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1、第一章 离散时间信号与系统,1.1 离散时间信号 1.2 离散时间系统线性移不变系统 1.3 离散时间系统的输入输出描述法线性常系数差分方程 1.4 连续时间信号的抽样（模拟信号数字处理方法）,引 言,本章作为全书的基础，主要学习离散时间信号的表示方法和典型序列、线性移不变系统的因果性和稳定性，以及离散时间系统的输入输出描述法，线性常系数差分方程的解法。最后介绍模拟信号数字处理方法。,信号通常是一个或几个自变量的函数。连续时间信号和离散时间信号 模拟信号：信号的自变量和函数值都取连续值。 离散时间信号：信号的自变量取离散值，函数值取连续值。 数字信号：信号的自变量和函数值都取离散值。（数字信号
2、时幅度量化了的时域离散信号）连续时间系统、离散时间系统、数字系统和混合系统,引 言,1.1 离散时间信号序列,一. 离散时间信号的表示方法 二. 典型序列 三. 序列的运算 四. 序列的周期 五. 任意序列的加权表示 六. 序列的能量,对模拟信号 进行等间隔采样，采样间隔为T，得到,一. 离散时间信号的表示方法,该数字序列就是离散时间信号,为简化，不写采样间隔，形成x(n)信号，称为序列。,x(n)代表第n个序列值，在数值上等于信号的采样值，即,注意：x(n)只在n为整数时才有意义，对于n的非整数点没定义,二. 常用的典型序列,1. 单位抽样序列（Unit-sampling sequence）
3、, 是一个确定的物理量，而 是一种数学抽象。,注意：,2. 单位阶跃序列（Unit-step sequence）,与单位抽样序列的关系,3. 矩形序列（Rectangle sequence）,与其他序列的关系,注意：矩形序列是有限长序列，而单位阶跃序列是无限长序列,4. 实指数序列,其中 为实数。,收敛序列,发散序列,5. 正弦型序列,模拟正弦信号：,数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率,对比得：,6. 复指数序列,例：,若对所有n存在一个最小的正整数N，满足,三. 序列的周期性,例：,则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。,因此，x(n)是周期为8的周期序列,现在讨论一般正弦序列的
4、周期性,(1)当 为整数时(2)当 为有理数时(3)当 为无理数时,分情况讨论,(1)当 为整数时,(2)当 为有理数时,(3)当 为无理数时,四. 序列的基本运算(8种),移位、翻褶、和、积 累加、差分、时间的尺度变换 卷积和,1. 移位,序列x(n)，当m0时，x(n-m)：右移/延时m位x(n+m)：左移/超前m位,解：,2. 翻褶,x(-n)是以n=0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻褶。,例：已知序列,求,解：,3. 和,例：,求,是指同序号（n相同）的序列值逐项对应相加而构成的一个 新的序列，表示为,解：同区间的序列表达式先相加，其它序列值逐项对应相加。注意同时刻对齐。,4. 积,
5、例：,求,是指同序号（n相同）的序列值逐项对应相乘而构成的一个新的序列，表示为,解：同区间的序列表达式先相乘，其它序列值逐项对应相乘。注意同时刻对齐。,5累加,即，到当前时刻n为止，序列的所有过去值和现在值的和，类似 “积分运算”,所以,设某序列为x(n)，则它的累加序列定义为：,由于,前向差分：后向差分：,6差分运算,注意： 前向差分不能实时实现。后向差分可实时实现。,差分运算类似“微分运算”。,（1）变换后的序列值同原序列相比，只有 处的序列值的位置不变。 （2）插值序列在原序列的两个序列值之间插入m-1个值，一般为0。当然也可定义其它的值，如下图中，m=2，序列的插值为原序列的后一个值。
6、,7. 时间尺度变换,抽取序列,插值序列,其中m为正整数,注意：,例：,解：,注：抽取是非线性运算，运算不可逆。,求,定义两序列 和 线性卷积为：,8卷积和（线性卷积）,是数字信号处理最重要的运算之一。它是求离散线性移不变系统零状态相应的主要方法。,计算过程如下：,亚变量,例： 设序列,n0时，x(m)与z(n-m)没有重叠，得y(n)=0。,0n4时，,解：,求,4n6时，,6n10时，,n10时，x(m)与z(n-m)没有重叠，得y(n)= 0。,线性卷积的性质（后面讲）,交换律,结合律,分配律,五. 任意序列的加权表示,任何序列都可以用单位抽样序列的移位加权和来表示，即,例： 计算,即,
7、解：,任意序列与单位抽样序列的移位序列作卷积运算则得到此序列作相同位的移位序列。,例：,六. 序列的能量,序列x(n)的能量E定义为序列各抽样值的平方和，即,1.2 线性移不变系统 （Linear shift-invariant systems),离散时间系统中最重要、最常用的是线性移不变系统。,一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。,一. 线性系统(Linear System）,若系统,同时满足：,或叠加原理：,则此系统为线性系统。,零输入产生零输出。,叠加原理一般表达式,例1：以下系统是否为线性系统,不是线性系统,不是线性系统！但是线性方程！可以看成一个线性系统的输出与反映
