团的股价为$12，则期权的执行价分别为$10，$12.5，$15，$17.5等。如果股价的波动超过了最高执行价和最低执行价的范围，交易所就会引入新的执行价的期权。,当股票分红股时，执行价也会对应变化，但当股票分现金红利时，期权合约不调整，从而会影响价格。 保证金：出售无保护期权时，如果期权是实值的，则初始保证金为期权标的股票价值的30%减去期权的实值部分。如果期权是虚值的？ 例：某投资者出售4份无保护的Call，期权费为$5，执行价为$40，股价$42，则所要求的保证金为$4210

3、0（股）4（份）30%=5040；实值$2400=$800；减去期权费$5400=2000；则为$3840 注：有保护的期权出售无保证金要求,第二节 股票期权价格的特征,一、影响因素 股价S、执行价X、到期期限、波动率、无风险利率、红利对于欧式与美式影响不同。 二、期权价格的上、下限 1上限。无论是美式还是欧式，看涨期权持有者（买方）的权利就是以执行价获得一股股票，故股票价格是看涨期权的上限 2下限。 不付红利的欧式看涨期权的下限 不付红利的欧式看跌期限的下限,不付红利的美式看涨期权的下限 不付红利的美式看跌期权的下限 注：由于在一些情况下，投资者迫切地希望提前执行美式看跌期权。因此，美式看跌

4、期权的价值通常高于相应的欧式看跌期权的价值。,三、看涨期权与看跌期权之间平价关系,欧式把上面的组合A与组合C拿出来 两组合均是有保护的期权头寸 例如某股价$31，执行价$30，r=10%，3个月期的欧式看涨、看涨期权分别为$3与$2.25，则是否有套利机会呢？,例：设股票S=$19，r=10%，对于执行价X=$20的欧式看涨期权为$1.5（不付红利）。到期期限为5个月，则由欧式期权平价关系，可得欧式看跌期权 ? 那么美式put的价格为多少？ 四、有红利的股票期权 一般投资者能够预计某股票在其期权有效期的现金红利（可能在财务报表中或公告中暗示）。现用字母D表示红利的现值。 付红利的看涨期权，看跌

5、期权的下限。 付红利的欧式callput平价关系 上述讨论无需关于股价的变化规律而得到的结果，上述结果大多可以实证分析。,第三节 股价行为的假设,一、马式性与弱有效 马式性指将来任一特定时刻股价的概率分布仅仅取决于当前的价格。弱有效：过去的信息乃至股价走势是无价值，搜集这些信息不会带来任何收益。 二、布朗运动或wiener过程 三、常见的股价行为 ITO定理 ,对数正态分布，即取对数后为正态分布,考虑一只股票，价格为$40，预期收益率为每年10%，波动率为每年20%，则6个月后股票价格ST的概率分布 ? 一只股票，当前价格为$20，预期收益率为每年20%，波动率为每年40%，一年后的期望股价,

6、股票价格具有某种无记忆性，即要预测股票未来的价格只需知道现在价格即可，不需要知道股票的历史价格。 股票价格的下一期增量与当前的股价有关。例如考虑$10股价与$100股价的两支股票，其下一期的涨幅显然是不一样的。当前股价越高，以金钱为单位的涨跌幅度越大。 股价的预期增量假设来自同一分布，则其相互独立。,准备知识之Markov性质,随机变量 随机过程：一族随机变量。（变量的值以某种不确定的方式随时间变化，如股票价格） 随机过程分连续时间和离散时间，一个离散时间随机过程是指标的变量值只能在某些确定时间点上变化。一个连续时间变量随机过程是指标的变量值的变化可以在任何时刻发生。,马尔可夫（Markov,

7、 Andrei Andreevich） （18561922）是俄国数学家 。马尔可夫研究的范围很广，对概率论、数理统计、数论、函数逼近论、微分方程、数的几何等都有建树.马尔可夫共发表论著70多种，其中概率演算、有限差分学堪称经典著作.,马尔可夫为人正直，关心热爱学生，多次抗议沙皇政府和警察对大学生的迫害，为了伸张正义，他不惜放弃教授的职位.例如，针对国民教育部1908年关于重申取消大学自治的通告，马尔可夫给教育大臣写信表示：“我最坚决地拒绝在彼得堡大学充当沙皇政府走卒的角色，但我将保留自己开设概率论讲座的权利.” 马尔可夫将自己的一生奉献给了数学事业，当有人向他请教数学的定义，他不无骄傲地说：

8、“数学，那就是高斯、切比雪夫、李雅普诺夫、斯捷克洛夫和我所从事的事业.”在数学中以他的姓氏命名的有：马尔可夫准则、马尔可夫策略、马尔可夫正规算法、马尔可夫时、马尔可夫性质、马尔可夫过程、马尔可夫决策过程、马尔可夫链等. 他的儿子（小）马尔可夫也是数学家.,Markov过程是随机过程的一种，它满足时间无记忆性（无后效性），是指要对随机过程进行预测，则预测值只与当前值有关，而与变量的历史值无关，并且与变量过去到现在的演变过程无关。 股票价格是Markov过程，即股票将来价格只与现在有关，一个星期前，一个月前，或一年前的股价并不影响对股票价格的预测。,为什么股票价格具有马尔科夫性？ 是因为我们经常假

9、定市场是有效的，也就是说股票的现价已经包含了所有信息，当然包括了过去的价格记录。 市场竞争保证了市场有效性成立。有许多投资者紧盯着股票市场并试图从中获利，这种情况导致了在任何时刻的股票价格包含了以往价格的信息。,布朗运动：花粉热运动，1828年，英国植物学家布朗发现的。1905年，Einstein给出了布朗运动的热运动方程。从此布朗运动在物理学领域得到了广泛的应用。,金融学中的布朗运动：1900年法国学者Bachelier在其博士论文投机理论中，首次用布朗运动来描述股票的价格变化。这比Einstein的工作还要早五年。但可惜的是，Barchelier的工作直到他去世之后才被发现。,布朗运动也被

10、成为Weiner过程，这是因为数学家Weiner在对布朗运动的研究中作出了卓越的贡献。 布朗运动的数学定义布朗运动是满足如下性质的随机过程 独立增量性 增量服从正态分布 路径连续,布朗运动的路径性质 处处连续，处处不可微 无限变差 有限二次变差 40年代，日本科学家Ito用新的思路引入了随机积分（对布朗运动的积分），其基本思想就是，取左端点，求和，取极限。,如下过程称为Ito过程,当参数为常数时为广义Weiner过程。,假定股票价格过程为广义Weiner过程是非常具有诱惑力的，即它具有不变的期望漂移率和方差率，但是，这个模型不能抓住股价的关键特性，即投资者要求来自股票的期望百分比收益与股票价格

11、无关。如果投资者在股价为$10时要求预期收益为每年14%，那么他在股价为$50时仍然要求每年14%的收益。,股价期望漂移率是常数的假设是不恰当的，需要假设。通常我们要求，股价的期望漂移率要与股票价格有关。即，假设以股价的比例表示的期望收益为常数。 如果股价为S，S的期望漂移率为uS，u为恒定参数。如果股票价格的波动率为0，则这个模型应为dS=uSdt,事实上股票价格总是存在波动率的。合理的假设是无论股票价格如何，短时间后百分比收益率的方差保持不变。假设 股票价格比例变化的方差率不变，则股票价格应满足,应用Ito定理，可以对上述股票价格过程进行变形，得到几何布朗运动的表示：,通过上述讨论，股票价