8、该系统初始储能的零输入响应信号之和。,系统总的输出由一个线性系统的响应与一个零输入响应的叠加来构成，这种系统可称为增量线性系统。也就是说这类系统的响应对输入中的变化部分是呈线性关系的。,例2：以下系统是否为线性系统,线性系统,思考：,例3：以下系统是否为线性系统,线性系统,练习：以下系统是否为线性系统,二. 移不变系统（Shift-invariant System）,若输入x(n)移动任意位，其输出y(n)也移动相同的位 。,若系统的响应跟输入信号加于系统的时刻无关，则称为移不变系统。,即,x(n),y(n),x(n-n0),y(n-k0),即，系统输入序列时移会引起输出序列相同时移 。,例4
9、：系统 是否移不变系统,移不变,结论：若系统有一个移变增益，则此系统一定是移变系统 。,同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移不变系统 LSI（Linear Shift-Invariant ）,例5：系统 是否移不变系统,移变,任何线性移不变系统都可以用单位抽样响应h(n)来表征。 h(n)：是指系统零状态下，输入为单位抽样序列 时的系统输出：,线性移不变系统输入与输出之间的关系,已知x(n) 和h(n)的长度， y(n)长度？,下面推理线性卷积的非零值范围。,的非零区间为,的非零区间为,两不等式相加得,也就是 不为零的区间,即 长度为,若 长度为N1 ， 长度为N2,例1：,线性卷积
10、的非零值区间为n=05非零值为1,2,3,3,2,1,例2：,线性移不变系统的性质,1. 交换律,2.结合律,3.分配律,三. 因果系统(Causal System）,若输出的变化不会领先于输入的变化的系统。 即，系统 n时刻的输出y(n)，只取决于n时刻输入 以及n时刻以前的输入 ，而与n时刻以后的输入 无关，则称该系统为因果系统。,例：,非因果系统,因果系统,线性移不变系统(LSI)是因果系统的充要条件：,证明略,四. 稳定系统（Stable System）,线性移不变系统(LSI) 是稳定系统的充要条件：,则,若,稳定性是系统能正常工作的先决条件。 稳定系统是有界的输入产生有界的输出（B
11、IBO）的系统,例1：讨论单位抽样响应 因果稳定性,由于 时 ， ，故是因果系统,（3） 取决于未来的输入值,例2：判断系统 线性，移变性，因果性，稳定性,（1）,线性,（2）,移不变,（4）,稳定性,非因果,1.3 离散时间系统的输入输出描述法 -常系数线性差分方程,或：,阶数：方程中y(ni)项中 i的最大取值与最小取值之差。,在离散时间线性移不变系统中，常用常系数线性差分方程表示输入输出关系,求解常系数线性差分方程的解法：,本节只介绍用迭代法（递推解法）求h(n),例：已知常系数线性差分方程,（1）若初始条件,求其单位抽样响应。,（2）若初始条件,即：,令 ,则,（1）,即：,（1）,（
12、2）,一些关于差分方程的结论：,一个差分方程不能唯一确定一个系统（对相同的系统结构，给定不同的边界条件，系统对相同激励的响应将不同）。 常系数线性差分方程描述的系统不一定是因果的 常系数线性差分方程描述的系统不一定是线性移不变的 常系数线性差分方程描述的系统不一定是稳定的,1.4 连续时间信号的抽样,抽样器：相当于一个电子开关,实际抽样,理想抽样,抽样信号,模拟信号,信号被抽样后其频谱将会有什么变化？ 什么条件下，可以从抽样信号 不失真地恢复出原信号 ？,讨论：,t,t,t,1,0,T,0,0,一. 理想抽样,当0（当T时，就可近似看成理想抽样），此时脉冲串p(t)变成周期（单位）冲激串,周期
13、信号频谱推导见信号与系统,理想抽样输出为：,理想抽样信号的频谱为,其中,理想抽样后，抽样信号的频谱,抽样信号的频谱是模拟信号频谱以抽样频率 为周期进行周期延拓而成。 频谱幅度是原信号频谱幅度的1/T倍。,奈奎斯特抽样定理（基带信号）,要想抽样后能够不失真的还原出原信号，则抽样频率必须 大于或等于两倍信号谱的最高频率。,或,即,折叠频率：抽样频率之半 称之折叠频率。当信号频谱超过它时，就会造成频谱的混叠。,如果信号的最高频谱 就会造成混叠，为了避免混叠，在抽样器（A/D）前加入一个保护性的前置低通滤波器，称之防混叠滤波器，其截止频率为 ，以便滤除高于 的频率分量。,二. 抽样的恢复,抽样频率在满
14、足奈奎斯特抽样定理，则抽样后的信号不会产生频谱混叠。,将抽样信号通过理想低通滤波器,就可得到原信号的频谱：,所以输出端即为原模拟信号,理想低通滤波器的冲激响应为,理想低通滤波器的输出,信号重建的抽样内插公式,内插函数,结论：由信号的抽样值 经此公式而得到连续信号 。,1）在抽样点上，信号值不变； 2）抽样点之间的信号则由各抽样函数波形的延伸叠加而成。,说明： 理想低通滤波器不能完全实现的！,主要是理想低通的冲激响应时间范围是 ，在实际应用中可以适当截取中间一段来使用，长短根据精度要求。,实际模拟信号的恢复,数字信号,时间离散信号,常数内插,滤除高频分量,由离散时间信号xa(nT)恢复模拟信号的过程是在采样点内插的过程。理想低通滤波的方法是用h(t-nT)函数作内插函数。零阶保持器是将前一个采样值进行保持，一直到下一个采样值来到，再跳到新的采样值并保持，因此相当于进行常数内插。,三. 实际抽样,