12、格服从对数正太分布，即取对数之后为正态分布,利用股票价格模型可对无红利情形下，远期合约进行定价： 远期合约与股票价格的关系为：,根据Ito定理，F满足的方程为,可以看出F的变化过程仍为一个几何布朗运动， 但是其变化期望增长率为u-r, 但不是u。,股票价格收益率的分布： 记t到T时间内连续复利年利率为由股票价格的对数正态分布性质知：,注：股票价格的期望收益率到底是多少？,上述方程结果表明在时间T t 后的期望连续复利收益率并不是u。这似乎令人奇怪，因为在第三章中，是在任何短时间段后的收益率的期望值。这和较长时间段后的连续复利收益率的期望值有什么不同呢？为理解这两者之间的不同，我们来看一个数值的

13、例子。假设如下某个股票随后5 年的年收益率，用年复利计：15，20，30，20，25。,这些收益的算术平均值等于5 个值的总和再除以5，结果为14。然而，如果一个投资者将其资金投入该股票长达5 年，那么实际上他或她每年的收益将少于14。$100 的价值5 年后将为： 1001.151.201.300.801.25179.40 与之不同，年复利为14的收益应该给出： 100 *1.14 = 192.54,这个例子说明了一个一般性的结论：几年内收益的平均值并不等于几年内按年复利计算的每年平均收益。 假设计算收益的时间长度逐渐缩短，而观察的次数增加，我们可以计算如下两个估计值： 1.在很短时间后的预

14、期收益率（可以通过计算许多很短时间间隔的收益的算术平均值得到）。 2.在较长时间后的预期连续复利收益率（可以通过在数据覆盖的整个时期上用连续复利计算总收益得到）。,1 的估计将大于状况2 的估计。我们早些的结果表明事实就是如此。无限短时间的预期收益率为，预期连续复利收益率为,Ito在建立了随机版本的积分之后，又给出了随机版本的牛顿-莱布尼兹公式： Ito定理：设X为Ito过程，g为二次可导的二元函数，则,第四节 BS微分方程与期权定价,一、一个简单的二叉树模型 设股票现价为$20，一个月后价格有两种可能，即$22，$18。现考虑一个月期，执行价为$21的看涨期权，则易知到期时的价值为1或0（分

15、别对应$22，$18）,则该期权价格？ 问题：如果是一份看跌期权的多头又如何定价？ 注意：这里看涨期权与看跌期权的价值与上涨、下跌的概率无关。,二、BS微分方程与定价公式,BS微分方程 这微分方程的解依整于使用的边界条件 风险中性定价 性质,三、指数期权与货币期权的定价及期货期权的定价,上述BS公式也可应用于指数期权：一般假设股票指数也服从几何布朗运动。 货币期权的定价：假设即期汇率S也遵循几何布朗运动 期货期权的定价 例 一投资者拥有一份执行价为每磅70美分的25000磅黄铜九月份期货看涨期权。当前九月份交割的黄铜期货价格为80美分。如果执行该期权，投资者将获利为(8070)0.012500

16、0=$2500而期货多头头寸是零值，因为期货价格与期货执行价一样。,例：考虑一个原油的欧式看跌期货期权。距到期目还有4个月，当前期货价格为$20，而期权的执行价也为$20，无风险利率为每年9%，期货价格的波动率是每年25%，则该看跌期权的价格为多少？ 欧式期货看涨期权和看跌期权之间的平价关系。 例：一份6个月后交割，执行价格为$8.5的欧式白银期货看涨期权的价格为每盎司56美分，而6个月后交割的白银期货价格是$8.0，6个月的无风险利率为年率10%，则C=0.56，F=8，X=8.5，r=0.1，Tt=0.5。可得该种期货看跌期权的价格,第五节 保值策略,一、Delta套期保值 Delta定义为衍生证券的价格变动对其标的资产价格变化的比率或对标的资产价格变化的敏感。 1欧式看涨期权与看跌期权的Delta值 2其他欧式期权的Delta值 对于支付红利率为q的股票指数的欧式call ；对于欧式外汇call ；对于欧式期货call,